Тригонометрический профиль скорости сдвигового течения вязкой жидкости

Плоское двуме^ное стациона^ное течение сплошной с^еды оп^еделяется у^авнениями [1]:

д v,     д p дт,         д v, _А _

p v_k —^L =--- 1-- — + p F i , —- = 0 ; i , k = 1,2 ; p = const.

^д x k    ^д x i   ^д x k         ^д x k

Реологическое у^aвнение состояния вязкоуп^угой жидкости Максвелла [2] возьмем в следующей фо^ме записи:

. "   дти . ,

^T ij ⁺ Y v— "Х—" ⁺ m^{( T} ik ® kj

д v-   д v,           д v-

®ikTkj) = Pj , 2eij =    + Vj , 2^j = дx j   д Xi           дx j

^д v . д x i

Здесь x1 = x, x2 = у - декартовы прямоугольные координаты; v (v1,v2) - вектор скорости; p - плотность; p - давление; F (F1, F2) - вектор массовой силы; Tj - компоненты девиатора тензора напряжений; ej компоненты тензора скоростей деформации; р - коэффициент динамической вязкости; у - время релаксации вязких напряжений. Дважды повторяющийся индекс к означает суммирование. Дифференциальный оператор в (2) при m = 1 есть конвективная производная Яу-манна, при m = 0 - обычная субстанциональная производная. При у = 0 формула (2) описывает свойства вязкой ньютоновской жидкости. Релаксационная модель Максвелла (2) имеет своим «метагид^одинамическим» аналогом у^авнение Хинце–Лойцянского в ^елаксационной тео^ии ту^булентных сдвиговых течений [3, 4].

Внешняя сила трения Рэлея F = FR, FiR = ~Zvi, где Z > 0- коэффициент сопротивления, позволяет модели^овать пе^иодические течения в тонких слоях жидкости, изучать к^упномасштаб-ные океанические процессы [5-8]. Еще одной областью применения модели FR = - Z v являются задачи класте^ооб^азования в ^асплавах в условиях мик^ог^авитации [9]; п^и таком подходе гид^одинамическое описaние ^асплава в ок^естности ф^онта к^исталлизации учитывает п^исут-ствие частиц тве^дой фазы, оказывающих соп^отивление потоку. В ^аботах [6–9] п^именялся линейный вариант силы трения: Z = const. В рамках приближения Z ~ ।vI в [5, гл. 4] построены многоя^усные гид^одинамические системы, описывающие п^оцесс п^еоб^азования эне^гии в развитом турбулентном потоке. Далее полагаем Z = Z (v2) и рассматриваем течения, для которых коэффициент соп^отивления – монотонно воз^астающая функция модуля ско^ости, дZ / д (v2) > 0. Будем изучать движение вида vi = и = и(у), v2 = 0, p = p(y), (3) п^именяя следующий математический ^езультат. Автономная динамическая система с одной степенью свободы d2T/d^2 = Q(t), Q(t) = 2t(к2 + т2) (4)

имеет точное ^ешение [10]:

τ = k [sin(2 k ξ )] /[1 + cos(2 k ξ )],                                  (5)

где k – п^оизвольная постоянная; функция τ ( ξ ) – ог^аниченная на конечном инте^вале

ξ∈ [0,ξ2] ⊂ [0,π/(2k)) . Покажем, что это ^ешение допускает инте^есную гид^одинамическую инте^п^етацию.

Цель ^аботы: дать аналитическое описание стациона^ных вих^евых п^оцессов в сдвиговом потоке вязкой жидкости п^и воздействии нелинейной внешней силы т^ения.

Жидкость Максвелла. В классе ^ешений (3) ^ассмот^им изоте^мическое течение жидкости с ^елакси^ующими вязкими нап^яжениями ( γ > 0, m = 1) . Из у^авнений (1), (2) находим:

τ ₁₁ = γ m τ ₁₂ du / dy , τ ₁₁ + τ ₂₂ = 0 , p - p ₀ = τ ₂₂ ,                        (6)

τ ₁₂ = µ ( du / dy )/[1 + ( γ mdu / dy )²] , τ ₁₂ = τ ₂₁ ,                          (7)

du /dy = 2ω12 = -2ω, dτ12 / dy = ρζu , где p0 ≡ const – ^авновесное (отсчетное) значение давления. Вих^ь ско^ости ω = (1/2) rot v имеет одну ненулевую составляющую ωz ≡ω= -(du/dy)/2 , нап^авленную пе^пендикуля^но плоскости (x, y). Здесь и в дальнейшей записи сох^аняем m = 1 . Это дает возможность подче^кнуть ^оль п^оизводной ∃уманна, для кото^ой ^еологическое у^авнение состояния удовлетво^яет п^инципу объективности поведения мате^иала [2]; в случае m = 0 этот п^инцип не выполняется. Воспользуемся ^ешением (4), (5) и возьмем τ = u , ξ= y/(y1u1) , k = u1 , d2u/dy2 = Q/(y1u1)2 , Q = 2u(u12 +u2) = (y1u1)2ζu/ν . Отсюда вычисляем ско^ость движения жидкости и коэффициент соп^отивления:

u     sin(2 y )

u ^≡ u ₁ ⁼ 1 + cos(2 y ) ^,

y y =    , y∈ [0, y2] ;

y ₁

ζ ≡ ζ y 1 ²/ ν = 2(1 + u ²)

[1 - γ ² m ² ( d u / d y ) ² ] [1 + γ ² m ²( d u / d y )²]²

γ = γ u ₁ / y ₁ ; ω = ω y ₁ / u ₁ , d u / d y = - 2 ω , ν = µ / ρ .

Здесь y ₁, u ₁ – положительные константы, имеющие ^азме^ности длины и ско^ости соответственно; линейный масштаб ^елаксации ^авен L ₁ = γ u ₁ ; без^азме^ные величины отмечены че^той све^ху. ∃сно, что d u / d y = 1 + u ² , поэтому коэффициент внешнего соп^отивления (9) есть четная функция ско^ости. Фо^ма записи

ζ = 4 ω (4 Γ- 1)/(4 Γ+ 1)² , Γ = ( γ m ω )²

демонст^и^ует то обстоятельство, что сила внешнего т^ения п^оявляет себя на фоне ^елакси-^ующей завих^енности; пе^еменный па^амет^ Γ ( y ) ха^акте^изует не^авновесные свойства вих-^евого поля. Решение (8) п^едставляет течение Куэтта:

y=0, u =0 ; y= y2, u = u(y2) , где y2 – ^асстояние между па^аллельными плоскими неп^оницаемыми стенками; одна стенка неподвижна, а д^угая пе^емещается в своей плоскости с конечной ско^остью u2 = u(y2) > 0 .

Условия ζ > 0 , dζ/d(u2) > 0 п^иводят к не^авенству (γmdu / dy)2 ≤ 1/3, кото^ое дает такие ог^аничения:

0 <  γ m ≤ 1/(2 3), 1 + cos(2 y ₂ / y ₁) ≥ 2 γ m 3.

Не^авенство (11) исключает из ст^укту^ы ^ешения коо^динату 2 y = π . Далее оценки (10), (11)

будут уточнены для отдельных инте^валов значений u2 . Давление жидкости вычисляется по фо^муле:

p ₀ - p         νγ m ( d u / d y )²

ν = µ /( ρ u ₁ y ₁) .

₂ ≡ p ₁ =      _{2 2         2}

ρ u ₁        1 + γ m ( d u / d y )

Шабловский О.Н. Тригонометрический профиль скорости сдвигового течения вязкой жидкости

Перепад давления p ₀ - p положителен во всей области решения; константу p ₀ выбираем так, чтобы обеспечить условие p ( у ) >  0. Зависимость давления от времени релаксации монотонно убывающая: д p / ду <  0 . Функциональная связь завихренности и давления имеет вид:

4to2 = p1 /[ym(V - /mp^], где выполнено условие 0 < p1 < [V/(ym)]. В релаксирующем потоке (у > 0) завихренность обусловлена отклонением давления от равновесного значения: если p = p0 , то to = 0. По мере удаления от неподвижной стенки модуль завихренности растет d (to2)/ dy > 0, а давление падает: p(У = 0) > p(у = у2); следовательно, д(to2)/дp < 0.

Проанализируем физическое содержание данного решения. На неподвижной и подвижной границах безразмерный градиент скорости равен:

у = 0, du / dy = 1; у = у ₂ , du / dy = U >  1, U = 1 + ( и 2 / и 2 ).

Значит, параметр U характеризует градиент скорости, обусловленный величиной и ₂ скорости подвижной стенки. Другими словами, величина U ² = to ²( у = у ₂)/ to ²( у = 0) определяет степень неоднородности завихренности потока. Некоторые градиентные свойства завихренности двумерного течения вязкой релаксирующей жидкости изучены в [11]. Примем обозначения: Z 1 = Z ( у = 0), Z ₂ = Z ( у = у ₂), 5 = Y ^{2 т} 2 U 2 , U * = 1/ U , где cos(2 у ₂/ у 1 ) = 2 U * - 1. Расчеты показывают: условие Z ₂ >  Z 1 будет выполнено, если при 0 <  5^г<  1 выполнено неравенство (1 - 5 ²) /(1 + 5 ²)² >  U * . Отсюда следует оценка параметра 5 ² :

0 <  5 ² <  [ - 1 - 2 U * + (1 + 8 U * )^1/2]/(2 U * ) <  1. (12) Учитывая (10) получаем, что должно быть 5^ * ² <  1/12 ; тогда, применяя (12), находим два интервала, которым может принадлежать U * . Область «больших» градиентов скорости:

0 < U * <  a * , a * = (3 - V6)/6, (13) в этом случае U >  10. Область «малых» градиентов скорости:

a ** < U * <  1, a ** = (3 + V6)/6, (14) в этом случае U находится в правой конечной окрестности единицы, причем и 1 есть верхняя граница значений скорости течения; и ( у ) <  и 1 , 0 < и 2 <  и ², cos(2 у ) >  0, у е [0, у ₂], (2 a ** - 1) <  cos(2 у ₂/ у 1 ) <  1. Для «малых» градиентов на обеих стенках (неподвижной и подвижной) поведение завихренности определяется неравенством d ( to ²)/ д U >  0, у = 0, у = у ₂.

В области «больших» градиентов (13) верхняя граница скоростей равна и2: и2 > и1, у е [0, у 2], 2 у 2/у1 = п - 51, 0 < 51 < п/2, U = 2/(1 - cos 51). Из (11) следует (2/3)1/2 < cos51 < (1 - 2ymV3). Значит, исходная оценка (10) принимает вид у2m2 <[1 -(2/3)1/2]2/12.

Расчеты показали, что в интервале (13) на неподвижной стенке d ( to ²)/ д U <  0, у = 0. В этом заключается существенное различие в поведении при у = 0 функции to ²( U ) в областях с «малыми» и «большими» градиентами. На подвижной стенке для обеих областей д ( to ²)/ д U >  0. В области «больших» градиентов производная д ( to ²)/ д U является знакопеременной: при у = 0 она отрицательная, при у = у ₂ - положительная.

Схема расчета констант, входящих в данное решение, состоит в следующем. Задаем скорость и2 и время релаксации у; параметр U* берем из интервала (13) либо (14); подсчитываем константу и1 = и2/(U -1)1/2; выбираем 52 из интервала (12) и вычисляем у2m2 = 52 /U2; находим у1 = уи1/ у, 2 у2/ у1 = arccos(2U* -1). Профили скорости и давления монотонные, перегибов не имеют: du/dy >0, d2и/dy2 >0, dp/dy <0, d2p/dy2 <0; выпуклость функции т12(у) обращена вверх, d2(т12)/dy2 <0. Поведение разности первых нормальных напряжений Т11 -Т22 коррелирует со свойствами давления, подчиняясь фо^муле Т11 Т22 = 2( p 0 p ).

Построенное решение можно применить на более широком отрезке у е [0, у 3 ], у 3 >  у 2 , полагая, что Z ( и 2 ) является немонотонной функцией. Нетрудно видеть, что Z = 0 при du / dy = U( y m ). Именно при этом значении градиента скорости касательное напряжение Т ₁₂ имеет максимум. Этот максимум достигается при у = у 3 :

cos(2 у 3 /у 1 ) = (1 - и ₃²)/(1 + й ²), и 3 = и 3 /и 1 , 1 + и ₃ ² = 1/( / m ) = U / 5 >  U , и 3 = и ( у = у 3 ).

Верхняя граница скоростей равна и 3 ; в области «больших» градиентов и 3 >  и ₂ ; в области «малых» градиентов и 3 >  и 1 . Функция Z ( и 2 ) немонотонная при и е [0, и 3 ]; в левой окрестности значения и = и 3 коэффициент сопротивления резко уменьшается до нуля.

Следуя аналогии между вязкоуп^угими и ту^булентными сдвиговыми течениями [3, 4], введем в рассмотрение принятую в теории турбулентности динамическую скорость иТ = (т12/р)1/2 . Решение (7) дает иТ =    yd-и / dy    < 1

w ² 1 + ( y mdu / dy )²

где w ² = v / у - квадрат скорости распространения волны сдвига. Таким образом, динамическая ско^ость «дозвуковая» во всей области ^ешения. П^и экспе^иментальном изучении ту^булент-ных течений жидкости в плоском канале п^именяют так называемые индикато^ные функции [12]:

ф 1 = ydй / dy , ф ₂ = ( у / и )( dn / dy ).

Физический смысл индикаторов в том, что если ф1 = const, то профиль скорости логарифмический; если ф2 = const, то профиль скорости степенной. Для тригонометрического профиля (8) индикато^ная функция есть ф3 = (dй / dy )/(1 + и 2) = 1.

Результаты вычислений гово^ят о том, что в данном классе ^ешений отсутствуют конечные отрезки значений координаты у , на которых ф 1 либо ф ₂ постоянны. Это значит, что профиль ско-^ости (8), фо^ми^ующийся под воздействием нелинейной внешней силы т^ения, существенным об^азом отличается во всех своих точках и от лога^ифмического и от степенного законов.

Ньютоновская жидкость. В ньютоновском изобарическом варианте ( у = 0, p = p 0 = const) свойства движения (8) не являются формальным следствием результатов, полученных при у >  0. Дело в том, что при у = 0 изменяется структура формулы (9): теперь Z = 2(1 + и ²), и автоматически выполнены требования Z >  0, d Z / d ( и ²) >  0. Расчет констант, входящих в формулы решения, выполняем по следующей схеме.

Коэффициент сопротивления конечен и изменяется в интервале Z е [ Z 1 , Z ₂], где Z 1 = Z ( и = 0) >  0, Z ₂ = Z ( и = и ₂) = U Z 1 . Из физических соображений полагаем, что Z i и Z ₂ различаются не слишком сильно: Z ₂ - Z 1 = ( U - 1) Z 1 , 1 <  U - 2. Это означает, что данное решение описывает течение, для кото^ого знаменатель д^оби в (8) не только положителен, но и не меньше единицы. Коэффициенты Z 1 , Z ₂ могут зависеть от кинематической вязкости v и от других па-^амет^ов, оп^еделяющих силу т^ения. Коэффициент соп^отивления имеет вид

Г         >„21

Z = Z1 1 + \ -11 ^ .

_ ^ 91    ) и 2 _

Следовательно, в нашем распоряжении четыре исходные константы v , Z 1 , Z ₂, и ₂, которые позволяют вычислить остальные па^амет^ы ^ешения:

Шабловский О.Н.

y ₁ ² = 2 ν / ζ ₁, u ₁ ² = u ₂²/( U - 1), 0 < 2 y ₂/ y ₁ = arccos[(2 - U )/ U ] ≤ π /2.

В ^ешении (8) па^амет^ы u ₁ , y ₁ , y ₂ несут (пос^едством ζ ₁ , ζ ₂ ) инфо^мацию о внешнем соп^о-тивлении и вязкостных свойствах системы «жидкость – г^аничные стенки».

В статье [13] показано, что для двуме^ных течений несжимаемой ньютоновской жидкости выполнено ^авенство vA v = 2 vd х ю ,                                  (15)

где A - оператор Лапласа, vd - диффузионная скорость движения вихря, vd = v(rot ю х ю)/ ю2. Для течения (8) свойство (15) выполнено, а диффузионная ско^ость па^аллельна оси y и ее ал-геб^аическая величина ^авна vd = -2νu/(y1u1) = -u[2ν∂ζ/∂(u2)]1/2 ≤ 0 .                         (16)

Значит, векто^ v d нап^авлен от подвижной стенки к неподвижной. Очевидно, что для течения чистого сдвига ( u ~ y , p ≡ const , ω _z ≡ const , ζ ≡ 0) имеем v_d = - ( ν / ω _z )( d ω _z / dy ) ≡ 0 . Таким об-^азом, диффузионная ско^ость (16) гене^и^уется внешним соп^отивлением течению.

Заключение. Отличительная черта рассмотренных процессов - наличие нелинейной внешней силы т^ения. Дано аналитическое описание течения Куэтта с т^игономет^ическим п^офилем ско^ости (8). Обсуждены ^еологические модели Максвелла и Ньютона. Для жидкости с ^елакси-^ующими вязкими нап^яжениями коэффициент соп^отивления п^оявляет себя на фоне не^авно-весной завих^енности, для кото^ой линейный масштаб ^елаксации ^авен L ₁ = γ u ₁ . Взаимное влияние неодно^одности и не^авновесности вих^евого поля – п^ичина нет^ивиального поведения п^оизводной ∂ ( ω ²)/ ∂ U на подвижной и неподвижной стенках, см. (13), (14). П^едставлен-ный п^име^ движения ньютоновской жидкости п^инципиально отличается от обычного течения чистого сдвига существованием ненулевой ско^ости диффузии вих^я, нап^авленной от подвижной стенки к неподвижной.