Теорема об компактном множестве в пространстве радоновых мер

Сначала вводим некоторые обозначения:

^Q = ^Q\{0} ;  C(z0,r) = (z:^z-zo^ < г} ;  Bt^r) = {z: ^z - ZqH < r} .

Ф - это линейное пространство непрерывных финитных функций на ^ q . Будут рассматриваться как вещественные, так и комплексные пространства Ф.

Напомним теперь некоторые определения и результаты из теории интеграла и меры.

Пусть в пространстве ^ Q определена вещественная борелевская мера ц, Е с ^ Q - борелевское множество. Ограничением (сужением) меры ц на множество Е называется мер ц_Е , которая определяется формулой ц_Е(А) = [(АПЕ) для любого борелевского мно-жества А с ^ Q .

Величина |[| = р+ + р_,  называется полной вариацией или модулем меры ц.

Вещественная борелевская мера ц на R Q называется локально конечной, если для любого компакта К с ^ Q выполняется неравенство |[|(К) <  да .

Обозначим через 9Л1 семейство функций множеств , представимых в виде ц = [1 — ц2, где [1, [2 вещественные локально конечные борелевские меры на 1Q . функция [ определена на борелевских множествах Е с 1^ за исключением тех Е, для которых [1 (Е) = [2(Е) .

Теорема 1. (С.М [4]). Всякий элемент [ £ 9 1 эквивалентен разности [ 1 - [ 2 , где где [ 1 и [ 2 - положительные взаимно сингулярные локально конечные борелевские меры на 1 Q . Причем [ 1 и [ 2 определяются однозначно.

Вещественной радоновой мерой на 1 Q называется класс эквивалентных элементов из множества 9 1 . Множество таких мер обозначим 9

Из теоремы 1 легко следует, что множество ^ является вещественным линейным пространством. Проверить это свойство, исходя из определении ^, достаточно затруднительно.

Мы будем рассматривать также комплексные меры Радона. Это функции множеств вида [ = [ 1 + 1[ 2 , где [ 1 , [ 2 - вещественные радоновые меры. Ограничение меры [ на множество Е определяется по формуле [_Е = ([ 1 )_Е + i([ 2 )_E. Комплексная мера Радона [ сосредоточена на множестве Е, если выполняется равенство [ = [_Е .

Обозначим через Ж_с- это множество комплексных радоновых мер на 1 Q . Отметим, что ^_с является комплексным линейным пространством. В пространстве ^_с вводится понятие широкой сходимости. Говорят, что последовательность радоновых мер [_т широко сходится к радоновой мере [ , если для любой функции ф £ Ф(1 о ) числовая последовательность [_т(^) сходится к [(^). Обозначение [ = lim [_т . т^т

Вводятся некоторые понятия множеств, связанные с пространством ^с .

Множество Е с ^_с называется широко ограниченным, если для любой функции ф £ Ф(1 о ) выполняется неравенство sup|[(^)| < ю.

^£Е

Множество Е с ^_с называется сильным ограниченным, если для любого компакта К с 1 Q выполняется неравенство sup|[|(K) < ю.

^£Е

Множество Е с ^с называется   компактным, если из любой последовательности цт с Е можно извлечь широко сходящуюся подпоследовательность.

Компактный множество в Жс, содержащее пределы широко сходящихся последовательностей элементов этого множества, называется компактом.

Теорема 2. Всякая широко ограниченное множество в ^_с является сильно ограниченным множеством.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда существует множество E с^_с , которое является широко ограниченным, но не является сильным ограниченным. Тогда существует компакт K и последовательность радоновых мер ц е E такие, что

I Ц. К K ) > 4 "  + 2 .

Из (3.3) и из равенства Ц _т|( K )=| Ц _т||, если ц рассматривать как линейный функционал на пространстве С ( K ) , следует, что существует функция У ж е C ⁽ K ) ^такая, что К || = 1,

I

K

У ж ^(t ^Ц ж ^{( t} ) > ⁴ m

+ 1 .

Пусть K - 5 -окрестность компакта K . Из теоремы Урысона следует, что сущест-вует непрерывная функция у_т в пространстве □ n такая, что ||у_т\ | = 1 , для которой выпол-няется соотношение

_М=( У ж ⁽ x ) , x ^{е K}

^{У ж (} x )   { о , x е K .

Выбирая 5 достаточно малым получим, что ут е Ф и что выполняется неравенство

I У . ( t ) d Ц . ( t )

K 5

> 4 ^ж

^Если h-ж ( t ) = ^ ж У ж ( t ) ,^то ИМ 1 = ^{2 -} m ,

I hж ( t ) d Цж ( t )

K 5

> 2 ^ж .

Рассмотрим банахово пространство Со (K5), состоящее из комплексных непрерывных функций f на компакте K5, обращающихся в ноль на границе компакта, ||f|| = max|f (t). Будем считать функции определёнными на □ П и равны нулю вне компакта K5.

Поскольку множество Е является широко ограниченными, то для любой функции f g С _о ( K₈ ) множество { ( ц , f ) : це E } является ограниченными. Рассмотрим семейство операторов J_M : С _о( К₅ ) ^П , □ - множество комплексных чисел, це E , J_ц ( f ) = ( f, ц ) . Это семейство ограничено в каждой точке f е С_о ( K₅ ) . По теореме Банаха-Штейнгауза о равномерной ограниченности существует константа M такая, что J ||< M для любой меры ц g E . Это неравенство противоречит неравенству (1). Теорема доказана.