Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости
Автор: Неклюдов Алексей Владимирович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.21, 2019 года.
Бесплатный доступ
В двумерной области Q, внешней по отношению к кругу, рассматривается равномерно эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме с измеримыми коэффициентами, содержащее младший неотрицательный коэффициент q(x)=q(x1,x2) типа потенциала в стационарном уравнении Шрёдингера. Изучаются обобщенные решения, принадлежащие пространству С. Л. Соболева W12 в любой ограниченной подобласти. Рассматривается вопрос о возможном росте решений на бесконечности. Доказано, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента q(x) на бесконечности существует положительное решение, растущее как логарифм модуля радиус-вектора точки, т. е. так же, как фундаментальное решение соответствующего эллиптического оператора без младшего члена. Построенное решение обладает равномерно ограниченным "потоком тепла" через окружности произвольного радиуса R, концентрические с границей области Q. Далее устанавливается, что для любого решения, удовлетворяющего некоторой степенной оценке роста на бесконечности, выполнена оценка интеграла Дирихле типа принципа Сен-Венана в теории упругости...
Эллиптическое уравнение, неограниченная область, младший коэффициент, асимптотическое поведение решений, трихотомия решений
Короткий адрес: https://sciup.org/143168788
IDR: 143168788 | УДК: 517.956 | DOI: 10.23671/VNC.2019.1.27733
Trichotomy of solutions of second-order elliptic equations with a decreasing potential in the plane
We consider a uniformly elliptic second-order divergent equation with measurable coefficients in two-dimensional domain Q external to the circle. An equation contains the lower nonnegative coefficient q(x)=q(x1,x2) of potential type in the stationary Schrodinger equation. Weak solutions in the Sobolev space W12 in any bounded subdomain are studied. The possible rate of solutions at infinity is considered. It is established that if the lower coefficient decreases with a sufficient rate then the positive solution exists and has the same rate at infinity as the fundamental solution of respective elliptic equation without lower term. The rate is logarithmic. This solution has uniformly bounded "heat flow'' on circles of radius R. It is established Sen-Venan type inequality for Dirichlet integral of solution of power rate. Sen-Venan inequality leads to the evaluation of Dirichlet integral in a ring domain via average value of solution on the circle. It means that the solution has the same rate on the circle as its average value. Maximum principle implies that any tending to infinity solution has the logarithmic rate. The main result of paper is the trichotomy of solutions: The solution is either bounded, or tends to infinity with a logarithmic rate, preserving the sign, or oscillates and has a~power-law rate of the maximum of the modulus. The basic condition for the decrease of the lower coefficient is formulated in integral form ∫Qq(x)ln|x|dx
Список литературы Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости
- Ландис Е. М., Панасенко Г. П. Об одном варианте теоремы типа Фрагмена -Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной//Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1979. Т. 5. С. 105-136.
- Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей//Мат. сб. 1980. № 4. С. 588-610.
- Ландис Е. М., Ибрагимов А. И. Задачи Неймана в неограниченных областях//Докл. РАН. 1995. Т. 343, № 4. С. 17-18.
- Кондратьев В. А., Олейник О. А. Об асимптотике в окрестности бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле эллиптических уравнений второго порядка//Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1987. Т. 2. C. 149-163.
- Неклюдов А. В. О решениях эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях//Уфимск. мат. журн. 2016. Т. 8, вып. 4. С. 135-146.
- Неклюдов А. В. О задаче Робена для эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях//Мат. заметки. 2018. Т. 103, вып. 3. С. 417-436.
- Неклюдов А. В. Асимптотика решений двумерного уравнения Гаусса Бибербаха Радемахера с переменными коэффициентами во внешней области//Сиб. электрон. мат. изв. 2018. Т. 15. С. 338-354.
- Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular Points for Elliptic Equations with Discontinuous Coefficients//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. Ser. 3. 1963. Vol. 17, № 3. P. 43-77.
- Гилбарг Д., Трудигер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.
