The uuniqueness of the symmetric structure in ideals of compact operators

Единственность симметричной структуры в идеалах компактных операторов

Пусть H - сепарабельное бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, L(H) - C∗-алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в H, K(H) - двусторонний идеал в L(H) всех компактных операторов. Пусть (E,∥⋅∥E) - симметричное пространство последовательностей, CE:={x∈K(H):{sn(x)}∞n=1∈E} - собственный двусторонний идеал в L(H), порожденный (E,∥⋅∥E), где {sn(x)}∞n=1 сингулярные числа компактного оператора x. Известно, что CE - банахов симметричный идеал относительно нормы ∥x∥CE=∥{sn(x)}∞n=1∥E. Говорят, что симметричный идеал CE имеет единственную симметричную структуру, если наличие изоморфизма из (CE,∥⋅∥CE) на другой симметричный идеал (CF,∥⋅∥CF) обязательно влечет равенство CE=CF, т. е. E=F, с точностью до эквивалентных норм. На международной конференции по теории банаховых пространств и их приложений (Kent, Ohio, August 1979), А. Пельчинский поставил следующую проблему: (P): Каждый ли симметричный идеал имеет единственную симметричную структуру? Эта проблема получила положительное решение в работе J. Arazy и J. Lindenstrauss (1975) для идеалов Шаттена Cp, 1≤p<∞. В случае произвольных симметричных идеалов проблема (P) до сих пор не решена. Мы рассматриваем вариант проблемы (P), заменяя наличие изоморфизма U:(CE,∥⋅∥CE)→(CF,∥⋅∥CF) на существование положительной линейной сюръективной изометрии. Мы показываем, что в случае строго симметричного пространства последовательностей F, каждая положительная линейная сюръективная изометрия U:(CE,∥⋅∥CE)→(CF,∥⋅∥CF) имеет следующий вид: U(x)=u∗xu для всех x∈CE, где u∈L(H) есть унитарный или антиунитарный оператор. Используя это описание положительных линейных сюръективных изометрий, доказывается, что наличие такой изометрии U:CE→CF влечет равенство (E,∥⋅∥E)=(F,∥⋅∥F).