Теоретические положения метода геометрического погружения в напряжениях
Автор: Деревянкина Полина Олеговна, Кузнецова Юлия Сергеевна, Труфанов Николай Александрович, Шардаков Игорь Николаевич
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 3 т.7, 2014 года.
Бесплатный доступ
Изложены теоретические положения метода геометрического погружения в напряжениях применительно к решению краевой задачи теории упругости изотропного однородного тела с произвольной формой границы. Основная идея метода заключается в построении сходящейся итерационной процедуры, позволяющей получать решение в области сложной пространственной конфигурации как последовательность решений задач в некоторой более простой по форме (канонической) области. Вариационная постановка задачи, полученная в рамках принципа минимума дополнительной работы (принципа Кастильяно), сведена к абстрактной математической проблеме - исследованию одного операторного уравнения с помощью методов функционального анализа. Главные результаты работы состоят в формулировке вида дифференциального представления задачи в канонической области, соответствующего основному вариационному уравнению метода геометрического погружения, задании возможных типов граничных условий на границе канонической области, построении итерационной процедуры метода геометрического погружения в напряжениях, доказательстве теоремы о сходимости итерационного процесса в терминах элементов введенных пространств тензоров напряжений. Для демонстрации метода геометрического погружения рассмотрена модельная задача, имеющая точное решение. С использованием метода конечных элементов в напряжениях для реализации решений задач в канонической области выполнен сравнительный анализ скорости и качества практической сходимости предложенной схемы и традиционного метода конечных элементов в перемещениях, имеющегося в программном комплексе ANSYS.
Теория упругости, постановка в напряжениях, вариационный принцип кастильяно, метод геометрического погружения, метод конечных элементов
Короткий адрес: https://sciup.org/14320732
IDR: 14320732 | УДК: 539.3 | DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.3.31
Theoretical principles of a stress-based geometrical immersion method
The main theoretical principles of a stress-based geometrical immersion method which is applied to solve the boundary value problem of elasticity theory for isotropic homogeneous body with a complex spatial configuration are described. The basic idea of the method is to construct a convergent iterative procedure in order to find a solution for the area of complex spatial configuration as a sequence of problem solutions for some area of a more simple (canonical) form. The variational formulation of the problem is based on the variational principle of minimum additional work (Kastilyano’s principle) and reduced to an abstract mathematical problem - study of one operator equation by the methods of functional analysis. According to the variational equation of the geometrical immersion method, differential formulation of the problem for the canonical area is obtained. The types of boundary conditions that need to be formulated for a new part of the boundary of the canonical area are prescribed. An iterative procedure for the stress-based geometrical immersion method is developed, and the convergence theorem for this iteration procedure is formulated in terms of the elements of these spaces of stress tensors. We consider a model problem, which has an exact solution and demonstrates the effectiveness of the geometrical immersion method. Application of the stress-based finite element method for solving the problem for the canonical area allows us to perform a comparative analysis of the rate and quality of practical convergence of the proposed scheme and the traditional displacement-based finite element method used in the software package ANSYS.
Список литературы Теоретические положения метода геометрического погружения в напряжениях
- Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -940 с.
- Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир, 1975. -872 с.
- Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1981. -343 с.
- Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Vol. 1: The basis. -Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. -708 p.
- Бате К.-Ю. Методы конечных элементов. -М.: Физматлит, 2010. -1024 с.
- Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. -Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1979. -335 с.
- Шешенин С.В., Кузь И.С. Применение вариационно-разностного метода к осесимметричным задачам теории упругости//Упругость и неупругость. -М.: Изд-во МГУ, 1987. -С. 39-44.
- Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. -448 с.
- Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. -428 с.
- Girija Vallabhan C.V., Muluneh Azene. A finite element model for plane elasticity problems using the complementary energy theorem//Int. J. Numer. Meth. Eng. -1982. -Vol. 18, no. 2. -P. 291-309.
- Sarigul N., Gallagher R.H. Assumed stress function finite element method: Two-dimensional elasticity//Int. J. Numer. Meth. Eng. -1989. -Vol. 28, no. 7. -P. 1577-1598.
- Тюкалов Ю.Я. Решение задач строительной механики методом конечных элементов в напряжениях на основе функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений/Дисс… докт. техн. наук: 05.23.17. -Киров, ВятГУ, 2006. -314 с.
- Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980. -536 с.
- Коновалов А.Н. Метод фиктивных областей в задачах кручения//Численные методы механики сплошной среды. -1973. -Т. 4, № 2. -Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. -С. 109-115.
- Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости. -Екатеринбург: Уро РАН, 1999. -298 с.
- Шардаков И.Н. Теоретические положения метода геометрического погружения для краевых задач упругопластического тела//Общие задачи и методы исследования пластичности и вязкоупругости материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР. -1986. -C. 123-127.
- Куликов Р.Г., Труфанов Н.А. Итерационный метод решения квазистатических нелинейных задач вязкоупругости//Вычисл. мех. сплош. сред. -2009. -Т. 2, № 3. -С. 44-56.
- Павлов С.М., Светашков А.А. Итерационный метод решения задач линейной вязкоупругости//Известия ВУЗов. Физика. -1993. -Т. 36, № 4. -С. 129-137.
- Светашков А.А. Прикладные задачи механики вязкоупругих материалов. -Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. -205 с.
- Матвеенко В.П., Осипанов А.А. Конечно-элементная реализация метода геометрического погружения применительно к плоской задаче теории упругости в напряжениях//Модели и методы исследования упругого и неупругого поведения материалов и конструкций. -Свердловск: УНЦ АН СССР.-1987. -C. 11-16.
- Труфанов Н.А., Кузнецова Ю.С. Конечно-элементная реализация метода геометрического погружения на основе вариационного принципа Кастильяно для плоской задачи теории упругости//Вестник ПНИПУ. Механика. -2013. -№ 1. -С. 221-234.
- Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. -512 с.
- Соболев С.Л. Уравнения математической физики. -М.: Гостехиздат, 1947. -440 с.
- Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука 1966. -708 с.
