Три теоремы о матрицах Вандермонда

/1  X1x i  x2

...

...

...

\ 1 XN

N -1 1

N -1 2

N -1

N

\

/

x j ∈ C ,

симметричной, если A T = A. В этом случае x i = 1, а все остальные x j являются степенями одного и того же комплексного числа λ. Этот частный случай матрицы Вандермонда (1) имеет следующий вид:

/ 1      1         1      ...          1\

• 1     А       А ²      ...A

  λ ∈ C .

  
  
  
  

...     ...        ...      ......

\ 1    A N ^-1   A 2( N ^-1)   ...    A ^{(n - 1)(n -1)} /

Известное свойство унитарности матриц дискретного преобразования Фурье (см. [1]), приводит нас к следующему уравнению для матриц Вандермонда (1):

AA* = A* A = N • E,(3)

где * обозначает эрмитово сопряжение A * = A T , а E = diag(1,..., 1) — единичную матрицу.

Теорема 1. Матрица Вандермонда (1) удовлетворяет уравнению (3) в том и только в том случае, если x j для j = 1, 2,... , N являются N различными корнями уравнения x ^N = e iN^Y , y G R . При этом матрица (1) записывается в виде произведения симметричной матрицы Вандермонда (2) с A N = 1 и диагональной A = Л • diag(1, e i^Y , e i 2 ^Y ,...) .

Последнюю формулу в теореме поясним следующим примером.

Пример 1.1. Выбор x i = e i^Y находится в нашем распоряжении и, выбрав при N = 3

1                                1

xi = ^(V3 + i) ^ xi = ^(1+ iV3),   X3 = i; A = e3 ,(4)

мы получаем «унитарную» матрицу (1), удовлетворяющую уравнению (3):

/1  Xi  x2A     /1   1   1A  /1   00\

A = I 1  x ₂   x 2    = I 1   A   A ² I I 0  x i    0 I , A ³ = 1.

1  x3  x23        1  A2   A     0   0x

Для доказательства теоремы 1 рассмотрим диагональные элементы с номерами

и 33 произведения A * A. Уравнение (3) дает для разностей y j = | x j | ²

- 1

y i ^{+ y} 2 ⁺ • • • ^{+ y} N = ^y 2 ^{+ y} 2 ⁺ • • • ^{+ y} N = ⁰ ^ y j = ^{0 (V}j ^{G [N]}).

Поэтому справедливо утверждение

Лемма 1. В условиях теоремы 1 выполняется | x j | = 1 для любого j.

Таким образом независимо от размера матрицы Вандермонда доказательство теоремы 1 сводится в силу формул Виета к проверке импликации xi + ... + xn — 0, x2 + ... + xN = 0, ............

т^{N -i} 4-   4- TN^-i — 0

x i —+ . . . т x n — v

x NN = a ( V j G [N]).

Остается заметить, что | a | = 1 в силу леммы 1 и что уравнение z ^N = a сводится к уравнению A N = 1 заменой z = e i^Y при a = e iN^Y . Доказательство обратного утверждения, 2 iπ

• т. е. A = e n ^ (3), можно извлечь из цитированной выше монографии [1].

Пример 1.2. Пусть N = 3. Тогда восемь уравнений матричного равенства A * A = 3E можно представить в виде трех систем

I

x 1 + x 2 + x 3 = 0; x ² ₁ + x ² ₁ + x ² ₃ = 0,

I

y 1 + y 2 + y 3 = 3; y ₁ ² + y ₂ ² + y ₃ ² = 3,

I

У 1 Х 1 + У 2 Х 2 + У 3 Х 3 = 0;

У 1 Х 1 + У 2 Х 2 + У 3 Х 3 = 0,

def где мы сменили обозначения леммы 1 и yj = Xj Xj. В силу леммы yj = 1 О Xj Xj = 1 для любого j = 1, 2, 3. При этом последняя система уравнений совпадает с первой, а вторая превращается в тождества вида 3 = 3. Аналогично в случае N = 4

1  X1  X21

1  x2  x2

1  X3  X23

у 1  x4  x4

и 16 уравнений матричного равенства A * A = 4E, при условии что y j = X j X j = 1,

X1 + . . + X4 = 0; y1 + . . . + y4 = 4; yiXx + . . + y4X4 = 0; X1 + . . . + X4 = 0; y12 + . . + у4 = 4;      * yiXi + . . + y4X24 = 0; X1 + . . + X4 = 0, .y3 + . .+ у4 =4, iy2X1+. . + y2X4 = 0 сводятся к трем уравнениям первой из этих систем.

Замечание 1. Множество корней из единицы при N = 3 состоит из трех элементов, образующих циклическую группу. При этом любой из элементов Ах = e ", А2 = e 4П1 можно использовать в качестве образующей циклической группы. Если решать рассматриваемую полиномиальную систему из 8 уравнений при помощи вычислительной техники, то решения записываются в виде, аналогичном (4), но со свободным параметром. Компьютер выдает два таких решения (с учетом перестановок). Следует заметить, что уже для случая N = 5 вычислительная техника испытывает затруднения и не доводит решение до конца.

Следующая теорема показывает, что для симметричных матриц Вандермонда Л вида (2) условие AA * = N • E из теоремы 1 можно заменить условием Л ² = N • Q, где Q — матрица перестановок, состоящая из нулей и единиц:

1    0 ...     00

.

0   0 ..     01

.... . .   ..    ..

. ..

\0 1 . ... 0/

Теорема 2. Симметричная N х N матрица Вандермонда (2) является матрицей дискретного преобразования Фурье и удовлетворяет условию A N = 1 тогда и только тогда, когда Л ² = N • Q, где Q — симметричная матрица перестановок (5) .

⊳ Доказательство этой теоремы приведено в монографии [1], и мы ограничимся замечанием, что для вывода основного уравнения A N = 1 достаточно приравнять к нулю элемент с номером 12 в матрице Л ² , так как при А = 0

• 2 . Канонические многочлены Лорана

Следуя работам [2, 3], рассмотрим теперь связанное с матрицами Вандермонда (1) коммутационное уравнение TA = AT , где T — трехдиагональная матрица общего вида:

/ ai   bi    0   ...     00\

T def    bi    a2    b2   ...      00

...   ...   ...   ......

\ 0   0   ...... 6 n -1 gn)

элементы которой можно выразить через элементы матрицы (1). В дополнение к работе [2] мы покажем, что в условиях теоремы 2, т. е. для симметричных матриц Вандермонда вида (2), диагональные элементы a j матрицы (6) записываются в виде «канонических» многочленов Лорана:

P n ^(X) = П ( ^{X+ Y} j ⁺ x ) .

Отметим, что коэффициенты этих «многочленов» степени 2n определяются только их номером n (см. ниже) и не зависят от размера N рассматриваемой симметричной матрицы (2).

• 2.1.    Необходимые условия коммутирования. Схема вывода формул, выражающих элементы треугольной матрицы через элементы матрицы Вандермонда (1), мало зависит от предположения симметричности A T = A, и мы ограничимся ниже именно этим случаем, предполагая для простоты искомую матрицу (6) также симметричной.

Коммута тор симметрических матриц кососимметричен и его первая строка с элементами 12 , 13 , . . . позволяют выразить разности диагональных элементов a 2 - a 1 , a 3 - a 1 , . . .

через недиагональные. В результате получаем

12 : a i + b i X = b i + a 2 + b 2 , * 13 : a i + b i X ² = b 2 + a з + Ь з

14 : a i + b i X³ = Ь з + a 4 + b 4

a 2 - a i = Xb i - b i - 6 2 , а з — a i = X ² b i — b 2 — Ь з , a4 — a i = X³b i — Ьз — b 4 ,...

Вторая строка коммутатора с элементами 23 , 24 , 25 . . . дает

: b i + a 2 X ² + b 2 X ⁴ = b 2 X + a з X ² + b з X ³ ,

: b i + a 2 X ³ + b 2 X 6 = b з X ² + a 4 X ³ + b 4 X ⁴ , : b i + a 2 X ⁴ + b 2 X 8 = b 4 X ³ + a 5 X ⁴ + b 5 X ⁵

и, подставив сюда найденные из предыдущих уравнений разности диагональных элементов, находим уравнения для выражения bj, j ^ 2, через bi и b2. В частности, ьз(х) = fx + X + 1) b2(X) — fX + X + Т2) bi(X)’

4                                                  \              (10)

b4(X) = ( X2 + X + 2 + V + V2 ) b2(X) — ( X2 + X + 1 + Т + "\2' + Тз ) bi(X).

λ λ ²                           λ λ ²    λ ³

Итак, можно считать доказанной следующую теорему 3.

Теорема 3. Первые две строки уравнений коммутативности (8) и (9) позволяют найти вид коэффициентов трехдиагональной матрицы T в форме многочленов Лорана от независимой переменной А и выразить их через b i (A) , 6 2 (A) .

Сравнив полученные выражения с уравнением, полученным из элемента 34 коммутатора b2A3 + азА6 + ЬзА9 = A% + A6a4 + A9b4,

приходим к выводу (ср. [2]), что условие b i = 0 является необходимым условием для выполнения коммутационных соотношений TA = AT в симметричном случае (2).

• 2.2.    Формулы Виета. Рассматривая условия разрешимости коммутационных соотношений в кольце многочленов Лорана c j λ ^j от формальной переменной λ, будем использовать следующие обозначения:

^ cj Aj = [^ cj Aj ]- + [^ cj Aj ]+;     [^ cj Aj ]+d=f jE cj Aj, где квадратные скобки [...]+ и [•••]- обозначают сумму соответственно членов с отрицательными и положительными степенями λ.

Лемма 2. Пусть b i = 0, b 2 = 1. Тогда все многочлены Лорана b m (A) и a m (A), найденные из уравнений (8) и (9) , инвариантны относительно замены λ ↔ λ ^-1 , и для многочлена a N +2 (A) при любом N > 0 имеем

— [a N +2 ] + = A N + 2A N ¹ + 3A N ² + • • • + NA + N, ^{[ A} a N +2^]— = ^[a N +i ^] - , N > 0. **

• <1 Уравнения первой строчки при b i = 0, b 2 = 1 и a i = 1 дают

a 2 = 0, a 3 ⁺ b 3 = 0, a m = ^{1 —} b m ^— b m -i , m > 3.               ⁽¹³⁾

Учитывая формулы (8), (9), получаем теперь (ср. [2]), что при m > 0

b m +i = Ab m ^{+ 1 + A +} • • • ^{+ A} m 1 , b i = ⁰, ^b 2 = ¹

Найденные по этим формулам многочлены Лорана b _m (A) инвариантны относительно замены λ ↔ λ ^-1 и для доказательства уравнений (12) остается применить индукцию к b m ⁺ b m -i ^{— 1} >

Следствием полученных выше формул является

Лемма 3. При m E 3 комплексные корни A m = 1 из единицы являются комплексными нулями многочленов Лорана a _m (A) , m E 3 , из леммы 3 .

• < Заменив при помощи уравнения A m = 1, m = N + 2, отрицательные степени A в формуле (12) на положительные

P N (A) = A N + 2A N ^-i + 3A N ^-2 + ••• + NA + N + N + ••• + A N , \N +2 _ i       _ \2      ¹    _ x3 i _ xN +i

A 1 ^ an   a ’ an-i   A ’•••’ a A ’ после приведения подобных членов получаем

P N (A) = N ( A N ⁺ⁱ + A N + ••• + 1 ) = 0, mod A N ⁺² = 1. ▻            (14)

Очевидно, общее число 2n комплексных корней многочленов Лорана P n (A) из формулы (7) превосходит при n >  2 число n + 2 соответствующих комплексных корней из единицы. Дополнительные корни уравнения P n (A) = 0 можно найти, используя обобщенные формулы Виета , приспособленные к произведениям вида (7):

(А + ^Y 1 + 1)(

А + ^Y 2 + 1)

= А ² + Д 2 + (Y 1 + Y 2 ) (а + 1)

+ Y 1 Y 2 + 2,

P n ^{( A )} = П (^{А + Y} j ⁺ а) = ^A n ⁺ А П ⁺ "  (^A n 1 ⁺ А " — ¹) ⁺ °" ² (^A n ^{2 +} А п - 2) ⁺ "‘⁺ "

Здесь коэффициенты " j выражаются через элементарные симметрические многочлены ° i , i ^ j,

"1 = °1 = У? Yi; "2 = °2 + n = n + У2YiYj, n> 2, i

"j (n + 1) = "j (n) + Yn+1°j-1(n) + "j-2(n), "0 = 1.

Пример 3. При n = 3 комплексные корни уравнения А⁵= 1 дают 4 из 6 корней рассматриваемого уравнения:

^Р3^(А) = ^А3 ⁺ Дз ^{+ 2}^^А2 ⁺ д2 ^ ^{+ 3}(^{А +} А) ^{+ 3} = П (^{А + Y}j⁺ А) = ⁰

Формулы Виета приводят в этом случае к следующей системе уравнений для γj :

Y1 + Y2 + Y3 = 2,  Y1Y2 + Y1Y3 + Y3Y2 = 0,  Y1Y2Y3 = —1-

Можно проверить независимо, что рассматриваемый многочлен Рз(А) является приводимым и факторизуется следующим образом:

^Р3^(А)= (^{А + 1 +} 1) (^А2 + А2 + ^А + 1 ^{+ 1}) .