Точное аналитическое решение некоторого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений мембранной электрохимии

Для глубокого понимания качественных характеристик различных природных явлений и процессов используют точные решения нелинейных дифференциальных уравнений. Они позволяют иллюстрировать сложные нелинейные эффекты, помогая раскрыть их механизмы [1]. Также частные точные решения широко используются для проверки корректности и точности численных, асимптотических и приближенных аналитических методов [1, 2]. Кроме того, точные решения являются основой для проверки и улучшения специализированных компьютерных программ, таких как Mathematica, Maple и др.

Нелинейные дифференциальные уравнения редко разрешимы в элементарных функциях, и их анализ требует специальных методов. Не существуют общих методов для нахождения точных решений, поэтому каждый раз используются уникальные способы, которые имеют малую область использования [3–7]. Наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений высокого порядка является метод понижения порядка, позволяющее находить частное решение. В данной работе описаны точные решения некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений, которые не допускают понижения порядка уравнения с использованием известных методов, например, таких которые путем замены понижают порядок в уравнениях, не содержащих независимой переменной х или не содержащих искомой функции y , в однородных уравнения (обобщенная однородность) или в уравнениях, допускающие понижение порядка специальной подстановкой. Аналогичные уравнения встречаются в электрохимии. Так, например, при аналитическом решении модельной задачи стационарного переноса ионов соли для 1:1 электролита в сечение канала обессоливания с учетом пространственного заряда и реакции диссоциа-ции/рекомбинации с учетом зависимости коэффициента равновесия от величины пространственного заряда [8], которая описывается расширенной системой уравнений Нернста–Планка– Пуассона, в области погранслоя у анионообменной мембраны приходим к решению уравнения для безразмерного потенциала электрического поля ϕ :

d 3(P ( £ ( d p ) 2 dx ³   k 2 dx

a .   ₂ ,            ^ d p a d p

- k x + b_n p - к x + /    - k x + b - к ,

% wo        ⁰       1       ² I             w 0       ^{0         1,}

^ £                       J x £            x где £ > 0 - малый параметр, kw0 - коэффициент равновесия реакции диссоциации молекул воды, a, b0 - безразмерные параметры, /1,к2,/ - константы интегрирования [9]. Обобщение уравнения такого типа рассматриваются в данной работе.

Методы и результаты

Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

dnp dxn

( 1 ,dⁿ p^ 2

— — (----т) + u k2 dxn-2

J

dn-2p d z ,

----4- +    ( u ), dx^{n 2}    dx

Где u непрерывно дифференцируемая функция, в общем случае, зависящая от x и p. Не сложно видеть, что любое гладкое решение уравнения dn-1p 1 dn-2p2

= (----т)2 + u dxn-1   2V dxn-2> является решением уравнения (1).

Действительно, продифференцируем уравнения (2) по х, тогда получим dnp dn-2p dn-1p dtx

= (       )        +    (u )• dxn ndxn-2 dxn-1   dx dn-1p

Подставим вместо — из уравнения (2) правую часть, тогда после ряда преобразований, dx^{n - 1}

получим

d n p dxⁿ

k

1 d ^{n - 2} p, ₂   Y

(T^-) + u (

2^V dx^{n - 2}        J

dn-pd

) + dxn 2

• ч.    т. д.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

• 1.    Пусть в уравнении (1) n = 3

A 2

• а)    u ( x ) гладкая функция, например, u ( x ) =— x + Cx + D . Рассмотрим уравнение типа (1)

d ³p ( 1 ,dp,2 A           ^ dp

—£ =  (— ) ² +— x + Cx + D + Ax + C .

dx ³ k 2 dx    2            J dx

Из первого утверждения следует, что любое решение следующего нелинейного уравнения второго порядка:

d p 1 ,dp,z A

—£ = -(—)² +— x ² + Cx + D dx ²   2 dx 2

является решением уравнения (3).

Можно показать, что уравнение (4) допускает точное решение с использованием функций Эйри [8]. Действительно, сделаем в уравнении (4) замену p = -2lnp , тогда dp = -2 px , p = -2 px, p = 2p )2 + Ax2 + Cx + D . x               xx dx p        p        p 2

Таким образом, получаем линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

2 dP = -( Ax 2 + Cx + D )p dx2     2

или dP = -( Ax 2 + 2 Cx + 2 D )p dx2

Чубырь Н.О.                    Точное аналитическое решение некоторого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений мембранной электрохимии

Это уравнение приводится к уравнению Вебера–Эрмита, которое имеет решение с использованием функций параболического цилиндра. В частности, если А = 0, то решение уравнение вы ражается через функции Эйри р = С1 Ai

2 D + 2 Cx

. ( - 2 C ) ^2/3 ,

+ C 2 Bi

2 D + 2 Cx

. ( - 2 C ) ^2/3 ,

, где Ai ( x ) и Bi ( x ) функ-

ции Эйри соответственно первого и второго рода.

• б)    пусть теперь u гладкая функция, зависящая от x и неизвестной функции p , например,

A ₂

u(x) =—x + Cx + D + Bp , то есть рассматривается уравнение d3p (1 zd^2 A 2 n n^dp л d

—— -(—)2 +— x+ Cx + D + Bp \— + Ax + C + В—.(5)

dx3  < 2 dx 2              J dxdx

Из утверждения выше следует, что любое решение следующего нелинейного уравнения второго порядка:

d 2 p 1 dip. 2 A 2 ъ n

—г — — (—) +— x + Cx + D + Bp(6)

dx ²   2 dx 2

является решением уравнения (5).

Пусть A ^ 0, В ^ 0 , тогда уравнение (6) имеет частное решение вида ф — a x ² + fi x + у Для

.

нахождения коэффициентов подставим функцию ф — a x ² + e x + у в исходное уравнение.

2 a — ;2(2 a x + в )² + Ax ² + Cx + D + B( a x ² + e x + У ).

Упростив и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему уравнений A 1

0 — 2 a +"2" + B a , 0 — 2ae + С + B e , 2 a — ~^в + D + B y .

• a) из первого уравнения получаем, что при условии B ² - 4 A — 0 имеем единственное решение

B                        C                   1 1 C 2 D a — - —, из второго уравнения в — B , а из последнего у — — +——3 + B, и, соответственно,

B 2 C   1 1 C ² D

• p —-- x +-- x +---1---г +--.

4 B   2 2 B ³ B

б) при условии B ² - 4 A >  0 получим два решения для a : a —

- B ± V B ² - 4 A

.

Подставим их во второе уравнение системы и найдем в : в —

-

- B ± V B ² - 4 A - 2 D

И из третьего найдем у : у —------------------

2 В

2 C

3 B ± V B ² - 4 A

2 C ²

.

9 B ³ ± 6 В ² V B ² - 4 A + B ³ - 4 AB

Подставляя найденные коэффициенты в р — a x ² + e x + у получим частное решение.

В случае, когда в уравнении (6) А =0 и С = 0 уравнение имеет вид d^ — !(dp )2 + D + Bp dx 2   2 dx

- dp и допускает еще одно понижение порядка заменой — — z (p), dx d2p   d . . dz dp    dz 1 dz2

—— — z (p) —--— z— —-- dx2 dx dp dx dp 2 dp

Получаем уравнение

.

1 dz ²    1 2

--— —z + D + B p

2 d p  2

или

dy- = y + 2 B y , a y

где y( y ) = z ² ( y ) + 2 D .

Решая линейное уравнение (7) получим: y = - 2 B y - 2 B + C t e ^y .

Вернемся к замене z2(y) + 2D = -2By - 2B + Cey, то есть получим уравнение первого порядка dy = ±J-2By - 2B - 2D + C2ey .

dx                         ²

Замечание 1 . Очевидно, уравнение (4) в отличие от уравнения (5) допускает понижение по

- dy рядка также и заменой — = z( y ) .

dx

2. Пусть в уравнение (1) n = 2 , тогда уравнение (1) имеет вид

	d 2 y   ,1              d —у = (т у + u ) y + —( u )•                            (8) dx 2   2           dx
И, соответственно, уравнение (2)	d y 1 — = y + u .                                 (9) dx 2

A ₂

Если u ( x ) = — x + Cx + D , то уравнение (2) сводится к уравнению Эйри [10].

A ₂

Если u(x) = — x + Cx + D + By, то уравнение (2) имеет различные решение в соответствии со значениями коэффициентов, наиболее сложный случай, где все коэффициенты не равны нулю,

можно свести к уравнению Риккати.

Сравнение графиков решений y ( x ) исходной задачи: сплошная линия – численное решение уравнения (9), пунктирная линия – аналитическое решение уравнения (10)

Произведем сравнение графиков решений исходной и упрощенной задачи, полагая A = 4, С = 2, D = 1, то есть уравнение (8) примет вид d^ = (- y2 + 2х2 + 2x + 1)y + 4x + 2, причем для это-dx2    2

го уравнения ставится задача Коши с условиями

_ . dy (0) „

y(0) = 2 , -----= 3 , а для соответствующего урав- dx dy 1 2     2

нения (10)    = у2 + 2x2 + 2x +1 задача Коши с dx 2

условием y(0) = 2. Графики решений даны на ри- сунке.

Заключение

В работе найдены точные решения некоторых классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, к которым не применимы известные методы понижения порядка, приведены конкретные примеры дифференциальных уравнений и их точных решений, которые полезны для теоретического анализа и понимания поведения решения. Предложенные точные решения могут быть использованы в качестве тестов при численном решение краевых задач для нелинейных уравнений, а также служить основой для приближенных аналитических решений. Уравнения данного вида встречаются при аналитическом решении математических моделей в электрохимии, что и привело к необходимости исследования данных уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ, проект № 24-19-00648.

Чубырь Н.О. Точное аналитическое решение некоторого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений мембранной электрохимии