Теорема о вложении элементарной сети

eца порядка n, eij — матрица, у которой на позиции (i,j) стоит 1, а на остальных местах нули; tij(а) = e + aeij — элементарная трансвекция. Положим, далее,

tij(A) = {tij-(а) : а € A}.

Для элементарной сети (ковра) ст через Е(ст) обозначается элементарная сетевая группа:E(ст) = (tij- (CTij) : 1 6 i= j 6 n\

Далее, если ст — сеть, то через G(ct) обозначается сетевая (ковровая) группа [1].

Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число n >  2. Снетома ст = (ст_ij ). 1 6 i, j 6 n, аддитивных подгрупп aij кольца Л называется сетью (ковром) [2, 3] над кольцом Л порядка n, если

σir σrj ⊆ σij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарным ковром) [1, 2], [3, вопрос 15.46].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Элементарная сеть ст = (ст_ij ), 1 6 i = j 6 n называется дополняемой (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) ст _ii кольца Л таб.типа (о ,тпагона.тьто) ст = (ст_ij ). 1 6 i, j 6 n является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть ст является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.

Хорошо известно, что элементарная сеть ст = (CTij ) является дополняемой тогда и только тогда, когда (см. [1])

^CT ij ^CT ji ^CT ij — ^CT ij                                                   ⁽¹⁾

для любых i = j. Диагональные подгруппы стц определяются формулой

^σ ii

^σ ki ^σ ik ^, k 6 = i

где суммирование берется по всем k отличным от г.

Пусть ст = (ст^) — элементарная сеть над кольцом Л пор>:дка n. Рассмотрим набор ст¹ = ш = (ш^) аддитивны.т подгрупп ш_ij кольца Л. определенны.т для любых i = j следующим образом: n

ω ij

^σ ik ^σ kj ^, k =1

где, очевидно (так как ст — элементарная сеть), суммирование берется по всем k, отличным от i и j. Ясно, что ш_ij — ст_ij, следовательно, для любой тройки попарно различных чисел г. r. j, мы имеем ш_irш_r j — ш_i j . Таким образом, набор ш = ( ш_i j) аддитивных под групп ш_ij кольца Л является элементарной сетью, которую мы называем элементарной производной сетью.

Если, например, n = 3. то элементарная производная сеть ст¹ = ш = ( ш _ij) имеет вид

∗

^σ 23 ^σ 31

^σ 32 ^σ 21

^σ 13 ^σ 32 ∗

^σ 31 ^σ 12

^σ 12 ^σ 23 ^σ 21 ^σ 13 ∗

Элементарная сеть ш = ст1 является дополняемой [4, предложение 1], т. е. для нее справедлива формула (1), а потому она дополняется до (полной) сети. Элементарную сеть ш можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, пользуясь формулой (2). Однако, мы предлагаем еще один (необходимый нам для дальнейшей работы) способ дополнения элементарной сети ш до полной.

шн —

σ ik σ ks σ si ^, k6 = s

где суммирование ведется по всем 1 6 k = s 6 n (ясно, что k = i, s = г).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Элементарная производная сеть ш, дополненная диагональю либо стандартным способом (формула (2)), либо формулой (3), является сетью, которая называется производной сетью (для ст).

Пусть ст = (ст_ij ) — элементарная сеть над кольцом Л пор>:дка п. Для произвольных i — j положим

Qij — CTij + CTij Yij, где Yij — P”=i (CTjiCTij)m. Таблица Q — (Qij) является элементарной сетью, причем дополняемой, т. е. справедливы включения QijQjiQij С Qij для любых i — j [4, предложение 5]. Пользуясь формулой (2), дополним элементарную сеть Q до (полной) сети стандартным способом, положив Qii — Pk=i QikQki, где суммирование берется по k, k — i. Нетрудно видеть, что n Qii — £ Yik. k=1,k=i

Так. например. Q 11 — 712 + Y13 + """  + Y1n- Заметим, что ш_ii С Q ii для в*?якого г. Сеть Q является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сеть ст [4, предложение 6].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Сеть Q называется сетъю, ассоциированной с элементарной группой Е(ст).

Теорема. Элементарная сеть ст индуцирует элементарную производную сеть ш — (ш^) и сеть Q — (Qij). ассоциированную с элемептарпой группой E(ст), причем ш С ст С Q.

Если ш — (ш^) дополнить диагональю до подпой стаплартшчм способом (формула (2)). то для произвольного Г II любых i — j шir Qrj С шij,  Qir шг] С шij.

Если же ш — (ш^ ) дополнить дпагопалыо до подпой вторым способом (формула (3)). то включения (4) выподияются для любых i. r. j.

Для сетей ши Q рассмотрим матричные кольца

M (ш) — {a — (aij ) : aij е ш^-} С M (Q) — {b — (bij ) : bij е Qj }.

Следствие. В случае дополнения элементарной сети ш формулой (3) матричное колвцо M (ш) является двусторонним н, теалом матричного кольца M (Q).