Учет непараллельности в течении Блазиуса

Бесплатный доступ

В данной работе непараллельность основного потока в пограничном слое учитывается использованием оптимальных параболических координат предложенных Каплан. Для малых возмущений получено уравнение, подобное уравнению Орра-Зоммерфельда.

Короткий адрес: https://sciup.org/148178180

IDR: 148178180

Текст научной статьи Учет непараллельности в течении Блазиуса

В данной работе непараллельность основного потока в пограничном слое учитывается использованием оптимальных параболических координат предложенных Каплан. Для малых возмущений получено уравнение, подобное уравнению Орра-Зоммерфельда.

The account of the nonparallelity in the Blasius flow

In this work nonparallelity of the main flow in the boundary layer is taken into consideration by using of the Kaplun’s optimal parabolic coordinates. For the small disturbances the equation similar to the Orr-Sommerfeld is obtained.

Рассмотрим плоское течение вязкой несжимаемой жидкости над полубесконечной пластиной. Пусть и и v обозначают компоненты скорости в х и у направлениях соответственно; Ф и / = Ф/и обозначают соответственно размерные и безразмерные функции тока и v - вязкость. Оптимальные параболические координаты, позволяющие учесть непараллельность основного потока, вводятся как в [2]:

x + ry = (cr + ^)2~,       (1)

где i - мнимая единица, U - скорость основного потока на бесконечности.

Уравнение для функции тока преобразуется к виду:

(/„ + Д )r + .^ Р. - fcP4 = Рта + Р^ , (2) где P = (/„+/w)/(cr2+^2), r = U2t/v обозначает безразмерное время, а нижние индексы о,р,оо,рр и т обозначают частные производные.

Рассмотрим функцию тока в виде )^,р,т) = F^opf) + ф^а,р,т>, (3) где F^a^ - функция тока основного потока, устойчивость которого анализируется и ф(а,р,т) представляет возмущенную часть, такую, что ф« Р . Сохраняя только линейные члены для возмущенной части, получаем из (2) и (3) следующие уравнения для F и ф:

F^-PA^^»   (4)

где К = (F^ + F^ )/(cr2 + ?2), и

"РЛ + эф R -ф R -Т +Т ,       ' '

где Т^^эф^ЦуГ эр'\

Граничные условия для (4) и (5) ставятся следующим образом:

F = Р^ = 0 при р = 0;

F - ар, F^a при р -> со(6а)

и ф - ф^ = 0 при ту = 0 и р -> оо.(6Ь)

Разложим F в окрестности 12 ^^ вблизи стенки р = 0:

F =

Используя (7) из (4) для основного потока, получаем

I ^+7 J

, [(о-0-7‘)G'-2?7G]G*

с0 + 7

и из граничных условий (6а):

G-G' = 0 при 7 = 0;

и

G~p, G' -И при р -> оо. (9)

Здесь и далее штрихи обозначают производные по р.

Для Re -> оо уравнение (8) приводится к уравнению, подобному Блазиуса:

G"' тС^СтС^^О. (10)

Возмущенную часть рассмотрим в виде:

ГГ Дармаев. Учет непараллельности в течении Блазиуса фУ, p,fyK (р) ехр[/(а<т - ДУ\, (11) где а обозначает безразмерное волновое число волны, Д - безразмерная волновая частота.

Из (5) и (11), получаем уравнение для возмущений:

(Г-сгКД-1Д + 2^Z±^zi + уравнения (12), сохраняя члены порядка 31

О (1/Re) и o(l/Re)32 получаем:

ю72Кё[(^' - сДК^С' - с) - KG"] -

ДУ -2сДУ + УКу         (14)

= 2G\K” -а2Ку КУ + G(K"-УК’)

Здесь с = — V2Re обозначает волновую а

Дгсфб'О?2 +?Г) + 4]]

(2+72)4 J

'           7    (О'2 +7?)

К<.,"У 2) uxoK\G"y2 + p2y2pG"A =

+ (<т2+??2)2             (<т2+т/2)2

- !V - la2 К" + УКДУ2 + ?2).    (12)

Из (6Ь) соответствующие граничные условия:

К = К* = 0 при р = 0 и р -> оо .   (13)

Обратим внимание, что это уравнение в переменных основного потока и для фиксированного <г = сг0 становится задачей на собственное значение. При <т - о", > '<-■ из частоту.

Заметим полученное уравнение (14) подобно уравнению Орра-Зоммерфельда [3]. В правой части находятся члены, учитывающие непараллельность потока.

Список литературы Учет непараллельности в течении Блазиуса

  • Kaplun S. The role of coordinates system in boundary layer theory//ZAMP, 1954, v.5, p.l 11-135
  • Afzal N., Banthiys N.K. Mixed convection over a semi-infinite vertical plate//ZAMP, 1977, № 28, p.993-1004.
  • Линь Цзяо-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. -М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
Статья научная