Теорема о существовании неподвижной точки для L-сжатий

DOI:

Нашей целью является установление нового принципа неподвижной точки для нелинейных операторов, действующих в пространстве С ([0,Т];X). Данный результат может рассматриваться как обобщение хорошо известного принципа сжимающих отображений Банаха.

Пусть X есть некоторое банахово пространство, Т >  0 и С ([0,Т];X) есть пространство непрерывных X-значных функций, определенных на отрезке I = [0,Т] в X со стандартной нормой:

1Ы1 = max lluCt) ^ ^ . te [G ,T ]

Пусть теперь F есть замкнутое подмножество С ([0,Т];X). Рассмотрим непрерывный, возможно нелинейный оператор N : F ^ F , отображающий F в себя.

Определение 1. Будем говорить, что N есть L-сжатие на F, если для любых u,v Е F выполнено так называемое L-условие, если справедливо следующее:

| N(u)(t) - N(v)(t) H x <  L(W) - ©t)||x),                    (1)

где L : С [0, Т] ^ С [0, Т] есть линейный монотонный оператор, действующий на пространстве С ([0, Т]; R) непрерывных функций со спектральным радиусом p (L) < 1 .

Основной результат статьи в том, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что оператор N является L-сжатием на F. Тогда N имеет неподвижную точку в F.

Доказательство. Мы будем использовать метод последовательных приближений. Возьмем произвольный элемент u ₀ ^ F и построим следующую последовательность:

U 1 = N (u g ), U = N (u 1 ),..., U n+1 = N(u n ), ...

Поскольку F есть замкнутое и инвариантное относительно действия N множество, то данная последовательность u _n и все ее возможные предельные точки принадлежат F .

Теперь оценим

| U n +1 (t) - u _n (t) \\ x = ^ N(U n )(t) - N(U n - 1 )(t) \ _X <  ЦЫ€) - U n - i (t) ^ x ).

Так как L монотонный, то мы может проитерировать достаточное число раз, получив

\un+i(t) - Un(t)\x < Ln(F)(t), где мы обозначили F(t) = ||N(u0)(t) - u0(t)\x•

Следовательно, верно, что

∞∞

EMO - MOII x <  E L«(F )(t).               (2)

n =0                        n =0

Заметим теперь, что ряд в правой части сходится в С ([0,Т];R) в силу условия p (L) < 1 (резольвента оператора L определена в точке z = 1).

Следовательно, ряд ^2^ =₀ [u _{n +1} (t) - u _n (t)] абсолютно и равномерно сходится в С ([0,Т]; X ), а значит последовательность u _n (t) сходится с необходимостью к неподвижной точке оператора N (поскольку N непрерывен как L-сжатие).

Замечание 1. Для данного L из доказательства следует, что для того, чтобы установить существование неподвижной точки нелинейного L-сжатия N , достаточно либо установить, что p (L) < 1, либо непосредственно доказать сходимость ряда ^2^ =₀ L ⁿ (1)(t) в С ([0,Т];R). В последующих примерах мы используем это замечание.

Пример 1. Пусть L = qE + К , где 0 < q < 1, и Е есть единичный оператор, а К оператор Вольтерра. Спектр оператора Вольтерра К состоит только из нулевой точки, потому p (L) = q <  1 и, следовательно, применима главная теорема (1).

В случае, когда К = 0, результат тривиально следует из принципа сжимающих отображений Банаха.

Пример 2. Случай L = qE + К, когда

К(f )(t) = Ct ^-tt W * f(s) ds,                               (3)

при 0 < q, a < 1, C >  0, был рассмотрен в [2], где была доказана соответствующая теорема о неподвижной точке для операторов данного вида.

Пример 3. Теперь рассмотрим случай, когда L = ЬК , Ь >  0, где К есть интегральный оператор вида:

К(f >(') = JO К^f (s^ds-(4)

для некоторого положительного ядра К(t, s) >  0, где мы требуем, чтобы К действовал на С([0,Т ]; R) с р (К) < 1.

Особый интерес представляет случай, когда

К = Кa,b(t,s) = s^b(t - s)-a при 0 < а, Ь < 1, а + Ь < 1.

Оказывается, что в этом случае мы можем точно посчитать выражения вида

Ja,b,k = Ка^) = J' S-b+k (t — s)-ads.(6)

Для этой цели мы сделаем замену переменной s = t T и тогда

Ja,b,k = tk+1-b-a J1 т b k(1 - T)-adT = tk+1-b-aB(k + 1 - Ь, 1 - а), где B(m,n) есть хорошо известная бета-функция

B(m,n) = С¹ T ^{m- 1} (1 - t   d ₄ = H^m№ ⁾

Г(т + n)

и Г(п) есть гамма-функция (см. для справки, например, [1]).

Обозначим с = 1 - а - Ь >  0.

Таким образом, получается, что t ^k переходит в t ^{k + c} с точностью до константы B(k + 1 - Ь, 1 - а):

^J a,b,k = ^{t k+C B ( k} + ^{1 - Ь}, ^{1 - а)}

t k+c ^{Г( к} + ^{1 - Ь)Г(1 - а)}

Г(к + 2 - а - Ь)

Теперь мы можем представить

S 1 = К (1) = J a,b,0 = B (1 - Ь, 1 - а)^с = D 1 t ^c ,

S 2 = К(S 1 ) = B(1 - Ь, 1 - а) J a,b,c = B(1 - Ь, 1 - а)B(с + 1 - Ь, 1 - а)t ^{2 c} = D 2 t ^{2 c} ,

S 3 = К(S 2 ) = D 2 J a,b,2c = B (1 - Ь, 1 - а)B(с +1 - Ь, 1 - а)B(2с +1 - Ь, 1 - а)t ^{3 c} = ^ 3 t ^{3 c} .

И далее по индукции sn = К (sn-1) = К и(1) = Dn е.

Обозначив через Л = Г(1 - а) и B = Г(1 - Ь), запишем

D 1 (а,Ь) =

Г(1 - Ь)Г(1 - а)

BЛ

Г(1+^) ’

Г(1 + с)

D 2 (a, b) = D 1 (a, b)B(c + 1 — b, 1 — a)

= BA ^И‘ - ^{b + C )} -J—

Г(1+ c) P(1 + 2c)

BA ² e 1 (b, c)

Г(1 + 2c) ’

D 3 (a,b) =D 2 (a,b)B(2c +1

— b, 1

-

Г(1 — b + 2c)     1

a) = BA3ei ----;-------7--7--------

7         1 Г(1 + 2c) Г(1 + 3c)

BA 3 e 1 e 2

Г(1 + 3c)'

По индукции

D _n (a, b)

BAⁿe 1 ... e _{n -1}

Г(1 + nc)

где

Г(1 — b + pc) ^{e p} =  Г(1+ pc)

и e _p <  1 при условии pc > b.

Получили, что

_ BAⁿE _n

= Г(1 + nc), где En = e1... en-1 ограничена по n.

Согласно формуле Стирлинга Г(1 + г) асимпотически равно z ⁿ e ^-nV2 nz.

Следовательно,

∞∞∞

^ Ln(1) = ^ bnSn = ^ bnDntnc(8)

n=1         n=1

сходится в С ([0,T];R) для любого Т >  0. Потому оператор N (который есть L-сжатие для L = bK ) имеет неподвижную точку, которая может быть найдена методом последовательных приближений, как показано в доказательстве основной теоремы.