Тотальная ограниченность по Пуассону и тотальная осциллируемость решений систем дифференциальных уравнений
Автор: Лапин Кирилл Сергеевич
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 4 т.24, 2022 года.
Бесплатный доступ
В работах автора было начато изучение особого вида ограниченности решений систем дифференциальных уравнений, а именно, их ограниченности по Пуассону. Понятие ограниченности по Пуассону решения обобщает классическое понятие ограниченности решения и состоит в том, что в фазовом пространстве найдутся такой шар и на временной полуоси такая счетная система непересекающихся интервалов, последовательность правых концов которых стремится к плюс бесконечности, что решение при всех значениях времени из этих интервалов содержится в данном шаре. Далее в работах автора на основе методов функций Ляпунова, вектор-функций Ляпунова и высших производных функций Ляпунова были получены достаточные условия различных видов ограниченности по Пуассону всех решений. В частности, были получены достаточные условия тотальной ограниченности (ограниченности при малых возмущениях) по Пуассону, частичной тотальной ограниченности по Пуассону, а также частичной тотальной ограниченности по Пуассону решений с частично контролируемыми начальными условиями. В настоящей работе автором была получена асимптотическая или, как еще говорят, финальная характеризация понятия ограниченности по Пуассону решения, которая позволила установить связь между понятием ограниченного по Пуассону решения и понятием осциллирующего решения. Далее в работе введены понятия тотальной осциллируемости решений, частичной тотальной осциллируемости решений и частичной тотальной осциллируемости решений с частично контролируемыми начальными условиями. На основе указанной выше финальной характеризации понятия ограниченности по Пуассону решения, а также на основе метода вектор-функций Ляпунова с системами сравнений в работе получены достаточные условия тотальной осциллируемости, частичной тотальной осциллируемости, а также частичной тотальной осциллируемости решений с частично контролируемыми начальными условиями. Как следствия получены достаточные условия указанных выше видов тотальной осциллируемости решений в терминах функций Ляпунова.
Ограниченность по пуассону решений, частичная ограниченность по пуассону решений, неограниченность решений, вектор-функции ляпунова, осциллируемость решений, частичная осциллируемость решений
Короткий адрес: https://sciup.org/143179308
IDR: 143179308 | УДК: 517.925.54 | DOI: 10.46698/w0398-0994-2990-z
Total Poisson boundedness and total oscillability of solutions of systems of differential equations
In the works of the author, the study of a special form of boundedness of solutions of systems of differential equations, namely, their Poisson boundedness, has started. The concept of Poisson boundedness of a solution generalizes the classical concept of boundedness of a solution and means that there is a ball in the phase space and there is a countable system of disjoint intervals on the time semiaxis such that the sequence of right ends of intervals tends to plus infinity and the solution for all values of time from these intervals is contained in the ball. Further, in the author's papers, on the basis of methods of Lyapunov functions, Lyapunov vector functions, and higher-order derivatives of Lyapunov functions, sufficient conditions for various types of Poisson boundedness of all solutions were obtained. In particular, sufficient conditions were obtained for total Poisson boundedness (Poisson boundedness under small perturbations), partial total Poisson boundedness, and also partial total Poisson boundedness of solutions with partially controlled initial conditions. In this paper, we obtaine an asymptotic or, in other words, final characterization of the concept of Poisson boundedness of a solution, which made it possible to establish a connection between the concept of a Poisson bounded solution and the concept of an oscillating solution. Further, the concepts of total oscillating of solutions, partial total oscillating of solutions, and partial total oscillating of solutions with partially controlled initial conditions are introduced. Based on the above final characterization of the concept of Poisson boundedness of a solution, and also on the basis of the method of Lyapunov vector functions with comparison systems, we obtain sufficient conditions for total oscillating, partial total oscillating, and partial total oscillating of solutions with partially controlled initial conditions. As a consequence, sufficient conditions for the above types of total oscillating of solutions are obtained in terms of Lyapunov functions.
Список литературы Тотальная ограниченность по Пуассону и тотальная осциллируемость решений систем дифференциальных уравнений
- Chazy Z. Sur l′allure finale du mouvement dans le probl´eme des trois corps quand le temps croit indefiniment // Annales de l′Ecole Norm. Sup. 3eser.-1922.-Ser. 39.-P. 29–130.
- Ситников К. А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел // Докл. АН СССР.-1960.-Т. 133, № 2.-С. 303–306.
- Леонтович А. М. О существовании осциллирующих траекторий в одной биллиардной задаче // Докл. АН СССР.-1962.-Т. 145, № 3.-С. 523–526.
- Алексеев В. М. Квазислучайные динамические системы. II // Мат. сб.-1968.-Т. 77 (119), № 4.-С. 545–601.
- Пустыльников Л. Д. Существование множества положительной меры осциллирующих движений в одной задаче динамики // Докл. АН СССР.-1972.-№ 2 (202). С. 287–289.
- Пустыльников Л. Д. О строгом обосновании возможности неограниченного роста энергии частиц в одной задаче ядерной физики // Докл. АН СССР. 1985. № 3 (283). С. 550–553.
- Пустыльников Л. Д. Новый механизм ускорения частиц и релятивистский аналог модели Ферми -Улама // Теор. и мат. физика.-1988.-Т. 77, № 1.-С. 154–160.
- Пустыльников Л. Д. Модели Пуанкаре, строгое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми // Успехи мат. наук. 1995. Т. 50, № 1 (301). С. 146–183.
- Пустыльников Л. Д., Дерябин М. В. Черные дыры и обобщенные релятивистские биллиарды // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша.-2013.-№ 54.-36 с.
- Лапин К. С. Равномерная ограниченность по Пуассону решений систем дифференциальных уравнений и вектор-функции Ляпунова // Диф. уравнения.-2018.-Т. 54, № 1.-С. 40–50. DOI: 10.1134/S0374064118010053.
- Йосидзава T. Функция Ляпунова и ограниченность решений / Пер. Б. П. Демидовича // Математика.-1965.-№ 5.-С. 95–127.
- Лапин К. С. Вектор-функции Ляпунова, канонические области Красносельского и существование ограниченных по Пуассону решений // Диф. уравнения. 2020. Т. 56, № 10. С. 1304–1309. DOI: 10.1134/S0374064120100027.
- Лапин К. С. Вектор-функции Ляпунова, вращения векторных полей, направляющие функции и существование ограниченных по Пуассону решений // Диф. уравнения. 2021. Т. 57, № 3. - С. 306–312. DOI: 10.31857/S037406412103002X.
- Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения относительно части переменных. М.: Наука, 1987. 253 с.
- Лапин К. С. Частичная тотальная ограниченность решений систем дифференциальных уравнений с частично контролируемыми начальными условиями // Мат. заметки. 2016. Т. 99, вып. 2. - С. 239–247. DOI: 10.4213/mzm10876.
- Miki K., Masamichi A., Shoichi S. On the partial total stability and partially total boundednes of a system of ordinary differential equations // Res. Rept. Akita Tech. Coll. 1985. Vol. 20. P. 105–109.
- Лапин К. С. Тотальная ограниченность по Пуассону решений систем дифференциальных уравнений и вектор-функции Ляпунова // Мат. заметки.2018.Т. 104, вып. 2. - С. 243–254. DOI: 10.4213/mzm11683.
- Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001. 373 с.
