Термодинамические ограничения на выбор материальных параметров среды при постановке задач термопластичности

В основе теории термопластичности лежат уравнения движения [ 1 ]

Род 2 ujdt2 = 8^/5xj+ро bi,(1)

уравнение энергии

Роc(0)d0/dt = -dqi /6Xi + Gj de ij /5t + Ров ,(2)

закон Фурье для вектора теплового потока qi = -Л(о)дО/5xi(3)

и выражение для линейного тензора деформации eij = 0,5(dui/5Xj idиу/5xi).(4)

Здесь oj - компоненты тензора напряжений в декартовой системе координат, xi, ui -векторы смещения точки среды, bi - вектор внешних массовых сил, в - плотность внешних массовых источников теплоты, 0 - абсолютная температура, c - удельная теплоёмкость при постоянной деформации, Л - коэффициент теплопроводности, р 0 -плотность в отсчётной конфигурации, которую имеет среда в начальный момент времени, находясь при определённой температуре 00 и гидростатическом давлении p0.

Система уравнений (1) – (4) является незамкнутой. Для её замыкания можно воспользоваться, например, определяющими соотношениями теории пластического течения [ 2 ] . Согласно данной теории тензор деформации представляется суммой упругой и пластической составляющих:

e У =e j +e ip.(5)

Если среда пластически несжимаемая ( e kk = 0), то объёмная деформация носит упругий характер, e = e _kk = e _kk . Тензор напряжений разлагается на шаровой тензор и девиатор,

°у о5у +~у, где 5 j - символы Кронекера. Для среднего напряжения о = оkk берётся зависимость о = -pо -у(о-Оо) + Ke,

Общие вопросы неравновесной термодинамики где у (б), K(б) - коэффициент температурных напряжений и модуль объёмного сжатия соответственно. Девиатор упругой деформации подчиняется закону Гука

~ e = 9 у /(2 р ) ,

где ц ( б ) - модуль сдвига. Из соотношения (8) получается следующее выражение для приращения девиатора упругой деформации (здесь и далее штрих указывает на производную по температуре):

d9у     p'(Q)

~e

dг' 2м(е) 2[ц(е)]2

^G ij d 6 .

Далее постулируется, например, существование гладкой поверхности текучести ( к - параметр упрочнения)

ф ( а у , е , г р , к ) = 0                                              (10)

и принимается ассоциированный закон течения d г ^у = d ХдФ/5а _у .

Соотношение (11) устанавливается из принципа максимума Мизеса [3, 4]. Для множителя Лагранжа выполняется обычное правило [2]

0, если Ф< 0 или Ф = 0, d Ф <  0,

d X =

* 0, если Ф = 0, d Ф > 0, где dФ определяется следующей формулой:

d Ф =

дФ дп у

^{d 9} у

дФ

+ — d е .

де

В результате из (5), (9), (11) получается выражение dа у И'(е) 2ц(е) 2[ц(е)]2

S„de + d X — "   ^

d~,v = d~,e + dг p = ij ij ij которое при заданной функции (10) замыкает систему уравнений (1)-(4), (7). Например, если материал обладает изотропным упрочнением, то можно воспользоваться условием пластичности [5]

Ф = 79у9у - Ф(к’е), к = f 9уdг!ру , где ф(к, е) – некоторая экспериментально определяемая функция. В этом случае согласно (11) будет выполняться соотношение dг^у = dХ9у, указывающее на соосность тензора скоростей пластической деформации и девиатора тензора напряжений.

Термодинамические ограничения на значения материальных параметров среды

При решении конкретных задач термопластичности надо задать материальные параметры среды, в частности, удельную теплоёмкость c ( б ) , модуль объёмного сжатия K ( б ) , модуль сдвига р ( б ) и коэффициент температурных напряжений у ( б ) . Как правило, их значения берутся из опытных данных. И здесь необходимо обеспечить согласованность делаемого выбора с законами термодинамики.

Согласно первому и второму началам термодинамики в области упругого деформирования должно выполняться соотношение [ 6 ]

Р 0 ^df = ^-Р 0 П ^{d е + 9} ij^{d г} у ,                                    ⁽¹²⁾

Общие вопросы неравновесной термодинамики где f, n — удельная (на единицу массы) свободная энергия и энтропия соответственно.

Из уравнения (12) следует, что

° у = Р о(df /ds ij-)e, П = -(дf/d6L j                                   03)

Согласно принятому уравнению состояния Дюамеля – Неймана (6) – (8)

° у =[- Pо - Y(6)(6 - 6о) + KШкkk ]5у + 2Ц(9)(~у - sp )•

Подставив данное выражение в первое соотношение (13) и учтя неизменность пластической деформации в области упругого деформирования, интегрированием при постоянной температуре получаем

Ро.f = F(6)-[p0 +v(6)(6-6„)]stt + 0,5K(6)s2* +ц(б)(~j-eg)(~g -ep),       (14)

где F ( 6 ) - постоянная интегрирования. Исходя из второго соотношения (13), зависимости (14) и выражения для удельной теплоёмкости [ 7 ]

c = 6(5р/д6)еj, находим

Р о c '6 = - F ■( 6 ) + [ 2Д6 ) + Г( 6Х6-6 о ) ] e kk - 0,5 K ^2 k -ц' ( 6 ) ( ~ ₈ -s P )( ~ j -e g ) .

Если удельная теплоёмкость принимается зависящей только от температуры, то должны выполняться равенства

Роcl6 = -F''(6), K'(6) = о, p"(6)= о, 2у,(6)+у*(6)(е-6о) = о.                (15)

Следовательно, для модуля объёмного сжатия и модуля сдвига могут быть взяты либо фиксированные значения

K = K(6о), р = р(6о), либо линейные температурные зависимости

K=K(6о)+K(6о)(е-ео), ц=ц(6о)+и'(6оXе-ео).

При этом коэффициент температурных напряжений должен быть постоянным, Y = Y⁽⁶ о ) .

Последнее вытекает из третьего равенства (15) и конечности величины у при 6 = 6 о .

Выводы

При постановке задач термоупругости в расширенном диапазоне изменения температуры необходимо согласовывать выбор эмпирических зависимостей для удельной теплоёмкости, модуля объёмного сжатия, модуля сдвига и коэффициента температурных напряжений с термодинамическими соотношениями. Если удельная теплоёмкость считается зависящей только от температуры, то для модуля объёмного сжатия и модуля сдвига могут быть взяты либо фиксированные значения, либо линейные температурные зависимости. При этом коэффициент температурных напряжений должен быть постоянным. Если для указанных величин требуются более точные зависимости, к примеру, квадратичные, то тогда нужно брать более точное выражение для теплоёмкости. Такой согласованный выбор материальных параметров среды позволяет избежать нарушения первого и второго начал термодинамики.