Топологический ранг многообразия пзп2 коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем характеристики 3

Топологический ранг многообразия И3И2 коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем характеристики 3

В статье доказана теорема о топологическом ранге многообразия и3и2 коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем характеристики 3.

Topological rank of manifold н^ъ of commutative alternative nil-algebras with index 3 under the field with characteristic 3

The theorem on topological rank of manifold п_гп^ of commutative alternative nil-algebras with index 3 under the filed with characteristic 3 is proved in the article.

Положим, D - многообразие коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем Ф характеристики 3 с тождествами х3 = 0, [(Х1Х2)(ХзХ4)](Х5Хб) = 0.

В работе приведен базис пространства полилинейных многочленов свободной алгебры F(D) и найден топологический ранг r,(D_n) многообразий

D„ = D Г \ Var((xy - z/)X]... х„).

Вспомогательная алгебра

Построение вспомогательной алгебры А проведем с помощью конечномерной супералгебры В.

Положим,

Ео = 1 а, а2 }, Е\ = {х, ах, х },

Е = £₀и Е\, В = Ф(£_о) + Ф(Е\\

Назовем четными элементы пространства Ф(£о), нечетными - элементы пространства Ф(£,).

Положим, что умножение суперкоммутативно, т.е. выполняется супертождество x.-yj ={-\)'J yj’X,, гдеXj,yteEj.

Определим суперкоммутативное умножение на базисных элементах следующим образом:

а-а = а2,

2                    2

а-х = ах, а *х = ах-а = а х, ах-х = а, а2х*х = - а2.

Остальные произведения полагаем нулевыми.

Легко видеть, что

В\В2 = Ф{х}, В2^2^ Ф{а, ах }, Вт=Ф^а2,а2х^(В?У=0.

Покажем, что в супералгебре В выполняется супертождество

(г• х^ + (-1 ^(z• y^Xj + z • (х; -yj) = 0, где х., у, еЕ, . Это супертождество соответствует линеаризованному тождеству альтернативности.

Достаточно проверить это супертождество на базисных элементах, причем в силу суперкоммутативности при проверке порядок подстановки базисных элементов вместо переменных в супертождестве не имеет значения. Как легко заметить, для х, = у, = х, ах е£| супертождество тривиально. Таким образом, учитывая соотношение (В²)³ = 0, остается проверить супертождество для следующих троек базисных элементов:

{а, а, х), { ах, а, х}.

В первом случае получим

(а • а) • х + (а • х) • а + а • (а ■ х) = За ²х = 0.

Во втором случае

(ах -а)-х + (ах • х) • а + ах • (а • х) = = -а ² + а ² = 0.

Супертождество проверено. Таким образом, В - альтернативная супералгебра.

Теперь можем заключить, что грассманова оболочка А = G(B^ - коммута-

А. В. Бадеев. Топологический ранг многообразия пЗп2 коммутативных альтернативных ниль-алгебр индекса 3 над полем характеристики 3

тивная альтернативная алгебра с соотношениями х3 = 0, (Я2)3 = 0, т.е.

AeD, AeD_n , c³d * 0.

Централ ьно-метабелево многообразие

Лемма 1.

• 1.    Базис пространства Р_п(Е^\С)) при п = 4/ или п = 4/ + 3 составляют полилинейные одночлены вида:

• 2.    При п = At + 1 гиги п = At + 2 базис пространства Р^Е^СС)) составляют элементы типа а) и б) и полилинейный одночлен:

a)xiXi(pij{x2X_}), 2 <  1

б) Х/Х) (р,з (Х2Х3), / > 3.

в) Х1Х5 ^4 (Х2Х4).

Базис свободной алгебры F(D)

Построим базис каждого из пространств P(F^IF_pA Ясно, что F^hFv' = F²'(C). где С с D многообразие центрально-метабелевых алгебр.

Положим, Н_н - система базисных элементов пространства P^Fo^/F^.

Обозначим, ^м-р = Хп-р*)'... хп' - операторное слово длины р, е„= Х1Х5 ф5>4 • х2х4еН„,

®п.р " ^п-р 5я,Р ’

Н/ = ( X1X4^>4J 'ХзХ^Нп }.

Действие перестановок симметрической группы на пространстве многочленов длины п определим стандартным образом.

Лемма 2. Базис пространства P„(Fp²'l Fp^i^) , где 1< р < п - 4, составляют элементы следующей системы (обозначим эту систему Е„рУ

1)нп,р=^р\ьен„.ру,

2)^,/(1А)-{д(1Л)|бе^,/}, где k = п-р+\;

• 3)    е_п.р (1 /)(2/) для всех i, j е {1,2} u Z_n-P,

Найдем топологический ранг многообразий D_tt. Для этого понадобятся следующие утверждения.

Лемма 3. Пусть М - шпехтово много образие, WW<^pl,M) и для любого Qa W существует п такое, что Сг№) с Ж

Тогда

г; (Ж) f (И+1.

Лемма 4. Пусть feF^/Ft^ - ненулевой многочлен длины г, тогда существует полилинейный многочлен g.eE ^/F^® той же длины, такой, что

Лемма 5. Для любого М е А_р существует s такое, что

• а)    для р-0 ЩМ) с Nilp;

• 6)    для р# О U_S(M) с Др-ь

Теорема. Топологический ранг r_t(D_n) = = п+2.

Доказательство. Ясно, что Nilp с До с с Д] с ... с Д„./ с Д„ = D„.

Из леммы 3 и леммы 5

^(До) < г,(Nilp) + 1, r^p) < г^ДрР + 1 для !?<«.

Отсюда гАРп) < п+2.

Осталось показать, что r,(D„) > п+2.

Положим, Цр - множество всех подмногообразий D_p. Пример вспомогательной алгебры AeD, в которой е_т,к ^Т(А) показывает,       что D_pe(Xp^-i)'.

Следовательно, rt(Dn) - г((Хн) > rAXh-i) > > ^(S2> >

> г,(О >  г,(В) > 2, где С cD - центрально-метабелево многообразие. Тогда гУР,,) >п+2.