Теорема об общем виде линейного непрерывного функционала в пространстве непрерывных финитных функций

Сначала вводим некоторые обозначения:

^^Q = ^^Q\{0} ;   C⁽z₀,r) = (z:^z-z o ^ < r} ;   B⁽z₀,r'⁾ = {z: ^z - Z q H < r} .

Ф - это линейное пространство непрерывных финитных функций на ^ Q . Будут рассматриваться как вещественные, так и комплексные пространства Ф.

Напомним теперь некоторые определения и результаты из теории интеграла и меры.

Пусть в пространстве ^ Q определена вещественная борелевская мера ц, Е с 1 Q - борелевское множество. Ограничением (сужением) меры ц на множество Е называется мер ц_Е , которая определяется формулой ц_Е(А) = ц(АПЕ') для любого борелевского мно-жества А с ^ Q .

Величина |ц| = р+ + р_,  называется полной вариацией или модулем меры ц.

Вещественная борелевская мера ц на R Q называется локально конечной, если для любого компакта К с ^ Q выполняется неравенство |ц|(К) <  ^ .

Обозначим через 3 1 семейство функций множеств , представимых в виде ц = ц 1 — ц₂, где ц 1 , ц₂ вещественные локально конечные борелевские меры на ^ Q . функция ц определена на борелевских множествах Е с ^ Q за исключением тех Е, для которых ц₁(Е") = ц₂(Е) .

Теорема 1. (С.М [4]). Всякий элемент ц £ 3 1 эквивалентен разности 1 1 — ц₂, где где ц 1 и ц₂ - положительные взаимно сингулярные локально конечные борелевские меры на ^ Q . Причем ц 1 и ц₂ определяются однозначно.

Вещественной радоновой мерой на № q называется класс эквивалентных элементов из множества 9Л 1 . Множество таких мер обозначим ^.

Из теоремы 1 легко следует, что множество ^ является вещественным линейным пространством. Проверить это свойство, исходя из определении ^, достаточно затруднительно.

Мы будем рассматривать также комплексные меры Радона. Это функции множеств вида р = р 1 + 1р 2 , где р 1 , р₂ - вещественные радоновые меры. Ограничение меры р на множество Е определяется по формуле р_Е = (р 1 )_Е + 1(р 2 )_Е. Комплексная мера Радона р сосредоточена на множестве Е, если выполняется равенство р = р_Е .

Обозначим через ^_с - это множество комплексных радоновых мер на ^ о . Отметим, что ^._с является комплексным линейным пространством. В пространстве ^_с вводится понятие широкой сходимости. Говорят, что последовательность радоновых мер р_т широко сходится к радоновой мере р , если для любой функции р £ Ф(^ 0 ) числовая последовательность р_т(р) сходится к р(р). Обозначение р = lim р_т . т^т

Вводятся некоторые понятия множеств, связанные с пространством ^с .

Множество Е с ^_с называется широко ограниченным, если для любой функции р £ Ф(^ 0 ) выполняется неравенство sup|р(р)| < ш.

цеЕ

Множество Е с ^_с называется сильным ограниченным, если для любого компакта К с ^ 0 выполняется неравенство sup|р|(К) < ш.

цеЕ

Множество Е с ^_с называется компактным, если из любой последовательности р_т с Е можно извлечь широко сходящуюся подпоследовательность.

Компактный множество в ^с, содержащее пределы широко сходящихся последовательностей элементов этого множества, называется компактом.

Теорема (об общем виде линейного непрерывного функционала в комплексном пространстве Ф(^д). Для того, чтобы Т был линейным непрерывным функционалом в пространстве Ф(^д), необходимо и достаточно, чтобы существовала мера це^с такая, что (Т , р-) = (ц, р-). Причём мера ц определяется функционалом Т однозначно.

Доказательство.

Видно, что (ц, р) - линейный функционал, из неравенства |(ц, р)| < |ц|(supp ф )| ф | и определения сходимости в пространстве Ф(^о) следует, что

(ц,р) - линейный непре-рывный функционал в пространстве Ф(^ у ). Итак нам надо доказать вторую часть теоремы. Заметим, что единственность меры ц следует из предыдущей теоремы. Осталось доказать, что для любого линейного непрерывного функционала Т существует мера ц е ^_с такая, что ⁽Т,ц) = ⁽ц,р).

Докажем теперь что, для любого m > 2 существует константа Мт такая, что если supp р с

(5(0,m)\c(0.m)),

то выполняется неравенство

|(Т.р)|2МтН(Н. Если это утверждение не верно, то существует m > 2 и последовательность   рт е Ф(^о)   такие, что   ||рт|| = 1, supp р с

(в(0,т)\С (0Д)), |(Т,Р т )|

> 4т. Пусть ^т = 2 трт. Тогда hm сходится к нулю в пространстве  Ф(Жо),  |(Т, ^т)|>2т.  Это противоречит непрерывности функционала Т. Таким образом существование константы

Мт доказано.

Теперь рассмотрим банахово пространство С

(в(0,т)\С(0,т))

и

линейное много-бразие £т этого пространства, состоящее из тех функций

р е Ф(^о), для которых supp ф с

B(0,m)\C (0,^). Пусть Тт ограничение

функционала Т на пространство £т. Если р е Тт, то выполняется следующее соотношение

1(Тт,р)1 = 1(Т,р)| <МтИрИ.

По теореме Хана-Банаха существует расширение Тт функционала Тт на пространство

с(в(0,т)\с(0,1))

такое, что для любого р е С

(в(0,т)\

с(о,^)) будем иметь |(Tm.ф)|

Покажем теперь, что ограничение мер v_m+i и v_m+2 на компакт В(0,т)\ С (о,?п) совп-адают. Пусть б G (о, m^.!.!)), V^ G Ф(^-о) такая функция, что на компакте В(0, т)\С (о,~) она совпадает с произвольной наперёд заданной непрерывной функцией V(x) и пусть ij)(x) = 0 на В (о,^- б)\{0} и на ^о\С(О, т + б). Из теоремы Урысона следует, что гр(х) продолжается до непрерывной функции в пространстве Rq , причём \\V\\ = IIVH. поэтому

~

~

выполняются соотношение V G ^_m+i, V G L_m+2. Поэтому

(T,V) = (Tm+i,¹^ = (Tm+i

(T,V) = (Tm+2,i) = (Tm+2

,V) = J lJ’⁽X⁾dVm+i⁽X⁾, ^o

,V) = J V⁽xWm+2⁽X⁾. ^o

Мы получили равенство

Vm+2⁽X⁾ - dtm+ito) = 0.

^о

Можем переписать в виде

J    V⁽X⁾(dVm+2⁽X⁾ — d^m+i

B(O,m)\c(o,m)

J    i^d-Vm+i^) +

B(O,m)\c(o,m—8)

+

J     ^(X) dVm+i⁽X)

—

B(0,m+5)\C(0,m)

J     ^⁽X⁾dVm+2⁽X⁾

B(O,m)\c(o,ⁱ-6)

J      Tp⁽X⁾dVm+2⁽X⁾.

—

B(0,m+S)\C(0,m)

Каждый из интегралов в правой части написанного равенства стремится к нулю при 5^0, получим равенство

J     1?⁽X⁾(dVm+2⁽X⁾ — d^m+i⁽x)) = 0.

B(0,m)\c(0_/¹)

Так как ^(x) Е C (B(0,m)\C (o,“)) произвольная функция, то отсюда следует, что ограничения мер v_m+1 и v_m+2 на компакте B(0, m)\C (о,~)

совпадают.

Теперь для любого m > 2 определим меру vm как ограничение меры vm+i на компакте B (0,m)\C (о,^). Если к >m, то ограничение меры vk на компакте B (0, m)\C (о, “) совпадают с мерой радонова мера [ Е^с такая, что ограничение [ C (о,^). совпадает с vm.

Теперь заканчиваем доказательство теоремы.

v_m. Тогда существует

на компакте B(0,m)\

Пусть р Е Ф(^о)

–

произвольная функ-ция. Существует такое m > 2, что supp ф Е B(0, m)\ C (о,-¹). Тогда р Е Lm+i,

⁽Т,ф) = ⁽Tm+i,p) = (jm+i,p) = J p⁽X⁾dVm+i⁽X⁾ = J p⁽X)dVm⁽X)

«0

= J p(x)d[(x) = ([,().

«0

Теорема доказана.

^0