Трёхмерная контактная задача для трансверсально изотропного тела

Введение. Механические свойства трансверсально-изотропных материалов вызывают интерес у исследователей, поскольку касаются ряда важных материалов, имеющих гексагональную кристаллическую решётку [1]. Развиваемый метод позволяет эффективно оценивать твёрдость и контактную прочность материалов, приповерхностные свойства которых могут существенно зависеть от направления. Ядро интегрального уравнения контактной задачи ранее было получено в виде двойного интегрального преобразования Фурье [2]. Затем при помощи теории обобщённых функций удалось представить это ядро в виде свободном от квадратур [3]. Такой вид ядра, ввиду простоты его регуляризации в особых точках, сделал возможным применить для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммер-штейна, развитый Галановым [4, 5]. Твёрдость по Бринеллю для эллиптического штампа может быть оценена на основе точного решения для эллиптического параболоида [2]. В представленной работе сделаны расчёты для разных материалов при внедрении конического штампа и штампа в форме четырёхугольной пирамиды (твёрдость по Виккерсу). Определены области контакта, давления и значения вдавливающей силы при заданной осадке штампа.

Постановка задачи. В декартовых координатах рассмотрим трансверсально-изотропное упругое полупространство x > 0, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии z = const. Закон Гука, включающий пять упругих параметров, и уравнения равновесия приведены в [2, 3]. Пусть при x = 0 в полупространство внедряется абсолютно жёсткий штамп, основание которого в области контакта описывается функцией f(y , z ). Штамп вдавливается без перекоса центрально приложенной силой P , испытывая осадку δ. При заданных упругих параметрах, значении δ и функции f ( y , z ) требуется определить область контакта Q, контактное давление q(y , z ) и силу P. На основании решения задачи Буссинеска [1] ИУ контактной задачи можно записать в форме

JJ q ( У о , ^z о ) K ( y ^- У о , ^{z - z} о ) dy о ^dz о = б ^{- f} ( y , ^z ) , ( y , ^z )^{G Q},                  ⁽¹⁾

Ω где ядро представляется двойным интегралом Фурье (3.4) [2] или (1.4) [3].

При помощи теории обобщённых функций ядро удаётся представить в форме свободной квадратуры [3]:

K ( У , z ) = ⁽ m Pm ² ) ^Y3 ■ y ^' Z n = V Y 2 y ² + z ² ( n = 1,2,3 ) ,

D = mihtZi - m2hi2Z2 - 4 (mi - m2) z2 ZiZ2 Z 3, ml = A11Y1 "дA44 , hl =(ml + 1)Y3У2 + 2z2  (1 = i,2), Ya

A 13 + A44

Здесь A 11 , A 13 , A 33 , A 44 , A 66 ― упругие параметры, γ 1 , γ 2 удовлетворяют уравнению

Y4 A и A.. - Y2 [A u A3 3 - A u( A 1a + 2 A..)] + A A.. = 0.(3)

В табл. 1 (колонки 3—7) приведены параметры анизотропии (2), (3) для ряда материалов, параметры упругости которых A ij табулированы в [1].

Таблица 1

Параметры анизотропии (безразмерные)

№	Материал	γ 12	γ 22	γ 23	m 1	m 2	u xy	u xz
1	Al 2 O 3	2,786	0,3974	0,8890	4,543	0,2201	0,7283	0,7248
2	Co	3,269	0,3568	1,061	5,206	0,1921	0,5701	0,6504
3	Mg	2,050	0,5041	0,9791	2,782	0,3595	0,6778	0,6950
4	SiC	2,859	0,3808	0,7786	5,994	0,1668	0,8911	0,8304
5	Ti	1,759	0,6324	1,327	2,066	0,4840	0,5204	0,6384
6	CdS	3,186	0,3432	0,9198	4,219	0,2370	0,5849	0,6167
7	Углеволокно	7,492	1,568	4,790	4,132	0,2420	0,2941	0,6671
8	Графит	105,1	0,0003322	0,0007955	7256	0,0001378	22,95	0,8548
9	Сапфир	2,336	0,4293	0,8848	3,921	0,2550	0,7695	0,7523
10	Древесина (ель Дугласа)	13,79	0,1227	0,7101	76,22	0,01312	0,5306	0,6021
11	Керамика PZT-4	1,198	0,6907	0,8393	1,415	0,7069	0,7066	0,6406
12	Композит (60 % волокон)	22,32	0,4745	1,821	25,91	0,03859	0,4099	0,6602
13	Бедренная кость человека	4,157	0,2787	0,9429	4,443	0,2251	0,4779	0,5412

Поверхность полупространства, в зависимости от материала из которого оно состоит, может быть более жёсткой как в направлении оси y , так и в направлении оси z . При действии на границе полупространства в начале координат нормальной сосредоточенной силы P x для нормальных перемещений на осях y и z можно получить формулы [3]

U x ( 0, У ,0 ) =

P x 2π A 66

u xy

^{, y}

u xy

____________ ( m i ^- m 2 ) Y 1 Y 2 _____________ , Y 3 [ m i ( ^m 2 + ⁱ ) 2 Y i ^{- m} 2 ( m i ^{+ i} ) 2 Y 2 ]

^ux ( ^0,0, z ) =

P x 2π A 66

u xz

• -------------- z

u xz

( m i ^{- m} 2 ) y 3 ___________ .

² [ ( m i - ^m 2 ) y 3 - ^m i Y 2 + m 2 Y 2 ]"

Значения безразмерных величин uxy, uxz приведены в двух последних колонках табл. 1 и характе- ризуют нормальные перемещения точек поверхности, лежащих на координатных осях и равноудалённых от начала координат, где действует сосредоточенная сила. Видно, что для материалов 1, 4, 8, 9 и 11 поверхность полупространства жёстче в направлении оси z (соответствующее перемещение меньше). Для остальных материалов поверхность жёстче в направлении оси y.

Направления экстремальной жёсткости границы полупространства после перехода к полярным координатам ρ, α можно определить из формул [3]

,                  _x Pu (a) _x (m - m )Y 2 cos² a Z la)Z; la)

u, (0, pcos a, p sina). -x-А-), u (a) - ^J----2)            (

2npA66

D (a) - mih2 (a) Zi (a) - m2 hi (a) <2 (a) - 4 (mi - m2) sin2 a

В табл. 2 для материалов из табл. 1 даны значения углов a_min, a max , при которых функция и(а) (4) достигает на отрезке [0; π/2] соответственно наименьшего и наибольшего значения. Эти углы характеризуют направления наибольшей и наименьшей жёсткости поверхности полупространства.

Таблица 2

Направления экстремальной жёсткости

Материал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
a . min	π/2	0	0	π/2	0	0	0	π/2	π/2	0	π/2	0	0
αmax	0,699	π/2	1,20	0	π/2	1,08	π/2	0	0,503	0,833	0	π/2	1,21

Как видно, экстремальные направления безразмерного перемещения (4) часто (но не всегда) совпадают с направлениями осей координат y , z .

Решение задачи. Для решения ИУ (1) при условии q(y , z ) = 0, ( r , z ) e Q, используем метод нелинейных граничных ИУ [4, 5], позволяющий одновременно определить область контакта, контактное давление, нормальное перемещение материала вне области контакта. Предположим, что область контакта целиком содержится в прямоугольнике S = {| y <  b₀, |z | <  a ₀ } . Прямоугольник

S покроем равномерной сеткой из m узлов с шагами h 1 по оси y и h 2 по оси z . При расчёте значений ядра в этих узлах его особенности сглаживались по формулам

Y ( У ^- У 0 ) ² + П ( z ^- z 0 ) ² ^ Y ( У ^- У 0 ) ² + П ( z ^- z 0 ) ² + ( Y + п ) 5 . , 5 , = hh-.             (5)

Регуляризация (5) обеспечивает сходимость метода и отладку программы, давая хорошее совпадение с точным решением для эллиптического параболоида [2], когда

f ⁽ У , z )

y ²    z ²

-— +--.

2 R ₁ 2 R ₂

Для случая (6) решение ИУ (1) с ядром в форме двойного интеграла Фурье получено в виде [2]

q ( У , z ) = q 0J 1 - y r —2 , P = ff q ( У , z ) dyd = ^abq 0 ,                   (7)

ba _Ω       3

⁵ = aq 0

( m l — m 2 ) y 2

8 A 66

²ⁿ Z 1 ( 6 ) Z₂ ( 6 ) cos ² 6 d 0 ^f        D ( 6 ) r ( 6 )       ,

^b a = 5

2R1 2R2    , где использованы обозначения (4) и

R = c

R ₂ d ^,

r ( 6 ) =

a A ²

— I cos ² 6 + sin ² 6,

_ ²ⁿ Z 1 ( 6 ) z ₂ ( 6 ) cos ⁴ 6 d 6 c = ^f       D ( 6 ) r ³ ( 6 )       ,

^2пС ( 6 ) z ₂ ( 6 ) cos ² 6sin ² 6 d 6 ^d = ^f------- D feJ T ^fej-------

.

При заданных величинах δ, R 1 , R 2 отношение полуосей эллипса контакта a / b определяется из второго соотношения (9). Затем величина a находится из первой формулы (9), величина q 0 ― из (8). Вдавливающая сила рассчитывается по второй формуле (7).

При расчётах брали a₀ = b 0 (прямоугольник S — квадрат), случаи материалов соответствуют табл. 1. Число узлов бралось от 81 до 289.

Использовались безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем)

У' = У,  Z' = z,  б' = -,  R = R^,  R= R2, ab a =—, b =—, a0        a0

a ₀ a ₀ a ₀       ¹    a ₀       ² a ₀

1 ь             a q ( у , ^z )

k = -, q ( У , z ) = ^;—- aA

q ₀

q ⁰ A»’

P =

P

A 66 a 0² .

Отметим, что при вдавливании эллиптического параболоида может возникать круговая область контакта ( k = 1). При вдавливании кругового параболоида ( R 1 = R 2 ), как правило, возникает эллиптическая область контакта. При этом оказывается, что для материалов 1, 4, 8, 9 и 11, когда поверхность полупространства жёстче в направлении оси z , область контакта вытянута вдоль оси z . Для материалов 2, 3, 5—7, 10, 12 и 13, когда поверхность тела жёстче в направлении оси y , зона контакта вытянута вдоль оси y .

Аналогичный вывод можно сделать для штампа в форме кругового конуса, когда f (y, z ) = V y 2 + Z2, и для штампа в форме правильной четырёхугольной пирамиды, когда f (y, z) = max (Iy|, |z|).                                             (10)

На рис. 1 схематично показаны узлы сетки, принадлежащие области контакта, при вдавливании пирамиды (10). При этом брали сетку из 13x13 узлов, 5 = 1. Как видно, по сравнению с изотроп- ным материалом, зона контакта увеличивается в том направлении, в котором поверхность тела более жёсткая. Из материалов, приведённых в табл. 1, наименьшая площадь области контакта наблюдается для графита.

• ■ □                 □ ■

♦ ■■■■■■■ ♦

• • ■■■■■■■ •

• ■    ■■■■■■ ■ ■■■■■■

• ■    ■■■■■■

• • ■■■■■■■ • ♦ ■■■■■■■ ♦

• ■ □                 □ ■

а )

■ □ ■           ■ □ ■

■ ■ □ ■■■ □ ■■

■ ■■ □ ■ □ ■■■

■ ■■■ □ ■■■■

■ ■■ □ ■ □ ■■■

■ ■ □ ■■■ □ ■■

■ □ ■           ■ □ ■

□

б )

Рис. 1. Узлы сетки в области контакта: а — к затемнённым квадратикам для изотропного материала добавляются незатемнённые для материалов 4, 11, ромбики для материалов 2, 5, 10 или ромбики и кружки для материала 12; б — незатемнённые квадратики для графита, все квадратики для углеволокна.

Заключение. Решена новая пространственная контактная задача с неизвестной областью контакта для трансверсально-изотропного тела. В отличие от случая, когда плоскости изотропии параллельны границе полупространства [1], здесь для вытянутого в определённом направлении штампа форма области контакта существенно зависит от ориентации штампа.