Трансляционная инвариантность обобщённых мер на гильбертовом пространстве с непрерывными пробными функциями

1.    Обобщенная мера

• В статье [2] определены инвариантные обобщенные меры, ключевые для прояснения некоторых математических вопросов вторичного квантования и квантовых теорий поля и важные для развития бесконечномерного гармонического анализа.

Определение 1 (Обобщенная мера), (ср. [2]) Обобщенной мерой на множестве М называется линейный функционал на некотором векторном пространстве определенных на М комплекснозначных функций, называемых пробными функциями этой обобщенной меры. Если F — пространство таких пробных функций, <р G Риц : F ^ C — обобщенная

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024

мера, то в соответствии с традицией, принятой в теории обобщенных функций, вместо цфр) будут исполвзоватБся символы (цер), §_м ^(x)fi(dx) и j ^.p(x)ц(dx), а также f (рц.

Такой функционал в приложениях, как правило, является непрерывным относительно подходящих топологий.

Обобщенная мера ц называется неотрицательной, если она принимает неотрицательные значения на неотрицательных пробных функциях.

Пусть Q — гильбертово пространство (не обязательно бесконечномерное). Множество всех конечномерных векторных подпространств в пространстве Q обозначим /(Q) = /С. Например, И С = {0} С /С. При определении неотрицательной обобщенной меры, которую мы будем называть обобщенной мерой Лебега на Q и обозначать символом Xq, роль пространства пробных функций будет играть описываемое ниже нормированное пространство Ci(Q).

2.    Цилиндрические полиномы

Определение 2 (Проектор). В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор Р : L ^ L, действующий в линейном пространстве L, называется проектором, а также оператором проецирования и проекционным оператором, если Р ² = Р.

Пусть для каждого замкнутого векторного подпространства К С Q:

Р_к :Q ^К, (Р_к )* = Р_к

• — ортопросктор на К = Р к (Q) и Q Q К = К ^ = Ker Р к Далее, д.тя каждого q Е Q пусть q k = Р к (q) q Q² = ( q,q} q ^— скалярный квадрат вектора q.

Центральную роль в конструкциях [2] играет функция q q : Q ^ R, определяемая формулой g Q (q) = е ^- ^ ; на эту формулу, как задающую в каждом конечномерном Q вероятностную плотность независимо от размерности пространства Q, обратил внимание автор статьи [2] М.Г. Шелаков. Например, g{0}(0) = 1.

Определение 3 (Цилиндрические полиномы). Для любого множества М функция f : Q ^ М называется цилиндрической, если существуют К Е / и ^ : К ^ М, такие что f = ^ о Рк-

Пусть для каждого К Е /С, Р(К, C) — множество всех таких функций К ^ C, которые задаются многочленами на К (относительно веществненных координат в любом алгебраическом базисе в К) с комплексными коэффициентами. Для построения некоторых примеров пробных функций нам потребуется понятие непрерывного цилиндрического полинома на Q — это произвольная композиция вида f o о Р к, где К Е /С и f o Е Р(К, C). Пространство всех непрерывных цилиндрических полиномов на Q обозначим СР(Q)

Для каждого К Е / образуем множество

С1(К, C) = (f Е С (К, C) : Vfo Е Р (К, C), sup |f (x)fo(x)| < /' , I                                 хек                  J элементами которого являются «быстро убывающие на бесконечности» непрерывные функции К ^ C, и его копию вида

С 1 ,к (Q) = Ык,; Е С(Q, C) : f Е С 1 (К, С),ф к; (q) =f ( q k ) Q q Q k )} ,        (1)

состоящую из функций на Q. Ясно, что при этом f = Ф к; I k ^гД^е вертикальная черта с нижним индексом К означает сужение на К', при этом для фиксированного К соответствие {f ^ Ф к; } является линейной биекцией пространства С 1 (К, C) на С 1 ,к (Q)

Покажем, что V^> Е С 1 ,к (Q) функция |^| : Q Э q ^ |^(q)| тоже принадлежит С 1 ,к (Q) Действительно, для любого f Е С (К, C) пусть |f | — функция |f | (x) := |f (x)|, если ^{f еС (K, C)}. то ^|f | ^{Е С (K, C)}. тогда [ф к; ⁽q)| = ^{|f (}Q k ) Q q ⁽Q k t )| = Q Q ⁽Q k t ) ^{|f (}Q k )|.

3.    Пространство C1(Q) пробных функций обобщенной меры Xq

Определение 4 (Пространство пробных функций), (ср. [2]) Пусть Ci(Q) — пространство пробных функций обобщенной меры Aq для произвольного вещественного гильбертова пространства Q:

C i (Q) = и к ек С^к (Q)                            (2)

и при этом C i (Q) = C i (Q, C) для конечномерных Q.

Определение функции ф = ф к} € С 1 ,к ( Q) ^как (поточечное) произведение композиций f о Р к и q q о Р к ^ можно переформулировать в терминах тензорного произведения функции f (€ С 1 (К, C)) на фуикпию д к ^ (€ C i (Q ф К )), поскольку разложение Q — К ф (Q ф К ) гильбертово-изоморфно гильбертову же декартову произведению вида К х (Q ф К ).

Только что определенному пространству Ci(Q) принадлежат как функция qq, так и её произведения на непрерывные цилиндрические полиномы f € СР(Q) Такие произведения естественно назвать функциями типа Эрмита, так как из них можно будет составить специальный базис, обобщающий L 2 (R^d) — базис собственных функций как унитарного преобразования Фурье, так и специального «оператора чисел заполнения». Поэтому полагаем

Herm(Q) — С Р(Q) • q q = {(fg Q ) : f € СР(Q)} .

Определение 5 (Обобщенная мера Лебега), (ср. [2]) Пусть Q — гильбертово пространство, для каждого К € К. сим вол А(К) = Ак обозначает стандартную меру Лебега на К;А{0}({0}) — 1. Для каждой ф € Ci(Q) пусть f является сужением ф на К, где ф, f и К связаны как в (1); тогда функционал Aq : С1 (Q) Н C такой, что xQ(f) = Jq'^Aq^) = /Rf (х^ак (dx)

называется обобщенной мерой Лебега на Q.

Предложения.

• 1)    Функционал C 1 (Q) Э ф Н ||f ||1 = fq \'(q)\ A Q (dq) является нормой.

• 2)    \ A q ( ' )\ < ||ф||1,Уф € C i ( Q).

• 3)    Относительно нормы функционал A q непрерывен.

Доказательство. 1) Для любого ф € C 1 (Q) определена величина ||ф||1, обладающая следующими свойствами.

• а)    Для любого ф — 0 существует такое q € Q, что

• \ф(я)\ = \'kj(q)\ = \ f (qк)\ qq (qк^) > 0,

тогда fq \'(q)\ Aq(dq) = f_K \f ( х )\ A ^k (dx) >  0, поскольку последний интеграл Лебега совпадает с несобственным интегралом Римана от ненулевой неотрицательной непрерывной функции; этим доказана невырожденность функционала Ci(Q) Э ф Н Цфф .

• б)    Для всякого комплексного числа a, \a\\'(q)\ = \а\\ф_К } (q)\ = \а\\f (q_K )\ q q (q_K ± ) , имеем

IMIIi = I \^a'⁽q⁾\^A Q ^(dq⁾ = I \^a\ \'⁽q⁾\^A Q ^(dq⁾ =

= I ^ \a\ \^f ( x )| ^{a K} (fix') = \a\ Д \^{f (}x)\ ^{a K (d}x) = \a\ ^ \'⁽q⁾\^A Q ^(dq⁾ = \a\||'||i.

• в)    Для любых элементов fi € С 1 (К 1 , C),f 2 € С 1 К C),f i + f 2 € С 1 (К 1 + К 2 , C).

Пусть ещё К = К 1 + К ₂. ^q € Q. тогда

' i ⁽q) = ^fi ⁽q K ) q q ⁽q K ^ ) ,' 2 ⁽q) = ^f2 ⁽q K ) q q (я к ^ ) •

Получим

01(q) + 02(q) = (-01 + 02) (q) = (/1 + /2) (qK) Qq (qK^), таким образом, С1К (Q) + С1,к2 (Q) С С1,К1+k2(Q).

Поскольку |(01 + -2) (q)| = |(/1 + /2) (q K )| Q q (q K и); справедливо неравенство треугольника:

1101 + 02^1 = ^ |0i(q) + 02(q)| X Q (dq) = ^ |/i(x) + /2(x)| A^k (dx) 0 0 I I/1(x)| A ^k (dx) + I I/2(x)| A^k (dx) =

= I ^|01⁽q)| ^A q ^(dq) + I ^I0 2 ⁽q)^IA Q ^(dq) = II⁰1II1 + II02II1 •

2, 3)

IM0)I = [ 0(q)A Q (dq) = [ /(x)A ^K (dx) 0 J Q               J К

0 /к I/(x)|A^K(dx) = l_Q I0(q)l A Q (dq) = II0II1, ^v0 g C 1 (Q).

Следовательно, линейный функционал A q ограничен, и непрерывен.

4.    Инвариантность Aq относительно изометрий в Q

Определение 6 (Инвариантность меры относительно отображения), (ср. [2]) Пусть М 1 и М2 — множества, J — биективное отображение М 1 на М2 и Д1 — обобщенная мера на М 1 с пространством F 1 пробных функций.

Образом меры Ц1 относительно отображения J называется линейный функционал Ц1 о J ^-1 на комплексном линейном пространстве F2 всех функций вина. ^ о J ^-1 (^ g F^). определяемый равенством

/ ^ (^J-1Ы)№. ^oJ - ^1(dy⁾=     <^(^xW^dx)(= Д1(<^)).

J м 2                            M 1

Мера Ц1 шсшваетея инвариантной отпоснтелвпо J. если М 2 = М 1 ,F 2 = F1 н ^ 1 о J ^-1 = Д1 (см. [3, 4]).

Утверждение 1. (Ср. [2].) Мера A q инвариантна относительно изометрий в Q — сдвигов и ортогональных операторов.

Определение 7 (Изометрия в Q.) Если J : Q ^ Q — некоторая биекция и / : Q ^ C, то полагаем T j / = / о J ^-1, T j — линейный оператор замены переменной в пространстве C^Q всех комплексных функций на Q.

Для любого q o g Q определим сдвиг J_q 0 : Q ^ Q так. что для любого q g Q

^J q o ⁽q) = q + qo, ^(q) = q ^- qo.

Для любого ^ g C 1 (Q). таким образом.

^(T J q ₀ ⁾⁽^)    ⁽g ^{0 J-1)(}q) = ^ (^J-1(q⁾) = ^⁽q ^- q o ).

4.1.    Инвариантность Ci(Q)

Лемма 1. Для любого q o G Q справедливо включение

Tjm (Ci(Q)) с Ci(Q), т.е. для любого р G Ci(Q), ср о J— g Ci(Q).

Доказательство

• А)    Сначала рассмотрим случай, когда Q - конечномерное пространство. Тогда C i (Q) = C i (Q, C).

Фиксируем f G C _i (Q, C), qo G Q. Введём переменные q G Q и q G Q так, что q — q o = q, тогда q = q + qo, и справедливы оценки:

sup\\\q\\nf (q — qo)| = qtQ

= sup q ^ ^Q

(

n

W« + Mn • If(q)l « (««»+ IIMflf(«II = E C • Ып-‘ k=o

■w^ •If (9)lj

⩽

n

« 2^п(1 + w®W)ⁿE^s,f«iW‘-I f («ii ) < ~-Co *Q

Следователвно, f о J - ¹ g C _i (Q, C) = C_i(Q). Случай конечномерного Q рассмотрен.

Б) Для случая бесконечномерных Q фиксируем любую р G Ci(Q). Тогда для некоторого К G K-(Q), р G C-р к (Q) (2). Следователвно, для некоторой функции f G C ₁ (K, C) справедливо равенство р = ф кр (1)-

Нужно отделвно рассмотретв два случая: 1) qo G К; 2) q o G К

• 1)    Если qo G К. то Р_к ±(qo) = 0. Р к (qo) = qo- и

• р о J- = p(q — qo) = f (Рк(q) — qole-^11^(q)^2 =

= ^f q o ^(р к ⁽q)) • 9 Q ^(P к ^ ⁽q)).

Посколвку f G C i (K, C), to f_q 0 = f о J^—1) G C i (K, C) по доказанному в A).

Следователвно, p о J — g C _i ,_K(Q) C C _i (Q).

• 2)    Если qo G К, введем обозначения:

u = Р к (qo) = Р к (u)

и w = Ркт (qo) = PRw(qo) = PRw(w).

Итак. К ^± = (R • Р_к ^ (qo)) © (К ^± © (R • Р_к ± (qo)) = Rw © (К © Rw^. тогда

^Р к ^ = ^P R w + ^P(K+Rw)^±■

Далее исполвзуем равенства Р к = Р к о Pк+R_WI^и Рк™ = Рк™ о Pк+R_w в вычислении:

Р ^{о J—i} = Р⁽« ^— q o) = ^{(f о Р} к ⁾⁽q ^— q o) 9 Q ^(Р к ^ ⁽« ^— « o)) =

= ^{(f оР} к ^{о Р} к +к ™ ⁾⁽q ^— qo)9 Q ^(р к ^ ⁽q) ^{— w}) =

= ^{(f о Р} к ^)(Р> к +Rw ^{(q — q}o))9 Q ^(р R w ^(q) ^—w + ^Р ( к +Rw©^(q)) =

= ^{(f о Р} к ^)(р к +R w ⁽q ^— qo))⁽9 Q ^{о P} R w ⁾⁽«Rw ^{— w)(}9 Q ^{о Р} ( к +Rwp ⁾⁽q⁾ =

=^(f ° Р к ⁾⁽P k + r w ⁽q - q o ⁾'⁾⁽9 Q ° P r _w'Kp ^ + r w ⁽q - q o ⁾'⁾⁽9 Q ^{o р} к + rwr ⁾⁽q) =

= ^((f ° ^Р к ⁾⁽9 Q ° P r w )|K +R w ) ^(Р K +R w ⁽q) - P k + R w (V o )) ⁽9 Q ° P ( K +RwH )⁽q) =

= O^Pk+rM®) ° Pk+Rw) 99Q ° P(k+Rwr)) (q), где (f^PK+Rw^o) = fa ° fap, - . (qoy И /1 = ( (f ° Pk )(9q ° Prw ) )|k+Rw-

Поскольку f G C± (K, C), то справедливо f ° Р к G BC(Q, C), и тогда

(f ° Р к )|к +R w G BC(K + Rw, C).

Далее, поскольку 9Q(q) = e ^- ^², то 9 q | k +R w G Ci (K + Rw, C), и тогда

(9 Q ° P r w | k +R w ) G C (K + Rw, C).

Следовательно, fi G Ci (K + Rw, C)

• и, значит, fi ° Jp^^ ₍) G Ci(K + Rw, C) снова по доказанному в случае A).

4.2.    Инвариантность Aq

Наконец, из предыдущего получаем p ° J— G C i ,k +r _w (Q) С Ci(Q), что и требовалось даказать.

Теорема 1. Для любых p G C1 (Q) u Vqo G Q справедливо равенство

^ Q ° ^{J —} = ^ Q .

По определению б, достаточно проверить, что

^A q ⁽p) ^X ^(q^Q^q) = J_q⁽ p ° ^J-1)(q^)AQ^(dq⁾ = ^A q ⁽p ° ^J-1).           ⁽⁴⁾

Доказательство

Если dimQ <  от. то

Iq p(q)^Q(dq) = \Kf(x)^K (dx), где Q = K и f = p. В этом случае Aq является стандартной мерой Лебега с трансляционной инвариантностью.

Для бесконечномерных Q нужно отдельно рассмотреть два случая: 1) если qo K К' 2) если qo G K.

• 1)    Если q o G K, то, в силу определений,

^A Q ⁽P ° ^J—) = ⁽^Р ° ^J-1)(q^)AQ^(dq⁾ = l_K^f a o ^(х)АК(dx) =

= l_Kf (х^А^К (dx) = ^P(q)A Q (dq) = A q ( p ) , и теорема для этого случая доказана.

• 2)    Если q o G K то, используя ранее введённые в (3) в аналогичной ситуации обозначения, получим dim(K + Rw) = dim(K) + 1. Пусть 8 = dim(K ), e s +1 = e_w = jWj•

Сначала рассмотрим случай, когда д = 0, т.е. K = {0}. Тогда K ^ = Q, и пусть K_W = K ф Rw = Re_W, x s +1 = P r _w (x) = P r P_w (x) = (x,e_W ) q G R. Следовательно, справедливы равенства

^X Q (^ ° ^{J —} ) = j_Q⁽ ^ ° J - o^^Q^ =

= 1_к^(f i ) P _Kw Ш^{( х})^{х К}" ^(dx) = I_k f i& )X ^{K w (dx)} =

^ (f ° Pk)(x) • (qq ° Prw)(x)dx =[ f (0) • e-^2+1 dx = kw                             Rww

= f (0) / e ^-^ dx = f (0) Г ■dx s +i = W w                    — -oq

= ^{f (0)} = ^{f (0)} f QQ^Hdo) = ^\k ⁽⁰⁾ f^Q ° ^P Q ^)(d)(dd) =

= Iq ^ \ k (^ K ^ ° ^Pk ^ ⁾⁽R^)(dR) = !_q⁽⁽ ^ \ k ° ^p K ⁾⁽9 K ± ° ^Pk ^x )) ⁽Q^)(dQ) =

= I ^^Q^O) = XQ(^'), J Q и теорема для этого случая доказана.

При 5 = 0 существует ортогональный базис (е₁, е₂,..., es+₁) в K_w = К ф W w ~ К х W e _w. Далее используем разложение

5+1

s

V x G K w ,

x =    Xj ej =    Xj 6j + xs+1 es+1, i=i        j=i где Xj = (x,ej)q G W. Пусть Pk(x) = xk, тогда справедлива цепочка равенств

^X Q ⁽P ° ^J-¹⁾ = 1_к^f i ^{( x}) X ^{K w (dx)} =

=    (f ° P k )(x) • ( q q ° P r w )(x)dx =

J Kw

= I I  (f ( P k (^x^e

-

"" dx =

J K . /R e_w

У f ( x k )dx K • У e ^+1 dx s +1 =

= (\k f (xK)dxK) •1 = ^K(f) = XQ(^)’ и равенство (4), как и теорема для этого случая, доказаны.

5.    Постоянная Планка

Постоянная Планка (квант действия) — основная константа квантовой теории, коэффициент, связывающий величину энергии кванта электромагнитного излучения с его частотой, так же как и вообще величину кванта энергии любой линейной колебательной физической системы с её частотой. Впервые упомянута Максом Планком в работе, посвящённой тепловому излучению, и потому названа в его честь. Обычное обозначение — латинское h.

Определение 8 (Постоянная Планка). С 2019 года значение постоянной Планка считается зафиксированным и точно равным величине h = 6, 62607015 • 10-34kg • m2 • c-1

В ДРУГИХ единицах измерения численное значение будет другим, но всегда h > 0.

Широко используется также приведённая постоянная Планка, равная постоянной Планка, делённой на 2тг и обозначаемая как h ( hh с чертой»).

Всюду далее символ J h обозначает оператор умножения на число hh для произвольного (h >  0) в пространстве Q, а символ C h (Q) — пространство пробных функций обобщенной меры A q о J-1. Другими словами, введем следующие определения.

Определение 9 (Пространство C h (Q))-

C h (Q) = {vh = V о J ^{- 1} : v g Ci(Q)} .

Определение 10 (Мера A q о J^-1).

[ V ( ^J -1 ⁽y⁾ ) ^A Q ^oJ-¹⁽dy)= [ ^⁽x^)A Q ⁽dx) ⁽= ^A Q ⁽^y) ,v ^gC 1 ^{( q )}.

JQ                           JQ

Тогда функция gh- определяемая равенством g о J^— . является элементом C h (Q) ■ при 1/h        ■ ²    _2ДД2    _M2

этом g Q = g и g h (q) = (g Q (q)) ^/ = e ^h = e 2 ^h = _e 2 л (q gQ),v де h = 2 ^.

Дальнейшие подпункты этого раздела посвящены доказательству следующего предложения.

Предложение 2. Пространства C h (Q) и меры A q о J^-1 инвариантны относительно сдвигов в Q.

При h = 1 мы доказали инвариантности Ci(Q) ii Aq.

5.1.    Инвариантность Ch(Q)

Лемма 2. Для любого qo G Q и J_q0 (q) = q + qo (q G Q)

Tj,o (Ch(Q) cCh(Q), m.e. для любого Vh G Ch(Q) Vh о J— G Ch(Q).

Доказательство

Для любого q G Q

V h ^o J-¹^ = v ^oJ -^{1 o J-1(}q) = V

(' я

= ^V (jh ^- Th ) = (^{V OJ} Vh 1) ^OJ -¹

G C_h(Q) так как v о J чо ¹ G C 1 (Q). V h

5.2.    Инвариантность Aq о J-1

Теорема 2. Пусть Lh = A q о J^ \ тогда для любого V h G C h (Q) и для любого qo G Q,

Lh Vh о J-¹) = L h (V h ).

Доказательство следует из цепочки равенств

= IA (^{V OJ}V ^J -1)

(q)L h (dq) = A q

V V о J -1)

= ^A Q ⁽V) = ^L h ⁽V h ) .

6.    Замечание

Для h = 1,L1 = X q (cm. [5]) и существует доказательство предложения 1 по другой методике, более сложной (но широко обобщаемой), принадлежащее Г. Ю. Мамаеву (устное сообщение).