Теоремы типа Линделефа для минимальной поверхности на бесконечности

DOI:

Минимальные графики г = /(ж, у) над областями Д ² описываются квазилинейным дифференциальным уравнением

^/ ‘ _у ^{( ж,}У)

V ¹ + I ▽ /(ж,у) | ²

)  •

Пусть /(x, у) есть решение уравнения (1), заданное над односвязной областью D С R ² , ограниченной двумя кривыми L 1 и L 2 , выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Будем считать, что /(x, у) Е С 2 (D) .

Пользуясь теоремой Линделефа для функций, голоморфных в неограниченных областях (см. [4, с. 322]), сформулируем вспомогательную теорему для функций голоморфных в метрике поверхности dsj, где ds2 = (1 + / 'W + 2/'х/ ‘у dxdy + (1 + / ‘^ )dy2.

Напомним, что голоморфными в метрике ds j функциями являются функции голоморфные либо антиголоморфные в традиционном смысле в изотермических координатах на поверхности. Ясно, что от выбора координат это не зависит.

Теорема 1. Пусть функция h(x,y) — голоморфна в метрике поверхности dsj в области D, ограниченной кривыми L1 и L2, выходящими из одной точки и уходящими в бесконечность. Если функция h(x,y) непрерывна на кривых L1 и L2 и h(x,y) ^ ап, ((ж, у) ^ то, (ж, у) eL^) п = 1, 2, то имеет место одна из двух возможностей: или функция h(x,y) не ограничена в области D, или а1 = а2 = а и h(x,y) ^ а при (x,y), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Доказательство. Возьмем произвольно точку (x ₀ ,y ₀ ) Е D и введем в рассмотрение однозначные в D функции, существование которых показано в работе [6]:

х

( ХУ )

^{( x,}y)=  /

( хо,Уо )

f x ⁽ t^{,s ) /} y ⁽ t^{,s )}        ,      ^{1 + /} ‘у ⁽ t^{,s )}

—,                   dt +--, ^a

V 1 + | ▽ /(t,s) | ²       V 1 + lv /(M l ²

Если функция К(х, у) голоморфна в метрике поверхности z = / (х, у) , то сложная функция к(х(^, п),у(^,п)) будет голоморфной в области D' в традиционном понимании. Здесь х = х( ^ , п) , у = у( ^ , п) — отображение, обратное к отображению (2). Голоморфная в области D функция h(L„ п) = к(х( ^ , п),у(^,п)) является непрерывной на кривых Ь 1 и Ь 2 и удовлетворяет условиям

^,п) ^ ап, ((^,п) ^ то, (^,п) Е Un) п = 1, 2, следовательно, по теореме Линделефа для функций, голоморфных в неограниченных областях (см. [4, с. 322]), имеет место одна из двух возможностей: или К(^, п) не ограничена в области D, или а1 = а2 = а и ^(^,п) ^ а при (^,п), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D. Возвращаясь к функции h(x,y), получаем наше утверждение: или функция h(x,y) ограничена в области D, или а1 = а2 = а и h(x,y) ^ а при (х,у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Используя полученный результат, выводим, что при вышеуказанных предположениях на минимальную поверхность z = / (х,у) будет справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Если градиент функции /(х,у) на кривых L 1 и L 2 удовлетворяет условиям

V/(х,у) ^ ап,    ап ЕВ?,     ((х,у) ^ то, (х,у) еЦ п = 1, 2, то имеет место одна из двух возможностей: или V/(х,у) не ограничен в области D, или а1 = а2 = а и V/(х,у) ^ а при (х,у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Доказательство. Рассмотрим комплекснозначную функцию

Х ^{( х,}У ⁾ =

/ X (х,у) __.          ^/ у ^{( х,}У)

1 + V ¹ + I ▽ /(х,у) | ^{2    1}1 + V 1 + I ▽ /(х,у) | ² '

Известно ([8, с. 113]), что данная функция является голомор ф ной в метрике минимальной поверхности z = /(х,у) . Причем, так как /(х,у) Е С 2 (D) , то на кривых L 1 и L 2 функция х(х, у) непрерывна и выполняются условия

х(х,у) ^ ан,     ((х,у) ^ то, (х,у) Е Ьн) п = 1, 2, где ап

_____ ^ап 1     . ^а п 2 1 + -^ 1+ |й п | 2       1 + -^ 1+ |& п | 2

(а _п1 ,а _п2 ) — координаты а _п . Следовательно, так

функция х(х,у) удовлетворяет всем условиям теоремы 1, то отсюда выводим, что

х(х, у) не ограничена в области D , или а 1 = а ₂ = а и функция х(х, у) ^ а (х,у) , стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D . А

означает, что для градиента V/(х,у) имеет место одна из двух возможностей: градиент V/(х,у) не ограничен в области D , или а 1 = а ₂ = а и V/(х,у) ^ а (х,у) , стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D .

как или при это или при

Обозначим К(х,у) гауссову кривизну минимальной поверхности z = /(х,у) . Отметим, что К(х,у) <  0 . Так как /(х,у) имеет непрерывные вторые производные вплоть до границы области D , то гауссова кривизна К(х,у) непрерывна в D . Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Если гауссова кривизна К(х,у) минимальной поверхности (1) на кривых L 1 и L 2 удовлетворяет условиям

К(х,у) ^ bn,     ((х,у) ^ то, (х,у) G Ln)    п = 1, 2, и, кроме того, градиент функции / (х, у) на кривых L1 и L2 имеет равные предельные значения при (х,у) ^ то, то имеет место одна из двух возможностей: или К(х, у) не ограничена в области D, или b1 = b2 = b и К(х,у) ^ b при (х, у), стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D.

Доказательство. Известно ([8, с. 113]), что через производную функции х(х,у) по параметру Z = ^ + ^П выражается гауссова кривизна поверхности К (х, у) . Причем

Так как

^| x Z ^{( х,}у ^{)| 2}

-К (х,у)(1 + | V /(х,у) | ² ) ² (1 + V 1 + I V /(х,у) | ² ) ⁴ ■

0 <

(1 + |v / (х,у) | ² ) ²

(1 + V1 + | V /(х,у) | ² ) ⁴

< 1,

то из равенства (3) и условий теоремы следует, что на кривых L 1 и L 2 функция | x Z (х,у) | непрерывна и представляется как произведение сходящихся при (х, у) ^ то функций:

V-К(х,у) и

1+ V W²

(1+V¹+ IV/ (уу)1 ² ) ² .

Тогда голоморфная в метрике поверхности функция Х ^ (х, у) L 1 и L 2 и существуют пределы при (х,у) ^ то :

непрерывна на кривых

xZ(х,у) ^ Сп,     ((х,у) ^ то, (х,у) G Ln)    п = 1, 2, где | сп |2 = -bn • к,     к = lim —(1+|vf(и,у)Н_ , (х,у) G Ln     п = 1, 2.

( ж,г/ ) ^^ (1+V1+ IV/W² )⁴’ ’        ^п            ’ .

Используя теорему 1 для функции х ^ (х,у) , выводим, что или Х ^ (х,у) не ограничена в области D , или С 1 = с ₂ = с и Х ^ (х,у) ^ с при (х, у) , стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D . Возвращаясь к функции К (х,у) , учитывая (3), (4) и условие теоремы о равных предельных значениях градиента при (х,у) ^ то на кривых L 1 и L ₂ , для гауссовой кривизны минимальной поверхности получаем нужное утверждение: или К (х,у) не ограничена в области D , или b 1 = b ₂ = b и К (х,у) ^ b при (х,у) , стремящемся к бесконечности по любому пути, лежащему в области D .

Близкие по содержанию результаты о предельном значении гауссовой кривизны минимальной поверхности на бесконечности были получены в [2].