Теоремы обращения и единственности для интегральных операторов типа радона

Традиционно отечественные методики анализа, производства, основываются на. развитой в условиях плановой экономики технологии анализа, межотраслевого баланса. В современных условиях предположение о стабильности затрат в разрезе импортная-отечественная продукция по отношению к выпуску, вообще говоря, не выполняется. Поэтому при описании агентов необходимо моделировать их поведение, описывать процесс выбора агентом между отечественными и импортными ресурсами в ходе производства. Для этого можно использовать модифицированную модель Хаутеккера-Иохансена, предложенную А. Шананиным в работе [1].

В обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена функционирование чистой отрасли описывается в терминах функции прибыли Щ(р,ро), сопоставляющей ценам на производственные факторы р = (pi,... ,p_n') Е intR+ и цене ро >  0 за единицу выпускаемой продукции суммарную прибыль отрасли за. один производственный цикл, где R+ = {(жі,..., ж_и) Е R” : жі,..., ж_п > 0}. Функция прибыли имеет вид

П (Р,Ро) = (П ц)(Р,Ро)

j⁽ро ^- q⁽p ° ^ж))+ ц⁽сМ,

R +

а+ = max(a, 0),

где р ° ж = (ріжі,.. .,р_п ж_п), р = (рі,... ,р_п), ж = (жі,... ,ж_п), q(p ° ж) — функция себестоимости единицы выпускаемой продукции, ц — распределение мощностей по технологиям. Математически q — гладкая неотрицательная полоткителыю однородная функция на R+. а ц — неотрицательная локально конечная борелевская мера на R+.

При исследовании обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена. естественно возникают вопросы обращения и единственности для функции прибыли как интегрального преобразования распределения мощностей по технологиям. Задача обращения заключается в нахождении распределения мощностей по техологиям ц по известной функции прибыли Щц. В настоящей работе при получении формулы обращения мы также предполагаем априорно известной функцию себестоимости q.

Вопросы единственности для функции прибыли П_ц ц связаны с нахождением условий на класс мер {ц} и на класс функций себестоимости {q}, при которых из равенства функций прибыли П_Ц1 ц_і = Щ₂ц₂ для пекоторых ц1, ц₂ Е {ц} и q₁, q₂ Е {q} будет следовать, что ці = ц2. В настоящей работе вопросы единственности рассматриваются для класса функций себестоимости с постоянной эластичностью замещения:

q_a(p ° ж) = ((ріжі)“ + ... + (р„ж_п)“) “ , 0 < a 6 1.

Случаю a = 1 отвечает производство в отрасли с производственной функцией Леонтьева на микроуровне. В этом случае эффект замещения производственных факторов отсутствует.

Исследованию функции прибыли в модели чистой отрасли в отсутствие эффекта замещения посвящены работы [2,3]. Формула обращения для функции прибыли в случае постоянной эластичности замещения производственных факторов была получена в работе [4]. Формула обращения интегрального преобразования типа Радона, полученная в настоящей работе, является обобщением формул обращения для функций прибыли из работ [3,4] на случай производственных систем с произвольной эластичностью замещения производственных факторов (не обязательно постоянной). Более того, полученная формула обращения обобщает формулу обращения для преобразования Лапласа и позволяет обратить преобразование Фантаппье.

2.    Интегральные операторы типа Радона и обобщённое преобразование Радона

Функция прибыли (1) является частным случаем интегрального оператора типа Радона. Интегральный оператор типа Радона определяется с помощью непрерывной неотрицательной функции q на положительном ортанте R+, удовлетворяющей условию положительной однородности: q(Xx) = Xq(x) x G int R^, X > 0, и с помощью функции h G L1(0, +то) по формуле

(R^)(p) = J h(q(p о x)) д^), ■ \ где д — локально-конечная борелевская мера на R^. Ес ли f — достаточно регулярная и быстро убывающая функция на R^, мы будем также писать

^(Rq^{f )(}Р) = j h(q⁽p ^{о x)})^f(x)

dx.

у

Функции прибыли в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена соответствует выбор h(t) = (Ро — t)+ (^см- [!])• Другими примерами интегральных операторов типа Радона являются преобразование Лапласа, соответствующее выбору q(p о x) = p₁x₁ + ... + p_nx_n, h(t) = e^-t, и преобразование Фантаппье, которому соответствуют q(p оx) = pixi +...+ p_nx_n, h(t) = (1 + t)^-1.

С интегральным оператором типа Радона Rg тесно связано (обобщённое) преобразование Радона по гиперповерхностям уровня функции q. Если д — неотрицательная локальноконечная борелевская мера на R+, то её обобщённым преобразованием Радона R_q д называется производная в смысле теории распределений:

д

^(Rq Д⁾⁽Р^,Р 0 ⁾ = д^   J Д^^

q(pox)6p0

При каждом фиксированном p G int R+ выражение (R_q д)(p, •) представляет собой неотрицательную меру на [0, +то). Для функций h G С_с[0, +то) (непрерывных и с компактным носителем) справедлива формула

+ ^

j ^h(t)(Rq Д ⁾⁽p^{,t) dt} = ^(Rq Д ⁾⁽p) , о

которая следует непосредственно из определения производной в смысле теории распреде- лений:

+ ^

j h(t)(Rqp)(p,t) dt = - о

+ ^

/ KW J

0         q(pox)6t

p(dx) =

= -J J h' (t) dtp(dx) = J h(q(p о x)) p(dx) = (RyP^^p¹).

R" q ( pox )

у

Если теперь f E C (R+), то обобщённое пре образование Радона R_q f по гиперповерхностям уровня достаточно гладкой положительно однородной функции q (т.е. q(Xx) = Xq(x) x E int R+, X > 0) определяется формулой

(Rq f )(P,P0)

= j   f (x)(d_xq(p о x) y dx)

q(pox)=p0

где d_xq(p о x) Л (d_xq(p о x) y dx) = dx. Форма d_qq(p о x) y dx называется формой Гельфанда-Лере. В случае неотрицательных функций f определения обобщённого преобразования Радона функции f и меры f (x) dx приводят к одному и тому же выражению.

3. Обращение интегральных операторов типа Радона и обобщённого преобразования Радона

Задача обращения интегральных операторов типа Радона — это задача решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода вида

Rq f (p) = j у

h(q(p о x))f (x) dx = r(p),

где q — достаточно регулярная положительно однородная функция на R+, h — достаточно регулярная и быстро убывающая функция на [0, +то), г — достаточно регулярная и быстро убывающая функция на R+. Оказывается, что решение этой задачи даётся явной формулой. Эта формула основана на том, что преобразование Меллина, применённое к Rq^, распадается в произведение преобразований Меллина от h, q и д, что позволяет найти одну из этих функций по трём другим.

Напомним, что преобразование Меллина функции f нa R+ определяется формулой

(Mf )(z) = j x^{z !}f (x) dx,  x^{z 1} = (x ^ ^{1 1}

■ "

^zn ¹ ) . , ^xn ) ,

где x = (x1, ..., x_n) z = (z1,..., z_n) I = (1,..., 1). Обратное преобразование Меллина функции р, определённой на множестве с + iRⁿ, с E Rⁿ, даётся формулой

(M_c¹p)(x) = (2лг) ⁿp.v.

j x zP(z)

dz,

c+iR"

где символ p.v. соответствует пониманию интеграла как предела интегралов по шарам {z = с + ги | |п| 6 R} при R ^ +то.

Для того чтобы получить формулы обращения для обобщённого преобразования Радона и для интегральных операторов типа Радона, нам понадобится доказать несколько вспомогательных лемм.

Лемма 1. Пусть q Е С (R+) П С ¹(intR^), ((х) > 0 прu х Е int R+ и ((Хх) = Х((х) для всех х Е int R+, X > 0. Пустъ t^c1+’"^+c"^-1h(t) Е L¹ (0, +то) при некотором с = (с1,..., с_п ) Е int R+. Тогда при z Е С¹, Re z = с, справедлива формула

(M_ph(q(p о х)))(z) = х^-z (^-^ТМ^        .

Доказательство. Имеет место следующая цепочка равенств:

(M_ph(q(p о x)))(z) = J p^{z 1} h(q(p о х)) dp = х ^z У ( p о x)^{z 1} h(q(p о х))х⁷ dp R y                         R y

= X

^z У y^{z 1} h(q(y^ dy = х ^z

R y

+^

/ h(t) /

⁰        9(y)=t

y^{z 1}(dq y dy) dt =

= х

+^

j /■■...■■■—1h(t) dt у

⁰                        q(u)=1

y^{z 1} (dq ydy),

где dq Л (dq y dy) = dy. Первый интеграл в последнем выражении — это преобразование Меллина от функции h. Осталось вычислить второй интеграл в последнем выражении. Для этого положим в цепочке (5) h(t) = exp(—1) их = (1,..., 1). С учётом того, что M_te - = Г — гамма-функция, получим, что

(Me-9) (z)

P^(z1 + . . . + Zn)

У y^{z 1} (dq ydy) =

9(у) = 1

Подставляя это равенство в (5), получаем требуемую формулу.

Лемма 2. Пусть f Е С (R+) и f(х) = О(|х|^-“) при |х| ^ то, где а > с1 +... + с_п для некоторого с = (с1,..., с_п) Е int R+. Тогда х^с-1 f (х), х^2с-/|f(х) |² Е L¹(R+), где I = (1,..., 1).

Доказательство. По условию существует такая константа С, что при достаточно больших |х| имеет место оценка |f(х) | 6 С (х1 +... + х_п)^-“. Имеет место легко проверяемая формула

/

Ж 1 + ... + Ж п >  1 $ 1 ,...,x_n > 0

^с-1

----------— dх

(х1 + ... + хД^

Г(с1)... Г(с„)

^Г(с1 + . . . + ^сп)

(а — с1 — . . . — сп) 1

где Г — гамма-функция. Из этой формулы следует, что функция (х1 +... + х_п)^-“ интегрируема с весом х^с-1 по внешности не которого шара в R+ с центром в нуле. Из оценки на |f| следует требуемое утверждение.

Лемма 3. Пусть q Е С (R+) ПС ¹ (intR+), ((х) > 0 при х Е intR+, ((Хх) = Х((х) при х Е intR+, X > 0. Пусть f Е С (R+), /(х) = О(|х|^-“) при |х| ^ то для некоторого а > с1 +...+ с_п, г де с = (с1,..., с_п) Е Rⁿ, 0 < с^ < 1, к = 1, .. ., п. Обозначим I = (1,..., 1). При этих условиях справедливы следующие утверсисдения.

• (А)    При z Е С^п, Re z = с, справедлива формула

(Mf )(z) • (Me^-9)(I — z) = M[R_q /(•, 1)](I — z) • Г(п — Z1 — ... — z„). (6)

• (В)    Пусть t^{n ci} ... ^{Cn 1} h(t) Е L1(0, +то), h ограничена. Тогда при z Е Cⁿ, Re z = с, справедлива формула

^{(Mf )(z)} •^{(Me 9 )(I — z)} •^{(Mh)(n — z}1^—...^{— z}n) = ^(MR9^{f )(I — z)} • Г^{(п — z}1^—...^{— z}n). (7)

Доказательство. (А) С учётом теоремы Фубини и леммы 1 при z Е Cⁿ, Re z = с, можно записать

/

R y xR y

p^-'e^-q(poz)/(x) dxdp

=//(-)/ R +      R +

p-z _е-у ( рож )

dp dx =

j /(x)x' ¹ dx (Me ^q)(I — z). (8)

R y

С учётом леммы 2 выражение справа конечно, поэтому и выражение слева конечно. Снова пользуясь теоремой Фубини, запишем

/

p^-' е^-9(рож)/ (x)dxdp

R y xR y

=kU

R y     R y

e^-q(por)/ (x)dxdp =

+ ^

= / ^ / е-' /

/ (x) (d_xq(p ox) y dx) dt

R ++        0    q(pok)=t

+ ^

= / ^ / е-'

R y      0

^{1 (R}q^/ ) ( Д 1) ^dtdp =

= / e^-t к

R y

-^-z(Rq /) (^p, 1) dpdt = j e^^tf^-^zl-:^-z" 0

¹ dt •M[Rq /(•, 1)](I — z). (9)

Сопоставляя (8) и (9), замечаем, что их левые части равны. Приравнивая их правые части, получаем утверждение пункта (А).

(В) Как и при доказательстве пункта (А), при z Е Cⁿ, Re z = с, с учётом теоремы Фубини справедливо равенство

/

p 'h(q(p ox))/ (x)dpdx =

R y xR y

= j x' ^J/(x)

R y

dx

(Me^- )(I — z) ^{r(n — z} i ^— ... ^{— z}_n)

(Mh)(n

— z i

^— . . . ^{— z}Ti⁾. (10)

Снова применяя теорему Фубини, можно записать

/

p 'h(q(p ox))f (x)dpdx

R y xR y

/ p-7

R ++      R y

h(q(p o x))/ (x) dx dp = (MRq/)(I —

z).

(И)

Сравнивая (10) и (11), получаем требуемое утверждение.

Далее нам понадобится ввести специальный класс функций. Положим по определению

С^N,^a (Rⁿ) = {п Е С^N (Rⁿ): hnhTV,_CT 0,

11 ti-11 TV,CT

d |“|n(x) dx“

max sup(1 + |x|ⁿ) ^ aGZ y : |a|6N_$GRn

Справедлива следующая лемма.

Лемма 4. Пусть п Е СN,CT(Rn). где a > п. п > 2. N > 0. Тогда и Е L1(Rn) и для преобразования Фурье

п(Д = J e^z^^$u(x) dx,

R ⁿ

е е Rⁿ,

справедлива оценка

Q n-1 N

Iа«Ж-------IHn,|?|-n, € е R" \{0}, ст — п где Ип-1 — площадь единичной сферы в Rn.

Доказательство. Сначала заметим, что из условия п е С^N,cr (Rⁿ) следует, что все частные производные функции п вплоть до порядка N принадлежат L1(Rⁿ) и справедлива формула

/ е^г^ ^^^ dx = (—гфГ ...  <<),

J      dx1

R"

где € = (€і,..., €_n) е Rⁿ, а е Z"+, |а| 6 N . Беря модуль от левой и правой частей, домножая равенства на полиномиальные коэффициенты и суммируя по всем а е Z+ с |а| = N, получим равенство

у

N=N v 7 R"

_еі^_ж дНпД) dx^a

dx =(|€1| + ... + |<^|)N|<)|, € е Rn.

Далее, из условия п е С^N,a (Rⁿ) для каждого а е Z+, |а| = N, вытекает оценка:

Г _e-il ■■   dx

J      dxa

R"

(1 + |x|”) "dx = |n|N,a

Qn-1

а — п

R"

Учитывая эту оценку, оценку |€1| + ... + |€_n| > |€Ь ^а также то, что сумма всех полиномиальных коэффициентов (^N) по а е Z^, |а| = N, равна n^N, получим из (13) указанное в условии леммы неравенство.

Теперь у нас всё готово для того, чтобы получить формулы обращения для обобщённого преобразования Радона и для интегральных операторов типа Радона.

Теорема 1. Пусть q е С (R+) ПС ¹ (intR+), q(x) >  0 при x е intR+ и q(Ax) = Aq(x) при x е int R+, A > 0. Пусть f е С (R+), f (x) = O(|x|^-“) пр и |x| ^ то при некотором а > с1 + ... + с_п, где с = (с1,..., с_п ) е Rⁿ, 0 < с/ < 1, k = 1, . . ., п. Определим п(у) = е^суf (е^У), е^У = (е^У1,..., е^" ), у = (у1, ..., у_п). Пусть п е С^N,CT (Rⁿ), где N > п + 1, а >  п, п >  2. Далее, пусть һ — ограниченна я функция на [0, +то), удовлетворяющая условию t^n-C1-’"^-c"^-1h(t) е Т1(0, +то).

Тогда справедливы формулы f (x)   f uppr(x) + f cuv(x), x е R . , fapPr(x) = (—2лг)-и / x^1 МЫй1^!r(Z1 + ... + Zn) dz, (Ме у)(z)

I-c+iBR

p (          X -n f г-I (MR^f )(z)r(Z1 + ... + z_n)

^f,,_pРЛх= = ^{( 2} J ^x   (Ме-у)(z) . (Mh)(z1 + ... + Zn)

I-c+iBR

(О ^п-1Д ^N            --с

If"’ 0, где Bp = {x е Rn: |x| 6 R}, ^n 1 — площадь единичной сферы в Rn, I = (1,..., 1) . x-c = x^C1 . . . xnC".

Доказательство. Из условия п е С^N,CT (Rⁿ) следует, что п е L1(Rⁿ) П L²(Rⁿ). Так как при этом функция п непрерывна, то по формуле обращения преобразования Фурье справедливо поточечное равенство

п(у) =(2л)^-п

j ^-г^ u(€)d<,

у е Rⁿ,

R"

где функция п определена формулей (12). Представляя „(у) = есуf(еу) и определяя х = еу, перепишем это равенство в виде f (х) — fappr(х) + Л1 т(х),  х G R+, fappr(х) = (2л)-п I х"(с^ЭД d^, Br

f« _т(х) = (2л)^-п у х-^ад^. r - \ B r

Справедлива следующая цепочка равенств:

„(^) = j е^ „(у) dy = j e^^^yf (c^y ) dy =

R ⁿ

R ⁿ

= J хс+^ ff (х) dх = (Mf )(с + гД, R++ где преобразование Меллина Mf определяется формулой (4). Используя эту формулу и формулу (15), можно записать fapРг(х) = 2:    У х-^c+г«(Mf )(с + i<)d< =

Br

= (2лг)^-п j х^-2(Mf )(^) dz.

c + iBr

Подставляя в это равенство выражения для M f из (6) и (7), получаем выражения для /аррг в формуле (14).

Воспользуемся теперь леммой 4, чтобы оценить ferr в формуле (15). Непосредственным применением леммы получаем оценку:

|fer_г(х)| 6 х

-

^с(2^)^-п I К)И 6

R " \ B r

6 X

QП-1 N            c с          Г Mn,ct     irN d^ =

(2л)^п(ст - n)            J

R " \ Br

= X

-

_с     (Q^n-1)²n^N

(2л)^п(ст — n)(N

-

^ INK R^ .

Теорема полностью доказана.

4. Теоремы единственности для обобщённого преобразования Радона и для функции прибыли

Перейдём теперь к вопросам инъективности преобразования Радона и функции прибыли. С экономической точки зрения нас интересует вопрос о том, при каких условиях разным распределениям мощностей по технологиям в обобщённой модели Хаутеккера-Иохансена будут соответствовать разные функции прибыли.

Мы будем рассматривать частный случай функций себестоимости выпускаемой продукции, отвечающий постоянной эластичности замещения производственных факторов. Именно, мы рассматриваем функции q_a(х') = (х“ + ... + х“) Ф 0 < а 6 1, х = (х₁,...,х_п) G R+ Легко видеть, что q_a G С (R+) ПС ¹(int R+), q_a(Xx) = Aq_a (х) при х G int R" и A > 0.

Сначала найдём условия на меры ц и v, при которых из равенства функций прибыли Щ_ац = Щ_аv (или обобщённых преобразований Радона: R_qa ц = R_qa ? при одной и той же функции себестоимости q_a будет следовать, что меры ц и v совпадают.

Теорема 2. Пусть а >  0, ц u v — неотрицательные борелевские меры на R+, такие, что exp(—А|х|) Е L¹(ц) П L¹(v ) при пеквтором А >  0. Пусть выполнено равенство (А) Rq_aц = Rq_a v или (В) Щ_а ц = Щ_аv. Тогда ц = v.

Доказательство. (А) Из равенства мер Rqaц = Rqa v в силу (3) следует равенство j ц(dx') = j v(dx), р Е int R+, t > 0. qa(po:c)6t     qa (pox)6t

Чтобы в этом убедиться, достаточно применить формулу (3) к монотонно последовательности непрерывных функций һ_п(т ) с компактным носителем, дящейся при п ^ то к индикатору отрезка [0,t].

Теперь сделаем в интегралах в формуле (16) замену

возрастающей поточечно схо-

переменных

(уі,...,Уп) = (x^,...,x“), (р1,...,рП) = (р“,...,рП) t' = t“. Так мера ц перейдёт в меру цх, а мера v — в меру v'. Мы придём к равенству j ц'^У) = j v'W),

p‘ y6t‘

p‘y6t‘

где р'у = р'1 уі +... + р'_пу_п. Дифференцируя последнее равенство по t', домножая на exp(—t') и интегрируя по t' Е [0, +то), получим, используя формулу (3) и представление exp(- t') в виде предела последовательности функций с компактными носителями, следующее равенство:

j exp(—ру) ц'(dy) = j exp(—ру) v'(dy).

R +

R +

Это равенство справедливо при р Е Cⁿ, Re р >  с(А), г де с(А) Е int R+ — некоторый вещественный положительный вектор, зависящий от А. Из совпадения преобразований Лапласа мер ц' и v‘ при р Е Cⁿ, Re р >  с(А), следует, что ц' = v', откуда следует, что ц = v.

(В) Этот случай сводится к уже рассмотренному следующей леммой, более детальное доказательство которой можно найти в [4] (лемма 2.1).

Лемма 5. Пусть ц — борелевская мера со знаком на R+, для которой конечна на компактах полная вариация |ц| = ц+ + ц-, г де ц = ц+ — ц- — разлозюение Жордана меры ц. Пусть 0 < а 6 1. Тогда справедлива следующая формула:

д2(nqaцКр^хр , xz x я 2        = (Rq«ц)(р,ро).

др2о

Схема доказательства леммы. С учётом определения (2) обобщённого преобразования Радона достаточно показать, что справедливо равенство

д дрр^(nqaц)(р,ро) = ц{х Е R+: да(р о х) 6 ре} .

Пусть А > 0 (с А < 0 всё аналогично) и [И] обозначает скобку Айверсона: [А] = 1, если А истинно, и [А] = 0, если А ложно. Тогда требуемая формула следует из следующей цепочки равенств:

(ЩаЦ)(Р,Ро + А) - (ЩацШро) =

= j[qa(p о ж) 6 ро + А] (ро + А - q_a(p о ж)) ц(dж) - j [q_a(р о ж) 6 ро] (ро - q«(p о ж))ц(dж) =

R+                                             R+

= А j[q_a(p о ж) 6 ро + А] ц(dж) + j [ро < q_a(p о ж) 6 ро + А] (ро - q_ct(p о ж)) ц(dж) = R+                           R+

= А • ц {ж € R++ | q_a (р о ж) 6 ро} + о(А).

Теперь мы получим условия на меры ц и v, при которых из равенства функций прибыли (или обобщённых преобразований Радона) мер ц и v при разных функциях себестоимости будет следовать, что меры ц и v совпадают. Эти условия оказываются более ограничительными, чем в случае одной и той же функции себестоимости, однако в случае разных функций себестоимости, кроме равенства мер ц и v, можно также утверждать, что носители мер ц и v сосредоточены на объединении координатных лучей. В реальных экономических системах распределения мощностей по технологиям ц и v обычно абсолютно непрерывны на объединении координатных лучей (меры объединения лучей равны нулю), что соответствует невозможности производить продукцию, используя лишь один тип ресурсов. Поэтому для таких экономических систем совпадение функций прибыли при разных функциях себестоимости и при мерах из соответствующего класса возможно лишь тогда, когда функции прибыли и распределения мощностей по технологиям тождественно равны нулю.

Нам потребуется следующая теорема (см. [5]):

Теорема 3 (С.Н. Бернштейн (1926), В. Гильберт (1952)). Вещественная функция f (р), определённая на поломсительном ортанте int R+, представима в виде преобразования Лапласа:

^{f (}р) = j е^-ржц⁽ж⁾,

R+ неотрицательной борелевской мери ц тогда и только тогда, когда f вполне монотонна, то есть f бесконечно дифференцируема, и для любого мультииндекса а € Z+, и для любого р € int R+ выполнено равенство

(-1)|а|

d ^Hf (р) Эр“

> 0.

При этом f (+0) = ц(R+) и мера ц моэюет не быть конечной. Более того, мера ц определена единственным образом и локально конечна.

Теперь мы воспользуемся теоремой 3, чтобы получить следующий результат.

Теорема 4. Пусть ц, v — неотрицательные конечные борелевские меры на R+, а > 3 >  0, |ж|“ € L1(v ). Пусть выполнено равенство (Л) П_Чац = Rq_pv или (В) П_Цац = n^v. Тогда ц = v, причём носитель этих мер сосредоточен в объединении координатных лучей U^=1 Ож/, где Ож/ = {(жі,..., ж_п) € R+ : V г = к ж^ = 0}.

Доказательство. (А) Из равенства Кдац = Rqpv в силу (3) следует, что j ц(dж) = j v(dж),

р € int R^, t > 0.

qa(pox)6t     qp {pox)6t

Теперь сделаем в левом интеграле замену (уі,..., уп) = (ж“,..., ж“), а в правом — замену (уі,..., уп) = (ж^,..., ж^). При этом мы перейдём к новым мерам ц‘ и v‘. Переходя также к новым параметрам р и t в интегралах, получим j p'W) = j V'(dy), 7 = ^, 0 < 7 < 1, руб

рТ p6tT где р7 = (р7,...,ph). Беря производную от последнего равенства по t, умножая на exp(-t) и интегрируя по t Е [0, +то), получим равенство

У exp(-py) p'(dy) = j exp (-(р⁷ y) ) v '(dy).

R"

R "

По теореме 3 слева стоит вполне монотонная функция, поэтому функция справа также вполне монотонна. В частности, её вторая частная производная по первой паре индексов (можно взятв любую пару различных индексов) неотрицательна:

/У1У2 (g (

R+        \/С=1

Рк

Р1 + ... + р_п

) Ук^     ((р7у)7 + 7 - 1) exp (-(р7у)■) V'(dy) > 0

при р Е int R+. Переходя к пределу при рі = ... = p_h ^ +0, получим

(7 — 1)п27 1

j У1У2⁽У1

1 _о

+ ... + Уһ)^Т V (dy) >  0.

R "

Так как 7 < 1. то отсюда следует, что носитель меры v ‘ сосредоточен на множестве {у Е R+: yiy2 = 0}. Те же рассуждения можно было провести для произвольной пары индексов, поэтому носитель v‘ сосредоточен на множестве {у Е R+ | yiyj = 0, г = j} = Uh=1 ОУк- С учётом этого равенство (17) переписывается в виде

j exp(-py) р (dy) = У exp (-ру ' ) v ‘(dy) = У

exp(- ри) v‘‘(du),

R

R

R

1       1

где v ‘‘ получается из v ‘ заменой пвременных (ui,...,u_h) = (yp ,...,yh ). Из совпадения преобразований Лапласа мер р и v ‘‘ эти меры сов падают. Мера р получаете я из меры р заменой переменных (yi,..., y_h) = (x“,..., xh), равно как и мера v " — из меры V. Поэтому совпадают и меры р и V.

(В) Этот случай сводится к случаю (А) применением леммы 5.

Оказывается, что ограничение на рост мер в теореме 4 существенно. Имеет место следующий пример неединственности.

Предложение 1. Рассмотрим две локалъно-конечние мери на R² :

p(dx1, dx2) =

1 1     _к^ / УХ1 + Х2

dx1 dx2,

77Х1Х2 УХ1 + Х2       УХ1Х2

v(dx1, dx2) = — exp (-уХу 1) 5(x1 - х2) dx1 dx2, Х1      \          / где K1(s) = 2 /q^ exp (-2 (t + 1)) dt, s Е C, Re s > 0, — модифицированная функция Бесселя второго рода. Тогда справедливо равенство

(Rm p)(p1,p₂,dt) = (R_q 1 v)(p1,p₂,dt) = exp (—1=(урі + Ур2) ) 7^ = d$p(t). ²                   V Vt            / ^t

Для доказательства предложения 1 нам потребуется следующая лемма.

Лемма 6. Семейство {а_р: р Е int R+} неотрицательных борелевских мер на [0, +то) представимо в виде а_р = (R_qa р)(р, •) при некотором 0 < а 6 1, г де ц — некоторая неотрицательная борелевская мера на R+, для к второй exp(-А|х|“) Е JL¹ (ц) при всех А >  0, тогда и только тогда, когда

• 1)    при всех р Е int R+ имеет место равенство

^ға(р) = j exp(-t“) de_p„-i (t) = Дц‘)(р) = j е ^таЦ(dy),

■\                                                    Ry где р“ 1

= (р“ ¹ ,...,р“ ¹), ц' (dy) — некоторая неотрицательная локально конечная боре-

левская мера, L — преобразование Лапласа, рх = р₁х₁ + ... + р_пх_п,

• 2)    для всех р Е int R+ и А > 0 справедливо равенство

+^               +^

I exp(- t^a) de_Xp(t) = J exp(-A“t“) de_p (t).

о

о

Более того, меры ц'(dy) и ц(дх) определены однозначно и связаны заменой переменных ^(y1 , . . . , ^y п)      ^(х1 , . . . , ^Х п )'

Доказательство. Необходимость. Пусть һ_п — монотонно возрастающая последовательность непрерывных функций с компактным носителем на [0, +то), поточечно сходящаяся к h(t) = exp(-1“). Применяя формулу (3) к каждой функции һ_п и беря предел при п ^ то, с учётом теоремы Лебега о монотонной сходимости, получим формулу (18).

Снова по формуле (3) для функций һ_п при всех А > 0 можно записать

+^

j h_n(t) о

+го d$Ap(t) = j һп(да(Ар о х)) p(dx) = J һп(Ада(р о х)) p(dx) = J hn(Аt) dep(t).

R ++

R ++

о

Предельным переходом при п ^ то в последнем равенстве получим формулу (19). Достаточность. Определим S _р = (R_q„р)(р, •)• Из необходимости и из свойств (18), (19) получим для всех А > 0 следующую цепочку равенств:

+^

j exp(-A“t“) dee _p(t) о

+ exp(-t")dS Др(і)

о

У exp(-А“р“у) Ц(dy)

R ++

+^

У exp(-t") de_Xp(t) о

+^

У exp(-A“t“) dep(t). о

Из совпадений преобразований Лапласа мер ар и аер, получающихся из мер е_р и ае _р заменой переменных s = t^a при А > 0. следует, что меры е_р 11 ае _р равны, то есть е_р = (R_qaц)(р, •).

Единственность мер следует из теоремы 3.

Доказательство. (Доказательство предложения 1). Нам достаточно показать, что (R_q1ц)(р, •) = а_р и (R_qi/2v )(р, •) = а_р. Для этого мы воспользуемся леммой 6. Очевидно, что для семейства {а_р} выполнено условие (19) при а = 1 и а = |. Далее, преобразование Лапласа, меры ц равно

(^Ц)(р1,р2)

+го      /

=Уо  exp г

-

^^(Vpi ⁺ V p 2m V ^t                /

dt

Р

поэтому по лемме 6 $р = (Rq1 ц)(р, •). С другой стороны, еели обозначить через V образ меры v(dx) при замене переменных уі = Vu, у2 = ДТ2, то для преобразования Лапласа

меры v' мы будем иметь формулу dt

. t

^(Tv '⁾⁽P1^,P2⁾ =

j exp (^-V ^- ^⁽рі + P2/) 0

Снова по лемме 6 получим, что $_р = (R_q 1 v )(р, •).

Работа поддержана грантом РФФИ № 14-07-00075 А.