Теоремы вложения для весовых функциональных пространств Бесова со смешанной нормой

в ве-

Пусть Е^п — п-мерное евклидово пространство точек ж = (жх, Жг,• • • , ж_п) и ( А ) = {ж Е Е" ,х^ > О (г = 1,2,... , п)}.

Предположим, что / (ж) произвольная достаточно гладкая функция, определенная в пространстве Е^п , для которой

11/11

L№

(Л +

+ оо

/ I""dT”

о

+ оо

( I хД\Дх_и__х О

+ оо

О

Р1

ж© d,X

• )

Рп

Рп

< ОО,

( +оо                                  \ 6

[ ^||АгйП7||'   +     < оо,

п

11/11 , Z₊^ ДДе W

= У 11/11 , z₊p, <ОО, г = 1         (р) \      /

11/11

в'7 (р)

(Л

,а,6

11/11

чДЛ

^^.

^^. ,а

+ 11/11, £(р)

(Л

,й,У

Пространствами L^ ^Е ) -, СД ^Е ) _{й Q} и В^ ^Е Д _е называем замыкание достаточно гладких финитных функций в нормах (1), (3) и (4) соответственно.

Теорема 1. Пусть выполнены условия

• (1)    1 <  р_г < % < ос (г = 1,2,... , m), pj > 1 (j = m + 1,... , п),

• (2)    I = (/i, /2, • • • Ц), где It > 0 (г = 1, 2,... , п), 1^ = Ц + Д, 1^ — наибольшая целая часть числа Ц, 0 < Д < 1, 1 <  0 < оо,

• (3)    m — натуральное число и m ^ п,

• (4)    й = Ду,п^,... ,пД, ^ ^ О Д = 1,2,... дт,),

  © 2002 Кулов Р. Д.

• (5)    a = (щщг,. • .,«„), 7 = (71,72, • • • ,7m), ° < 77 < ^ (^ = 1, • • • ,m), a, > -1 U = m + 1,... ,n), n                 m /         \ n

• (6)    _E = 1 - E (i + „,Д - E ^ - 7 - E ^ > 0,

3 = 1                   3 = 1 ^{x             7}     77 = 1

+n

(7)/eS',)(£ ).

Тогда при _Imtl = ... = a„ = 0 верно D\‘ ...D^-J 6 L_m(B L и выполняется неравенство

н

■■■^"/11

нп5)

( +m X

V^E )’7

<с||/||

(р)

(Л

,а,6

< Из интегрального представления В. П. Ильина и В. А. Солонникова [2] при ТГЦ = l^ k^ =2 имеем

+

н

■■■^"/11

НП5)

( +т х

V^E )’7

С

< -- h^w

„ h          11к vKi-tii

^У^Р» / д-(?)

1-1 о о о

hK j/(ж + у)П(у,/г)

о

( +m X ЧА^Е V

D^f^ +y)Ri(y,t,v)dt

, +m х

Е<АЕ ^^

п

= Jo + EJ- г = 1

Если применить соответствующую оценку для ядра, то будем иметь

Jo <  ch

п   пт

Е^)^-Е^+Е^

j = l              3 = 1 77 = 1

X

$+,lK       m

\Иу)\ П^Г ж           7 = 1

—

21 ^3

п

сх

п Ул^у

7j=m + l

, +m x

E

Применив обобщенное неравенство Минковского, неравенство Гёльдера и лемму Гу

диева [3], получим

п           п      т      п     т

-Е(1+^^-Е^+Е^+Е^+Е^

Jo^ch 7=1         7=1    ^        " 7=1 -II/H +    .

Далее,

h

Щ,”   г,”*

Ji ^ с

$рД / */Д^Р$№.^

— ж, ^ B^dt

о

ж

о

( +171 7

LA^ )л

< chE"b^

ж+17

X

h         «"<      /      \

[44 [И^и

J у ^+AiJ

о

о

/.    _ HL

A?(>'-n x       ^

т

Pi

У/

—

21    ^ in.

П ^"

T)=mA-l

( +171 7

EAE )p

^ (применяем обобщенное неравенство Минковского, неравенство Гёльдера, лемму Гудиева)

< C^ll/ll z + -Щ

MpAe b“’9

*

Из полученных оценок при /г = 1 имеем

D?...D^f\\    +

НД5)(я ),7

Теорема 2. Пусть выполнены условия: (1) 1 < Pi < qi< оо к = 1,2,... , m), Pj > (2)/ = (/₁,/₂,..П„),/_г>0(г = 1,2,...,п),

к

U = т + 1,.. .дД

^^^^

^^^^

= кР Pt, к — наибольшая целая часть

числа к, 0 < Д ^ 1, ri = ri + ц, r_t 1 < 0 < 9i< oo,

наибольшая целая часть числа ri, 0 < Ti ^ 1,

• (3)    m — натуральное число меньше либо равное п,

• (4)    а = (qi,q₂, • • • ,«Д, Р = (71,72, • • • ,7m), 0 < ^ < ^ U = 1, 2,... ,т) и а_г > -1 (г = m + 1,... , п),

(5)^ = i-EFE (^-4- Е ^+E^r+Er^-f">0(_S = l,2,...,m), г = 1     J = 1              т/=т + 1      г = 1       з = 1

№ПеВ‘ГЦЕ у,.

Тогда при ж_{т +} 1 = л_т+2 = • • • = х_п = 0 функция J^ принадлежит В^Е Д _в1 и выполняется неравенство

MW ₍₊m.    

BbAE Wi baAe b“’e

*

< По определению имеем:

II/II z+-4

BbAE M^

m

= 11/11  ₍₊m. P^MW-Tm. ■

На основании теоремы 1 при щ

= v₂ = ■ ■ ■ = v_n = 0 справедливо неравенство

11/11    z+^

вдАЕ )

,7 ВДМ ),a,6

*

Исходя из определения нормы имеем:

II/II r z+-4

ЛЛЕ W^

<

hK= f dz zl + 6i0s

O'-f

( +m X

ЕАЕ Л

(ОО

Г dz

J z^-+6iPs hKs

^®

^^»

D?

/

Второе слагаемое оценивается просто:

J2(S)^cb:v|| Z+mi

^^—

= ^-^^11^/11 z

11       НЧ5)(

/ +™ \

^ЕА^Е М

= J^ + J^

*

oo

Ък=

dz zi+6i0s

1 «I

+ т \

Е )

^^»

,7

^ (по теореме 1 при

Z/i = Z/₂ = • • • = n_s_! = Z/_{s +} i = • • • = H_n = 0, IV_S = r_s)

< ch

—

^Ks9s\\f\\ , z_+n

Л»ЛЕ b“-9

*

Чтобы оценить рассмотрим интегральное представление В. П. Ильина и

В. А. Солонникова при k^ = 2, m^ = Ц, ia₁ = iv₂ = • • •

^s-l — ^s + l — • • •

Vu = О,

v_s = г_s и представим его правую часть в виде суммы трех слагаемых:

hK

^^»

D?

fM⁼ ^7 //(ж+ у)П(у,/г)с?у

о

- 1 / К s

vK tlKl

—

Уг

Y,^ / ^ j^dy / ^^D^Hac + ^RAy^t^^dt ¹⁼¹  0    00

Л / ^1/^ f^Q^jb + ^RA^W i = 1 ~1/Ks         о 0

= Н1(ж, /г) — H₂^x, h, z) — Н₃(ж, h, z).

^^^^^^^^

^^^^^^^^

^^^^^^^^

Теперь имеем

А'(|)д?/(ж) = /\²_s^HAxJ^ - ^yAx,h,z^ -

А2(|)я3(ж,/г,г).

Следовательно,

|к(^>:=/Ц

^ ЦА'(2)Я1(Ж’^1(5)(Д)д

Далее

+ ^S (^ ^2 (ж, Я, ^

/ +т\  +

ЧД^Е ) ,7

||л2(|)я3(Ж,М

/ +т \

ЬшД ) ,7

J*s) <

dz ДДДД

hKs\

+

Г dz \U2fz\TTI , л01

] ^1 + ^1лЛЛА2 ) ^2( ^ С(д)(5т),7 О/

+

dz ДДДД

||А«(|)яз(жДл)||

__ т(⁸) | t(^s) I t(^s)

Заметим, что

As(|)^i(^)||   ,+™.  < сг2||я2Я1(Ж,Л)|| +т ,

V27       ^^(^ ),7               Нд₅)(я )-7

||Ав(|)яз(яЛг

,+тх <

ЬшД )Р

cz P^₃(®, h, г) +„

И             Нд5)(я )

^^»

,7

Оценим J^:

J(s) <

dz zH9i3s

dz

Д + (За —2)91

||я2Я1(Ж,

hK

9i

P4^)-Z

dz z^”V)3s —2)9i

^п^ДД I .f^ + уШуЛ^у о

9i

^ (оценим ядроП(у,/1) аналогично оценке в теореме 1 с небольшими изменениями)

п      m /   \ п    пт

-Екз-К8Г8-Е(^-^- Е ^ + Е^ + Е^1

^ ch ^{j=1           j=1}             _ч=™ + 1 3 = 1 3 = 1 х ll/ll +„ .

Аналогично,

J^¹< ch^e-^r=^Ks

J^ < ch£-TsKs

ll/ll

c1

(p)

(ЕП),«,9

mp

(^)

*

,a,6

Из полученных оценок при h = 1 следует

11/11 z+™x buAe Wi

<с||/|| _+п . ▻ '/.Л^ И’⁶