Транспортировка масс и сжимающие отображения

Пусть α — неотрицательное число. Будем называть отображение T : R ^d ^ R d а -липшицевым, если

IT ( x ) - T ( y ) I <  ^a|x - y|.

Для гладкого T это эквивалентно условию sup IDT(x)|| < a, x∈Rd где || • || — операторная норма. В случае a = 1 мы будем просто писать «сжатие».

Аналогично, если T : X ^ Y — отображение между метрическими пространствами, будем говорить, что T — сжатие, если P y ( T ( x 1 ) ,T ( x 2 )) <  р х ( x 1 ,x 2 ).

Пусть μ — вероятностная мера в метрическом пространстве ( M,p ). Для произвольного множества A C M определим поверхностную меру р + границы ∂A :

р + (dA) = limh_о р(Ah) h р(A), где Ah = {x : р(x,A) < h}.

Множество A называется изопериметрическим, если оно имеет минимальную поверхностную меру среди множеств такой же меры р ( A ). Изопериметрическая функция 1^ определяется следующим образом:

1 _Д ( t ) = inf {р ⁺ ( dA ) : р ( A ) = t}.

Изопериметрические множества в большинстве случаев невозможно найти. В то же время для изопериметрических функций существуют различные оценки, имеющие обширные приложения в анализе, геометрии и теории вероятностей. Например, хорошо известно, что изопериметрические неравенства влекут неравенства типа Соболева. Подробнее см. в [9, 18, 22, 24, 27].

Многочисленные приложения сжимающих отображений основаны на следующем элементарном факте:

Пусть X , Y — два метрических пространства, и X наделено мерой μ. Предположим, что существует сжатие T : X ^ Y между метрическими пространствами X и Y . Тогда мера-образ v = р о T ^{- 1} удовлетворяет неравенству

I v >  I ^ .

В настоящей работе в основном изучается случай оптимальной транспортировки мер. Пусть нам даны две борелевские вероятностные меры μ и ν на R ^d . Рассмотрим оптимальную транспортировку T : R d ^ R d , минимизируюшую «стоимость транспортировки»

W 2 ^{2 (} р^,v ) = |

|x — T ( x ) | ² dр,

среди отображений, отображающих р в v , v = р о T ^- 1 . Последнее означает, что р о T ^- 1 ( A ) = v ( A ) для любого борелевского множества A . Если р = р о dx и v = р 1 dx абсолютно непрерывны, то такое T существует и может быть получено из решения транспортной задачи Монжа–Канторовича. Более того, это отображение μ -единственно и имеет вид T = V Ф, где Ф — выпуклая функция (см. [27]). Предполагая гладкость Ф, легко проверить, что Ф является решением следующего нелинейного уравнения (уравнения Монжа–Ампера):

р 1 ( V Ф) det D ² Ф = р ₀ .

Настоящая статья содержит обзор работ о сжимаемости оптимальных транспортных отображений. Первый результат в этом направлении был доказан Л. Каффарелли (см. [6]). Согласно этому результату, если μ — стандартная гауссовская мера р = (2^1 d/2 e-xz"dx и v = e-Wdx с D2W > Id, то соответствующее отображение T является сжатием. Из этого наблюдения немедленно следует теорема сравнения Бакри–Леду [2] и различные функциональные неравенства, включающие логарифмическое неравенство Соболева для равномерно логарифмически вогнутых мер. Среди других приложений отметим гауссовское корреляционное неравенство и неравенство Брас-кампа–Либа. Мы также обсудим некоторые обобщения теоремы Каффарелли и некоторые открытые проблемы.

II.    Теорема Каффарелли о сжатии

Замечание 1. Теоремы 1 и 2 будут цитироваться в работе как «теорема Каффарелли о сжатии». Оригинальная формулировка была дана в теореме 2.

Теорема 1 (L. Caffarelli). Пусть T = V Ф оптимальная транспортировка, отображающая вероятностную меру ц = e -V dx в вероятностную меру v = e -W dx . Пусть V и W дважды непрерывно дифференцируемы и D ² W ^ K . Тогда для любого единичного вектора e :

sup Ф2e < -1 sup Vee• x∈Rd K x∈Rd

В частности, если μ — стандартная гауссовская мера и K ^ 1, то T — сжатие.

Идея доказательства:

• 1)    Принцип максимума

Приведем идею доказательства, основанного на принципе максимума. Функции V, W и Ф предполагаются достаточно регулярными. Впрочем, гладкость Ф можно вывести из гладкости V, W (плюс некоторые ограничения на рост, см. теорему 4.14 [27]). Запишем формулу замены переменных e-V = e-W(Vф) det d2Ф.

Возьмем логарифм от обеих частей

• V = W ( V Ф) - log det D ² Ф .

Зафиксируем единичный вектор e и продифференцируем эту формулу вдоль e. Для этого применим фундаментальное соотношение de Indet D2Ф = dedet D Ф = Tr(D2Ф)-1D2Фе.

^e                det D ²Ф       ^v ’

Продифференцировав эту формулу вдоль другого направления v и пользуясь тем, что

D 2Ф v (D 2 Ф)-1 + D 2Ф[( D 2Ф)-1 ] v = 0, получаем dev Indet D2Ф = Tr(D2Ф)-1D2Фev-

- Tr[( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф _e ( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф v] .

Используем опять формулу замены переменных

V _e = (VW ( V Ф) ,D ² Ф • e) - Tr( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф _e

и

- Tr( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф _ee +Tr[( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф _e J ² .

Предположим, что Ф _ee достигает максимума в точке x 0 . Тогда

V Ф ee ( x 0 ) = 0 , D ² Ф ee < 0 .

Заметим, что Tr[( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф _e ] ² >  0, потому что это равно Tr C ² , где

C = ( D ² Ф) ^{- 1} / ² D ² Ф _e ( D ² Ф) ^{- 1} / ²

— симметричная матрица.

Очевидно, Tr( D ² Ф( x 0 )) - ¹ D ² Ф ee ( x 0 ) < 0, следовательно

V ee ( x 0 ) >  K^D ² Ф( x 0 ) • e| | >  K Ф ² e ( x 0 ) .

Таким образом, sup Ф2e < -1 sup Vee (x0) • x∈Rd       K x∈Rd

• 2)    Разностные приращения

Вместо того чтобы дифференцировать уравнение Монжа–Ампера, можно рассмотреть разностные приращения

5 ₂ Ф( x ) = Ф( x + th) + Ф( x - th) - 2Ф( x ) > 0

для некоторого вектора h e R ^d , |h| = 1. Используя приближения, можно свести ситуацию к случаю, когда supp( v ) — ограниченная выпуклая область и V , W — локально гельдеровы. Из результатов Каффарелли о гельдеровой регулярности следует Ф e C 2oa (R ^d ).

Кроме того, используя приближения, можно полагать, что μ убывает не быстрее гауссовской меры, то есть V ( x ) ^ C 1 + C ₂ |x| ² для некоторых C 1 ,C 2 ^ 0. Тогда имеет место следующая лемма (см. лемму 4 в [6]).

Лемма 1. lim _x^^ 5 ₂ Ф( x ) = 0.

Следовательно, существует точка максимума x 0 функции 5 ₂ Ф( x ). Дифференцирование по x 0 влечет

V Ф( x 0 + th) + V Ф( x 0 - th) =2 V Ф( x 0 ) ,    (1)

D ² Ф( x 0 + th) + D ² Ф( x 0 - th) < 2 D ² Ф( x ₀ ) .

Из вогнутости определителя следует det D2Ф(x0) > det(D2Ф(x0 + th) + D2Ф(x0 - th)) >

> (det D ² Ф( x 0 + th) det D ² Ф( x ₀ - th)^ 2 .

Применив формулу замены переменных det D ² Ф = e ^{W ( V ф) - V} , получаем

V ( x ₀ + th) + V ( x ₀ - th) - 2 V ( x ₀ ) >

> W ( V Ф( x 0 +th))+ W ( V Ф( x 0 - th)) - 2 W ( V Ф( x 0 )) .

Из (1) вытекает, что

Vee = (D 2 W ( V Ф) D 2 Ф-e,D 2Ф •e) + (VW ( V Ф) ,V Ф ee )- v : = V Ф( x 0 +th)-V Ф( x 0) = V Ф( x 0)-V Ф( x 0 - th) •

Таким образом, получаем из (2), что sup Vhh • 12 > K|VФ(x0 + th) - VФ(x0) 12 = = K|VФ(xо - th) - VФ(xо)|2 = K|v|2.

В силу выпуклости Ф:

Ф( x 0 + th) + Ф( x 0 — th) — 2Ф( x 0 ) <

• < t(V Ф( x 0 + th) — V Ф( x 0 — th) ,h) = = 2 t(v,h) < 2 t|v|.

Таким образом, suPxerd Vhh > ( 52ф у2

Отсюда вытекает, что

Фhh < 2C supx∈Rd Vhh

при C =

. Но эта оценка хуже жела- емой. Чтобы получить нужную оценку, использу- ем дополнительную информацию, что Ф hh ^ а о C, где а о = 2. Применим соотношение

Ф( x 0 + th) + Ф( x 0 — th) — 2Ф( x 0 ) =

t

= | (V Ф( x 0 + sh) — V Ф( x 0 — sh) ,h)ds.

В силу выпуклости Ф (V Ф( x 0 +sh) —V Ф( x 0 — sh) ,h) < <  (V Ф( x 0 +th) — V Ф( x 0 — th) ,h) , выполнена оценка

Ф( x ₀ +th)+Ф( x 0 — th) — 2Ф( x 0 )

t

< jmin(2 a ₀ Cs , 2 |v| ) ds.

Вычисляя правую часть и принимая во внимание, что |v| ^ Ct , получаем

Ф(x0 + th) + Ф(x0 — th) — 2Ф(x0) < a 1 Ct2, где a 1 = 2. Таким образом, Фhh ^ a 1 C. Повторяя эти аргументы бесконечное число раз, получим Фhh < anC и limn an = 1. Теорема доказана.

• 3)    L ^p -оценки

См. раздел 6.

Замечание 2. Заметим, что теорема из [6] несколько отличается от результата выше. Ниже приведен оригинальный результат Каффарелли.

Теорема 2 (L. Caffarelli). Пусть ц = e -Q dx — произвольная гауссовская мера. Тогда для любой меры v = e -Q-P dx , где P — выпуклая функция, соответствующая оптимальная транспортировка T является сжатием.

Идея доказательства: Применим принцип максимума. Мы ищем максимум Ф _ee ( x ) среди единичных e и x е R ^d . Применим соотношение, полученное выше

+ (V ( Q + P )( V Ф) ,V Ф ee ) — Tr( D ² Ф) - ¹ D 2 Ф ee + +Tr [ ( D ² Ф) - ¹ D ² Ф _e p .

Из тех же самых аргументов, что и выше, следует

Q ee > (D ² ( Q + P )( V Ф) D ² Ф • e,D ² Ф • e).

Учтем, что P — выпуклая функция и e — собственный вектор D ² Ф. Получаем

Q ee >  Ф 2 e • Q ee ( V Ф) .

Из того, что Q _ee постоянно, следует искомое утверждение.

III.    Равномерно выпуклые меры общего вида

Доказательство, основанное на изучении дифференциальных разностей, может быть легко обобщено на случай равномерно логарифмически вогнутых мер (в обобщенном смысле). Последнее означает, что потенциал W удовлетворяет соотношению

W ( x + y ) + W ( x — y ) — W ( x ) >  5 ( |y| ) для некоторой возрастающей неотрицательной функции δ . Следующий результат был доказан в [15].

Теорема 3. Предположим, что V и W удовлетворяют соотношению

V ( x + y ) + V ( x — y ) — 2 V ( x ) <  A p |y| ^p +1 ,

W ( x + y ) + W ( x — y ) — 2 W ( x ) >  A q |y| ^q +1

для некоторых 0 ^ p ^ 1, 1 ^ q , A p >  0, A q >  0.

Тогда Ф удовлетворяет неравенству

Ф(x + th) + Ф(x — th) — 2Ф(x) < 2( —p^ q+111+a (3) Aq для любого единичного вектора h е Rd с a = —++1.

Замечание 3. Константа в (3) в общем случае не оптимальна.

Из (3) следует, что V Ф — глобально гельдерово отображение. Это верно и без предположния выпуклости Ф, но выпуклый случай проще и следует из леммы, сообщенной автору Сашей Содиным.

Лемма 2. Для любой выпуклой функции f и единичного вектора h выполнено

Vf ( x + th) — f ( x ) | <

• < - sup f f ( x + 2 tv ) + f ( x — 2 tv ) — 2 f ( x )^ .

t v : |v| =1

Используя эту лемму, можно усилить результат о гёльдеровой транспортировке.

Теорема 4. Предположим, что

V ( x + y )+ V ( x — y ) — 2 V ( x ) <  |y| ² ,

и

Q ee = (D ² ( Q + P )( V Ф) D ² Ф • e,D ² Ф • e) +

W ( x + y ) + W ( x — y ) — W ( x ) >  5 ( |y| )

для некоторой неотрицательной возрастающей функции δ . Тогда

|V Ф( x ) - V Ф( y)I < 8 5 ^— 1 (4 |x - y| 2 ) .

Применяя эту оценку, можно перенести знаменитое гауссовское изопериметрическое неравенство Судакова-Цирельсона на случай (обобщенной) равномерно выпуклой меры. Напомним (см. [1]), что стандартная гауссова мера γ удовлетворяет гауссовому изопериметрическому неравенству

Y(Ar) > Ф(Ф- 1(y(A))+ r), где Ar = {x E Rd : 3 a E A : |a — x| < r}, x       t2

^{Ф( x} ) = V2T f e - ~ dt .

— ^

Следовательно, применяя теорему 4 к мерам ц = y и v = e W dx с потенциалом W , удовлетворяющим

W(x + y) + W(x - y) - W(x) > 5(|y|), мы получаем

v ( A r ) >  ф ( ф ^— 1 ( v ( A )) + 2 V5(r/8) ) .

В частности, ν обладает безразмерным свойством концентрации

v(Ar) > 1 - |exp(-85(r/8)) , если v(A) > 1 /2. Близкий результат был получен Е. Мильманом и С. Содиным в работе [23] с помощью локализационых аргументов. Из результатов Е. Мильмана [21] следует, что изопериметрические неравенства и неравенства концентрации эквивалентны для логарифмически вогнутых мер. Подробнее о неравенствах концентрации см. [18, 22].

IV.    Мера Лебега на выпуклом множестве выпуклого тела K называется наименьшая константа, для которой выполнено неравенство flf -

K

-¹- [ /dx l dx <  C ch ( K ) [ |Vf |dx A ⁽ K )

K

K для любой гладкой функции f .

КЛС-гипотеза. Существует такая универсальная константа c , что

Cch( к) < C для любого выпуклого K ⊂ Rd , удовлетворяющего соотношениям

| x i dx 0 ,A ( к )

K

| x i x j dx = 5 i .

K

Подробнее о КЛС-гипотезе см. [5, 12, 21].

Некоторые результаты такого типа были получены в [15]. Аргументы ниже обобщают доказательство, основанное на принципе максимума. Рассмотрим оптимальную транспортировку, отображающую e—Vdx в A(^)A|^. Зафиксируем единичный вектор h. Найдем такую функцию ψ ,что функция f (Ф h) + 1одФ hh будет ограничена сверху. Предположим, что x0 — точка максимума этой функции. В этой точке

^' (Ф h ) V Ф h + -¹- V Ф hh = 0 ,       (4)

Ф hh

^ " (Ф h ) V Ф h ф V Ф h + ^ ' (Ф h ) D 2 Ф h + -¹- D ² Ф hh -

Ф hh

• - -2- V Ф hh ФV Ф hh < 0 .        (5)

^ф hh

Дифференцирование формулы замены переменных дает соотношения (см. раздел 1):

Vh = - Tr( D 2 Ф) ^{— 1} D 2 Ф h

Vhh = - Tr( D 2 Ф) ^{— 1} D 2 Ф hh + Tr [( D 2 Ф) ^{— 1} D 2 Ф h ] 2 .

Умножим (5) на ( D ² Ф) ^— 1 , возьмем след и подставим выражение для V hh в формулу. Получим

V hh >  - ф^Тг[( D ² Ф) ^{— 1} • V Ф hh ФV Ф hh ] +

+Ф hh • < (Ф h )Tr [( D ²Ф) ^{— 1} • V Ф h Ф V Ф h ] +

+Ф hh • ^ ' (Ф h )Tr [ ( D ² Ф) ^{— 1} D ² Ф h ] + Tr [ ( D ² Ф) ^{— 1} D ²Ф h ] 2 . Заметим, что Tr( D ² Ф) ^{— 1} • V Ф _h ф V Ф _h = Ф _hh . Из (4) вытекает, что V Ф hh = - Ф hh^' (Ф h ) V Ф h . Подставляя это в неравенство для V hh , получаем

V hh > ^Ф hh ^[ ^" ^{- (} f ^{) 2 ]} ◦ ^Ф h ⁺

+Ф hh • f (Ф h )Tr[( D ² Ф) ^{— 1} D ² Ф h ] +

+Tr[( D ² Ф) ^{— 1} D 2 Ф _h ] 2 .

Заметим, что

Tr[( D ² Ф) - ¹ D ² Ф h ] = Tr C,

Tr[( D ² Ф) ^{- 1} D ² Ф h ] 2 = Tr C ² , где

C = ( D ² Ф) ^{- 1} / ² ( D ² Ф h )( D ² Ф) ^{- 1} / ²

— симметричная матрица. По неравенству Коши vhh > фhh [^" - (i + d)(^')2] ◦фh•

Предположим, что V hh ограничено константой C . Пусть ψ — функция, удовлетворяющая соотношению ^" — (1 + 4) ( ^ ' ) ² >  e ² ^ . Получаем

C > Ф h_h ( x 0 ) e ² ^ ^{(Ф h ( x o ))} = sup Ф ² _hh e ² ^ ^{(ф h} ) • xE R d

В частности, выбирая подходящую функцию ψ , получим следующее утверждение (см. детали в [15]).

Теорема 5. 1) Оптимальная транспортировка T стандартной гауссовой меры y в д ( К ) А| к , где K — выпуклое тело, удовлетворяет оценке

||DT|| ^ cVddiam(K), где c — универсальная константа, а diam(K) — диаметр K .

• 2)    Оптимальная транспортировка T меры ц = e ^{- V} dx в дК А| к , где V hh <  C , |V h | <  C для некоторого C и всех h , |h| = 1, удовлетворяет оценке

IDT|| < cdiam(K), где c зависит только от C.

К сожалению, оценки теоремы 5 недостаточно сильны, чтобы дать новое доказательство даже известных результатов о константе Чигера для выпуклых тел. Возникает следующая естественная проблема.

Проблема 2. Существует ли не зависящая от размерности оценка для ||DT | |, где ц = Y и v = д ( к ) А| к ? Тот же самый вопрос для произведения экспоненциальных распределений.

Заметим также, что было бы достаточно получить оценки для J |DT|| ^p dц . Это следует из результата Е. Мильмана об эквивалентности норм для логарифмически вогнутых мер [21].

V.    Сжатие для транспортировки мер, порожденной полугруппами

Результат о сжатии для другого типа транспортировки был недавно получен в [13].

Рассмотрим полугруппу P t = e^{t L} , порожденную

ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 4 и поток вероятностных мер vt = Pt (. W+V) • ц.

Очевидно, ц — инвариантная мера для P _t , v 0 = v , и v ^ = ц .

Запишем уравнение для ν _t :

d^v t = LP t ( e ^{- W +} V ) • ц = div[ VP t ( e ^{- W +} V ) • e ^{- V} ] =

= div[ V log P t ( e ^{- W +} V ) • v t ] •

Соответствующий поток диффеоморфизмов определяется уравнением dd-tSt = —V log Pt(e-W+V) ◦ St,S0 = Id, (6)

где νt и St связаны соотношением vt = v о S-1 •

В частности, предельное отображение

S ^ = lim _t^^ S t отображает v в ц . Обозначим обратное отображение через T t :

T _t о S t = Id,T = lim T _t ^ t—-^

Свойство сжатия для T = S-1 эквивалентно свойству «расширения» для S .ТаккакT и S — диффеоморфизмы, то достаточно доказать, что (DSt)*DSt ^ Id. Используя (6), получаем dDSt(x) = —DWt(St)DSt^Wt = V log Pt(e-W+V)• dt

Таким образом, dt(DSt)*DSt = 2(DSt)* • DWt(St) • DSt-

Если

^Wt (St) = —D2 log Pt (e-W+V) > 0, то St обладает нужным свойством.

Предположим, что функция U , определенная по формуле v = e^U • ц/U = W — V, выпукла. Тогда свойство —D2 log Pt(e-W+V) = —D2 log Pte-U ^ 0 означает, что Pt сохраняет логарифмически вогнутые функции. Так мы получили следующую теорему.

Теорема 6. Предположим, что U — выпуклая функция. Если U _t = — log P _t e ^{- U} — выпуклая функция для любого t ^ 0, то каждое отображение T _t является 1-сжатием.

Заметим, что согласно результату из [14], свойством сохранять все логарифмически вогнутые функции обладают только диффузионные гауссовские полугруппы. Тем не менее Ким и Миль-ман показали, что при наличии некоторой симметрии логарифмическая вогнутость может сохраняться. Доказательство основано на применении принципа максимума.

В частности, ими было получен следующий результат (см. более общую формулировку в [13]).

Теорема 7. Предположим, что μ — продакт-мера, V и U — выпуклые функции, причем U удовлетворяет условию U ( x i , ..., x n ) = U ( ±x i , ..., ± x n ), и V имеет вид V ( x ) = £ d_{= 1} P i ( |x i | ), где p {' < 0.

Тогда T — сжатие.

Кратко обсудим идею доказательства. Пусть t о — первый момент, когда U t теряет выпуклость. Предположим, что минимум ∂ _ee U _{t 0} достигается в некоторой точке x о для некоторого направления e . Тогда ( d/dt - Д) д _ee U _t | _t 0 ,_x 0 ^ 0. Кроме этого, Vd e U t = 0 и Vd _ee U t = 0. Используя это, можно показать, что

( d/dt - Д) d ee U t l t о ,x о = -(VU t ,VV ee )| t ₀ ,x о .

В момент t о функция U t еще выпукла и легко показать, что правая часть равенства неотрицательна. Это ведет к противоречию.

VI.    Lp-сжатие

В этом разделе мы обсудим L ^p -обобщения теоремы Каффарелли (см. [16]). Результаты доказаны с помощью так называемой леммы о касательной (см. [16]). Огромное преимущество этого подхода состоит в том, что заранее не требуется никакой регулярности функции Ф. Детали и обсуждение связи с транспортными неравенствами см. в [16].

Замечание 5. Оценки, полученные в этом разделе, не зависят от размерности и являются априорными соболевскими глобальными оценками для оптимальной транспортировки. В частности, они могут быть обобщены на случай бесконечномерных мер.

Теорема 8. Предположим, что D ² W p K • Id. Для любого единичного вектора e , p p 1, выполнены оценки

KI I ^{Ф 2} el\L P ( М ) <  I I ⁽ V ee ) + 1 1 L p ( Ц ) ,

KI Ф 2 eL ( Ц ) <  p +1 V I L ( Ц ) .

Доказательство. Зафиксируем единичный вектор e . Согласно результатам МакКэна [19]: формула замены переменных

V(x) = W(VФ(x)) - logdet ^2Ф выполнена для всех точек, за исключением множества A меры нуль: p(A) = 0. Здесь DaФ — об-солютно непрерывная часть второй производной D2 Ф, понимаемой в смысле обобщенных функций (производная Александрова). Имеем

V ( x + te ) - V ( x ) = W ( V Ф( x + te )) - W ( V Ф( x )) -

• — log l"(det _a D ² Ф( x )) ^{- 1} • det _a D ² Ф( x + te )] .

В силу равномерной выпуклости W :

V (x + te) - V (x) p p (VФ(x + te) - VФ(x) ,VW(VФ(x)))+

+ "2 |V Ф( x + te ) - V Ф( x ) | ² -

• - log [(det _a D ² Ф( x )) ^{- 1} • det _a D ² Ф( x + te )] .

Умножим это соотношение на ( S _te Ф) ^p , где p p 0,

SteФ = Ф(x + te) + Ф(x - te) - 2Ф(x), и проинтегрируем по μ. Применим следующую простую лемму

Лемма 3. Пусть y : A ^ R, р : B ^ R — выпуклые функции на выпуклых множествах A, B. Предположим, что Vp(B) С A. Тогда div(Vy оVp) p Tr [Day(Vp) • Dap] dx p 0, где div — дивергенция в смысле обобщенных функций.

Интегрируя по частям и применяя лемму, получаем

|(V Ф( x + te ) - V Ф( x ) ,VW ( V Ф( x )) ) ( 5 te Ф) p d^ = = | (V Ф( x + te ) о ( V Ф) -x,VW ( x ) ) ( 5 te Ф) ^p o ( V Ф) dv p p |^Tr[ D a Ф( x + te ) • ( D a Ф) - ¹ ] о ( V Ф) - d )( S te Ф) ^p о о ( V Ф) dv +

+p j (VФ(x + te) о (VФ) - x,(D2Ф)VSteФ о

( S te Ф) p ^{- 1} о ( V Ф) dv.

Заметим, что

Tr A - d - logdet A p 0

для любого A вида A = BC , где B и C симметричны и положительны. Действительно,

Tr A - d - logdet A = Tr C ¹ / ² BC ¹ / ² - d

• - log det C ¹ / ² BC ¹ / ² = ^ X i - 1 - log X i , i

где X i — собственные значения C ¹ / ² BC ¹ / ² .

Таким образом,

'V(x + te) - V(x)) (SteФ)pd^ p p K2 | |VФ(x + te) - VФ(x) |2 (SteФ)pdM+

+ p | ( V Ф( x + te ) - V Ф( x ) , ( D ² Ф) о V Ф( x ) VS te Ф^ ( S te Ф) p ^{- 1} d^.

Применим то же неравенство к —te и рассмотрим сумму

Теорема 9. Предположим, что D ² W — K • Id. Tогда для любого r — 1 выполнено

V ( x + te ) + V ( x — te ) — 2 V ( x )) ( 5 _te Ф) p dp —

k( J \ d ² Ф \ ² r d^ r < ( J \ ( D ² V ) + \ ^r dp)

— K | |V Ф( x + te ) — V Ф( x ) 1 ² ( 5 te Ф) ^P dp +

+ f | |V Ф( x — te ) — V Ф( x ) | ² ( 5 te Ф) ^P dp +

+ p j ( V5 te Ф , ( Р ² Ф) - ¹ V5 te Ф^( 5 te Ф) p- ¹ dp.

Заметим. что последнее слагаемое неотрицательно. Разделив на t ² p и перейдя к пределу, получаем

| V ee Ф Pe dp — K j \D 2 Ф • e\\ 2 Ф ^P_edp +

+ p |( ( D ² Ф) ^{- 1} V Ф ee ,V Ф ee ) Ф- ¹ dp.     (7)

Для доказательства первой части заметим, что

| V ee Ф Pe dp — K j Ф P_e ⁺² dp.

Из неравенств Гельдера следует

I I ⁽ V ee ) + \ l ( p +2) / Ч ц ) \ ^Ф ee ^ L ( p + ² ) /р ( ц ) ^— | ^V ee ^Ф pe ^dp.

VII.    Сжатие бесконечных мер

В этом разделе мы обсудим результаты о сжатии бесконечных мер. Заметим, что, в отличие от вероятностного случая, здесь нет естественной нормировки мер.

Начнем с одномерного примера.

Пример 1. Пусть d = 1, p = A| R + , v = I [o , + ^ ) pdx и p — 1. Стандартная монотонная транспортировка T является сжатием.

Доказательство. Действительно, это следует из явного представления T :

T

I ^pdx = x. 0

Посмотрим, что произойдет в случае d = 2 и сферически инвариантной меры-образа.

Пример 2 (F. Morgan). Пусть d = 2 и p = А , v = Ф( r ) dx . Естественная транспортировка имеет вид                          _x

T ( x ) = р ( r ) • n,n = — .

Очевидно,

Отсюда вытекает нужный результат.

Для доказательства второй части утверждения применим интегрирование по частям

v ( T ( B _r )) = 2 n

v ⁽ r )

j s Ф( s ) dr = nr ²

= p ( B r ) .

| V ee Ф Pe dp = — P | V e Ф eee Ф ^{P - 1} dp + j У ^Ф ^P _e dp =

= —P|(V Ф ee ,V e • e) Ф Pe ¹ dp + j V_e²Ф Pe dp.

В силу неравенства Коши эта величина не превосходит

P j ( ( D ² Ф) ^{- 1} V Ф ee ,V Ф ee ) Ф pe- ¹ dp +

Вычислим DT в базисе (n,v), где v = —xr,x 1). Получаем dnT = р • ndvT = P • v.

r

Очевидно, необходимым и достаточным условием того, чтобы T было сжатием, является

P < 1

или —' — 1 для — = р ^- 1 . Из формулы замены переменной мы получаем

+ 4

| V e² (D ² Ф e,e) Ф pe- ¹ dp + | V e ²Ф Pe dp.

— ( r ) =

Неравенство (7) влечет

r

^ 2 | s Ф( s ) ds.

p + 4

| V e ²Ф Pe dp — K | |V Ф e | 2 Ф ^P_e dp — K j Ф ^ dp.

r                    w 2

Условие — ' — 1 эквивалентно J s Ф( s ) ds — ^{( r} *2 r ))

Последнее выполнено, например, если

Конец доказательства такой же, как и в первой части.

Следствие 1. В пределе p - ж мы снова получаем теорему Каффарелли:

^K \ ^Ф ee ^ L ” ( ц ) ^— \ ⁽ V ee ) + \ l ~ ( ц ) ^.

Более сложная оценка для операторной нормы \| • \ | также была получена в [16].

( s Ф( s )) ' — 1 .

Действительно, в этом случае rr

| s Ф( s ) ds — | s Ф( s )( s Ф( s )) ' ds = ⁽ r ^Ф ( r ⁾⁾² 00

.

Пример 3. Аналогично, если размерность равна d, достаточным условием для того, чтобы транспортировка T = ф (r) Г меры А в меру Ф(r) dx была сжатием, является

( r ф d ^ ( r )) ' ^ 1 .

Следствие 2. В d -мерном евклидовом пространстве с плотностью Ф( r ), удовлетворяющей

(r ф d=1 (r))' ^ 1, выполнено евклидово изопериметрическое неравенство.

Некоторые примеры сжимающих отображений естественным образом возникают в геометрии (см. [20], предложения 1.1 и 1.2).

Предложение 1. Пусть M — плоскость, наделенная метрикой dr 2 + g 2( r) r 2 d6 2

(поверхность революции), g ^ 1. Тогда тождественное отображение M в евклидову плоскость с мерой gdx явялется сжатием, сохраняющим объем.

В частности, cosh ² ( r ) dx является липшицевым образом H ² (с метрикой dr ² +cosh ² ( r ) d9 2 ).

Следующая теорема сравнения была получена в [17]. Оказывается, что естественная модель логарифмически вогнутого распределения на прямой имеет следующий вид:

dx π       π

A  cos Ax’ 2 A ^{<  <} 2 A

Его потенциал V удовлетворяет условию V"e - ² V = A ² . Используя результат [25] о симметрии изопериметрических множеств, несложно вычислить изопериметрическую функцию ν A :

I v a ( t ) = e At / ² + e ^- At / ² .

Предложение 2. Пусть ц = e W dx — мера на R ¹ с четным выпуклым потенциалом W . Предположим, что

W"e ^{- 2} W >  A ²

и W (0) = 0. Тогда ц являтся образом v A при 1-липшицевом возрастающем отображении.

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что W — гладкая функция и W"e-2W > A2. Пусть ф — выпуклый потенциал, т.ч. T = ф отображает ц в vA. Кроме этого, мы требуем, чтобы отображение T было нечетным. Очевидно, ф удовлетворяет уравнению eW =       .

cos A' '

Пусть x о — точка локального максимума для ф ' . Тогда в этой точке

ф (3) ( x о ) = 0 , ф (4) ( x о ) > 0 .

Дифференцируя формулу замены переменной в x 0 дважды, мы получаем

"   ф(4) Ф Р ⁽³⁾\²      A ²        ₂ .sin Aф ' ",

W = V          , i /^{( ф} ) ^{+ A} cos AP ' ^ф .

Следовательно, в точке x 0

W <    . v^{( ф ) 2} = A ² e ² W .

Но это противоречит основному предположению.

Таким образом, ф ' не имеет локального максимума. Заметим, что ϕ — выпуклая функция. Из этого следует, что 0 является точкой глобального минимума ф '' . Тогда ф ' ^ ф ' (0) = 1. Очевидно, T ^{- 1} является искомым отображением.

VIII.    Другие результаты и приложения

Немедленным следствием теоремы о сжатии является теорема сравнения Бакри–Леду, вероятностный аналог теоремы сравнения Леви–Громова для многообразий положительной кривизны Риччи.

Теорема 10. Предположим, что ц = e ^{- V} dx , где D ² V ^ Id — вероятностная мера на R ^d . Тогда

1Ц > Iy , где γ — стандартная гауссовская мера.

Таким же образом теорема о сжатии применима к различным функциональным неравенствам и неравенствам концентрации для логарифмически вогнутых мер (логарифмическое неравенство Соболева, неравенство Пуанкаре и т.д.).

Следующая нерешенная проблема известна под названием гауссова корреляционная гипотеза .

Гауссова корреляционная гипотеза. Пусть A и B — симметрические выпуклые множества, а γ — стандартная гауссовская мера. Тогда

• Y ( A П B ) >  y ( A ) Y ( B ) . (8)

Гауссова корреляционная гипотеза возникла в 70-е годы. Основные положительные результаты — неравенство верно в двумерном случае и в случае, когда одно из множеств — эллипсоид. Случай эллипсоида был доказан Ж. Арже ([10]), а транспортное решение получено Д. Кордеро–Ера-скином [8].

Предложение 3. Пусть B — эллипсоид. Тогда (8) выполнено.

Доказательство. Применив линейное преобразование мер, можно свести неравенство к случаю, когда B — шар, а γ некоторая гауссова мера. Рассмотрим оптимальную транспортировку T между y и Y A = Y i1 A J Y |A . По теореме 2 T — сжатие. В силу симметрии T (0) = 0. Таким образом, T ( B ) С B и

• ^{Y (} A^П B ) = Y A ( B ) = Y ( T — 1 ( B )) >  Y ( B ) .

Теорема доказана.

Следующее красивое наблюдение [11] следует из теоремы о сжатии и свойств полугруппы Орн-штейна–Уленбека.

Теорема 11. Если γ — стандартная гауссовская мера, g — симметричная выпуклая функция, f — симметричная логарифмически вогнутая функция, то

I fgdY < | fdY • | gdY.

Доказательство. Пусть T ( x ) = x + Vy ( x ) — оптимальная трансппортировка y в fdY ' Достаточно доказать, что

| g ⁽ x + ^V^ ⁽ x )) dY < | gdY.

Положим

^(t) = jg(x + Pt(Vy(x))) dY, где Pt = etL — полугруппа Орнштейна-Уленбека с генератором L = A — (x,V). Заметим, что

^^ ⁽ t ) = ^d g ^{( x +} P t ^{( V}y ^{( x} ))) dY = ∂t ∂t

= | (Vg ( x + P t ( Vy ( x ))) ,LP t ( Vy ( x )) )dY.

Интегрируя по частям, получаем

^(t) = - | Tr [D2g(x+Pt (Vy(x))) • (I+M)M] dY, где

M = DP t ( Vy ( x )) = e —t ² P t ( D ² y ) .

В силу теоремы о сжатии I + M ^ 0 и M < 0. Тогда Tr D ² g • ( I + M ) M < 0 и функция 'ф ( t ) возрастает. Заметим, что P + ^ ( Vy ) = J VydY = fdY" = 0. Таким образом, J g ( x + Vy ( x )) dY ^ ^ (+ ^ ) = J gdY ■ Теорема доказана.

Некоторые другие приложения к корреляционным неравенствам были получены в [8, 13]. Обобщение предложения 3 на негауссовы меры было получено в [13] (см. следствие 4.1).

Другие приложения, полученные в работах [6, 8, 10, 13], касаются неравенств вида

| Г(x)dy ^ | Г(x)dv, где Г(x) — выпуклая функция (неравенства моментов и т.д.).

Следующая теорема была получена в [7] с помощью теоремы о сжатии. В частности, она дает положительное решение для так называемой (B)-гипотезы для гауссовских мер.

Теорема 12. Пусть K — симметричное выпуклое множество и γ — стандартная гауссовская мера. Тогда функция t ^ y(eeK)

• — логарифмически вогнутая. В частности, Y ( VabK ) ² >  Y ( aK ) Y ( bK ) для любых a >  0 ,b >  0.

Заметим, что кроме результатов из предыдущего раздела ничего не известно о сжимающих отображениях многообразий.

Следующий результат был получен С.И. Валь-димарссоном (см. [26]). Пусть M — неотрицательная симметричная матрица. Обозначим через γ M гауссову меру с плотностью

V det Me -^(Mx,x) .

Теорема 13. Пусть A , G и B — положительно определенные линейные преобразования, A< G , GB = BG , H — выпуклая функция, а y о — вероятностная мера. Оптимальная транспортировка T = V Ф вероятностных мер

• ^y = ^Y B - 1 / 2 GB - 1 / 2 *^y о ^{и v} = Ce H '^Y B - 1 / 2 a - 1 b - 1 / 2

удовлетворяет отношению

D ² Ф <  G.

Специальный вид меры μ позволил Вальди-марссону (см. также работу Ф. Барта [3]) получить с помощью транспортных аргументов новую форму неравенства Браскампа–Либа. См. детали в [26].

Мы закончим раздел следующим наблюдением из [4].

Предложение 4. Пусть y = I [о , + ^ ) e ^{- x} dx — односторонняя экспоненциальная мера v = e g • y , удовлетворяющая |g ' | ^ c для некоторого c <  1. Монотонная транспортировка T , отображающая ν в μ , удовлетворяет

T ' ( x ) G [1 — c, 1 + c ]

для всех x G [0 ,ro ). Обратное отображение S = T ^{- 1} является —сжатием.

• 1    — c

Результат вытекает из точного представления T , но может быть эвристически доказан с помощью принципа максимума, примененного к S. Действительно, g (S) — S + log S' = —x.

Если xо — точка максимума для S', имеем S"(xо) = 0. Кроме этого, g (S (x о)) S' (x о) — S' (x о) + SSx)) = — 1.

Очевидно, S ' ⁽ x о ) = i — g , 1s ₍ x o ) <  1 —c .

Используя это свойство, можно транспортными методами доказать 1-мерное неравенство Та-лаграна для показательных распределений (см. [4], предложение 6.6).

Работа написана при поддержкке грантов РФФИ 07-01-00536, РФФИ 08-01-90431-Укр и Гранта

ДААД A1008062. Автор благодарен Фрэнку Моргану и Эмануэлю Мильману за поддержку и ценные замечания.