Ударная волна в газовом шаре

Автор: Куропатенко Валентин Федорович, Шестаковская Елена Сергеевна, Якимова Марина Николаевна

Журнал: Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование @vestnik-susu-mmp

Рубрика: Математическое моделирование

Статья в выпуске: 1 т.9, 2016 года.

Бесплатный доступ

Математическое моделирование широко применяется для исследований во всех естественных науках, в отраслях промышленности, в экономике, биологии и других областях. Для решения конкретных задач используются уже существующие или создаются новые модели и численные методы. Наиболее надежным способом проверки качества разностной схемы является сравнение численного решения, где это возможно, с точным решением задачи. В качестве такого эталонного решения построено точное решение задачи о сходящейся ударной волне и о динамическом сжатии газа, находящегося в сферическом сосуде с непроницаемой стенкой. В начальный момент времени наружная граница газа скачком начинает двигаться с отрицательной скоростью, и в газ от границы начинает распространяться ударная волна. Ускорение границы и сферичность определяют движение ударной волны и структуру течения газа между фронтом ударной волны и границей. Изложенная постановка задачи принципиально отличается от ранее известных постановок задачи о схождении автомодельной ударной волны к центру симметрии и ее отражении от центра, в которых отсутствует граница газа.

Еще

Ударная волна, аналитическое решение, идеальный газ, сферическая симметрия

Короткий адрес: https://sciup.org/147159356

IDR: 147159356 | DOI: 10.14529/mmp160101

Текст научной статьи Ударная волна в газовом шаре

1. Постановка задачи

Развитие теории размерности и подобия величин механики сплошной среды началось примерно в 1920 - 1930 гг. одновременно в Советском Союзе и за. рубежом. Эта. теория была использована для построения автомодельных решений задачи о фокусировке ударной волны (УВ) в идеальном газе с уравнением состояния

P = f ( s ) P^Y. (1)

Первой опубликованной работой была работа. Гудерлея [1], в которой предполагалось, что амплитуда. У В по мере ее приближения к центру симметрии неограниченно возрастает. Автомодельное решение задачи о сходящейся УВ было опубликовано Л.И. Седовым в 1945 г. [2] и К.П. Станюковичем в 1945 г. [3]. Обзор работ по фокусировке УВ и полостей в идеальном газе изложен в работе К.В. Брушлинского и Я.М. Каждана [4]. Все эти решения являются автомодельными. Они получены в рамках общей теории подобия и размерностей, построенной Л.14. Седовым [5]. В конце прошлого столетия появились работы А.Ф. Сидорова, и его учеников, посвященные построению автомодельных решений с безударным сжатием идеального газа [6]. Новые автомодельные решения для различных режимов безударного сжатия идеального газа и схлопывания сферической полости с образованием ударной волны получены А.Н. Крайко и его учениками [7]. В отличие от решений задачи о сходящейся УВ, в которых отсутствует граница газовой сферы, рассмотрим схождение ударной волны в газовом шаре с наружной границей. В момент t = t0 в газе давление P0 = 0, плотность р 0 = const, скор ость U0 = 0, удельная внутренняя энергия Е0 = 0. Граница газового шара находится в точке r0, t0 . На границе задана начальная скорость Ug0 < 0. Иными словами, на границе задан разрыв скорости. После распада разрыва в газ пойдет УВ. Граница при t > t0 будет двигаться по определенному закону, согласованному с движением У В.

2. Ударная волна

Сферически симметричная сходящаяся к центру ударная волна - это поверхность, движение которой определяется зависимостью r w ( t ). В случае распространения УВ по холодному покоящемуся идеальному газу с перечисленными выше параметрами условия на УВ имеют вид [8]

P w ( D — U w ) = р о D, P w = р о DU w , р о De w = P w U w , (2)

где e - удельная полная энергия, D - скорость У В. Индексом «0» обозначены величины перед УВ, индексом «w» - за УВ. В начальный момент времени t0 УВ выходит из точки r0, t0 со скоростью D0 , которая определяется скоростью границы шара Ug0. В момент фокусировки УВ tf ее координата rw(tf) равна нулю. Перечисленным условиям удовлетворяет уравнение траектории УВ rw = Г 0

-t t f - t 0

при n > 0. Скорость У В получаете -я дифференцированием r_w

D =

^r 0 ⁿ t f - t 0

t f -t ⁿ ¹ _.

t f - t 0

В момент фокусировки УВ при t = t f из-за сферичноети должно быть D = —то. Следовательно, показатель n должен удовлетворять условиям 0 < n < 1. При t = t 0 из (4) следует связь между r 0, 1 0, D 0 и n

о=

^r 0 ⁿ t f - t 0

Поскольку величины r0, 10, D0 заданы при постановке задачи, то из (5) получается зависимость tf от показателя степени n tf

= t о ^—

^r 0 ⁿ

D 0

а с помощью (5) выражение (4) принимает вид

D = D о

-t ^t 0

n - 1

В случае уравнения состояния идеального газа

P = ( y — 1) рЕ,

где E = 6 — 0 , 5 U 2, условия (2) на ударной волне упрощаются

Y + 1 _тт 2

^p w ~ 1 ^р 0 , U w । i D, P w ^р 0 ^DU w • (9)

При переходе от независимых термодинамических переменных р и E к переменным р и s давление принимает вид зависимости от энтропии и плотности (1). Подставив на ударной волне Pw и pw из (9) в (1), получим зависимость f (s) от скорости ударной волны f

Энтропия сохраняется вдоль траектории каждой частицы вещества, прошедшей через фронт ударной волны. Положение частицы меняется со временем, однако ее массовая координата m остается неизменной mw = 3 пр 0 rw • (И)

Поскольку D зависит от rw. то из (2). (7). (10) п (11) следует зависимость f ( m ) в газе за ударной волной, справедливая в любой момент времени, включая и момент фокусировки

Y 2(1 — n )

f ( s ) = Дт (ул) р ¹-) D 0 ( m ) 3 n • ¹¹²¹

3. Движение газа между ударной волной и границей

На фронте УВ газ приобретает скорость Uw < 0, поэтому в течение некоторого промежутка времени каждая частица движется к центру симметрии. Параметры течения газа определяются законом сохранения массы, уравнением движения и уравнением внутренней энергии др + и|р + р^ + 2^ = 0, + UY + т

∂t ∂r ∂r r ∂t ∂r ρ ∂r

% + ^ — + и|р

∂t ∂r ρ ² ∂t ∂r

Для идеального газа (8) преобразуем это уравнение к виду dp + U^P + yP^ + 2U) =0 •

∂t ∂r ∂r r

Три уравнения (13), (14) содержат три характеристики движения газа P, р и U. Граничными условиями являются зависимости Pw (t), Uw (t) на ударной волне и Pg (t), Ug (t) на, границе газового шара. Для решепня (задачи перейдем от переменных r, t к новым переменным е(r,t), t. В результате такого перехода вместо уравнений (13), (14) будем рассматривать уравнения др + др де + и ар + дихде + ^ри = 0

∂t ∂ξ∂t ∂ξ ^ρ ∂ξ ∂r r ^,

‘U + ₊ GU. + 1 ТО =0 , (16)

∂t ∂ξ∂t ∂ξ ρ ∂ξ ∂r dP + ^ + (u^P + yP^) ^ =0. (17)

∂t ∂ξ ∂t ∂ξ ∂ξ ∂r r

Переменная .(r, t), выбирается следующим образом. Преобразуем уравнение траек тории ударной волны (3) так, чтобы комбинация rw и t была бы постоянной rw ()' = '■

В качестве . ( r,t ) возьмем такую функцию, чтобы она была бы постоянной на ударной волне. Проще всего взять ее в виде

. =

r tf - t0 n r0 tf - t .

На ударной волне r = rw и из (18), (19) следует, что .w = 1. Производные d. = rn /tf - tо\п d. = у /tf - tо д' r0 (tf — t) tf — t , dr r0 tf — t вместе co следующей из (19) зависимостью r(., t)

^r = .r ⁰ ( f ^-; )

подставим в (15) -(17)

^d p ₊ n. ^d p ₊ ( „эр ₊ _PdU ) 2. ( t f ^-t o)" ₊ ² pU ( f ^— ‘ о

∂t tf - t ∂ξ ∂ξ ∂ξ r0 tf - t r0ξ tf - t dU + ^LdU + fudU + 1 dP 1 n = o

∂t tf - t ∂ξ ∂ξ ρ ∂ξ r0 tf - t dP + ny dP + (,dP + Ypdu) у (tf-t ) n + 2YPU (‘fro) n = o.

∂t t f - t ∂ξ ∂ξ ∂ξ r 0 t f - t r 0 ξ t f - t

4. Разделение переменных

Согласно [8] будем искать решение системы уравнений (21) - (23) в виде

P = ар (t) П (.) ,р = ар (t) 5 (.), U = аи (t) M (.).(24)

Обозначим дифференцирование по t точкой сверху величины, дифференцирование по . - штрихом. Подставив (24) в (21) - (23), получим

Ф15 + ш.5 + M 5 + 5 M ‘ + 2м5 = 0, ф 25 M + шб. M ‘ + 5 MM ‘ + П ‘ = 0,(25)

Ф зП + ш. П ‘ + Mn ‘ + y nM ‘ + ² ^y ^M^ = 0 ,

где

_ ар _ au a p n > at t f -t 0 n

^Ф 1 = а ^Ф 2 = ав ^Ф 3 = а р в’ ^Ш = в ( t f - t ) ’ ⁹ = r 0 t f -1 ' "

Для разделения системы уравнений (25), (26) на две системы, одна из которых содержит величины, зависящие только от t , а вторая - только от £ , нужно, чтобы было

Ф 1 ( t ) = const ’ Ф 2 ( t ) = const ’ Ф ₃ ( t ) = const ’ ш ( t ) = const .

Функции а_р ( t ) ’ a u ( t ) , a_p ( t ) определим на ударной волне. Предварительно преобразуем второе и третье уравнения (9) к виду

U w = ^ D t (т — ) ’ P w = ^Y ^-1 P w Y • ^(2S>

Y + 1 V f - 1 0/ 2

Из (24) и (28) на ударной волне следует

^Y + ¹

^a P ⁽ t ) ^ w ^p 0 ’ ^a u ^M w

Y ^- ¹

2 D 0 ( t f - t ) - 1 ¹

Y + 1 U - 1 0) ’ “ p ^П

■ w 2 ^a p 5 w ^a _u ^M _w.

В этих уравнениях величины 5w, по аналогии с [2-4] примем, что

Mw 11 П w

не определены. Для устранения произвола

δ w

Y + 1

Y ^- ¹ ’

M w

п w =Дт

Y + 1 Y + 1

При таком выборе 5w, Mw и П w , функции а_р, аи ^и а_Р принимают вид

( t f - t 0 ) а р = P 0 , a u = D 0 t f - t J

_t _- _t 2(1 - n )

’ “ p = ^P ⁰ D0 ("tf-t)

Из уравнений (27) и (30) определяются ф 1,

Ф 2- Ф 3 II Ш

Ф 1 = 0 , ф 2 = -

’ Ф 3 =

y n- 1 ,ш = - 1 . nn

5. Уравнения для M, д, Пи определение n

С помощью полученных значений ф 1, ф2, ф3 и ш уравнения (25) - (26) принимают вид дM‘ + (M - () д' = - 2M ’ д (M - ()M‘ + П‘ = - n—1 дM’(31)

ξn

YnM‘ + (M - ()П‘ = - 2yM^ - 2(n- 1) П.(32)

Уравнения (31), (32) образуют относительно д' , M ‘ , П ‘ систему линейных неоднородных уравнений. Если определитель этой системы

Z =(M - () (yП - д (M - ()2)(33)

не равен нулю, то система имеет единственное решение. Из (29) и (33) следует, что на ударной волне Z (1) = — )— < 0. В момент фокусировки £ = то й, следовательно, Z ( то ) = + то. если при £ ^ то M не стремится к + то кгяс £^а. г,те а > 1. Посколь ку рассматривается газовый шар конечного размера и время фокусировки конечно, то естественно потребовать, чтобы M ^, П _го и 5^ были бы конечны. Из сказанного следует, что существует такое значение £* при ко тором Z* = 0 и M, П, 5 принимают значения M * , П *, 5*. В областях 1 < £ < £* и £* < £ < то Z = 0 и в этих областях, как сказано выше, система уравнений (31), (32) имеет единственное решение. В точке же £* следует рассмотреть м;отрину коэффициентов | |A | | п расширенную матрицу | |B||.

где

И A | | =

5* M * — £*

5* (M * — £* ) 0

7 П * 0

(M * — £* )

5* M * — £*

| |B | | = 5* (M * — £* ) 0

7 П * 0

0 _ 2M * 8 ,

^ *

1 — n - 1 5* M *

(M * — £* ) — 2П * j^M“ + n ^- ¹)

Анализ матриц | | A | | и | |B | | показывает, что их ранги совпадают и равны 2, все миноры третьего порядка равны нулю и, следовательно, система (31), (32) при £ = £* имеет единственное решение. Легко показать, что равенство нулю всех миноров третьего порядка приводит к двум уравнениям

( n — 1) £* (2 (M * — £* ) — Y M * ) + 2 Yn M * (M * — £* ) = 0 , (34)

Z* = (M * — £* ) ( Y П * — 5* (M * — £* )²) = 0 , (35) содержащим n, 7 и величины M * , П *, 5*, £*, зависящие от n и 7 . Из уравнений (34) и (35) для каждого значения 7 находится соответствующее значение n . Результатом применения изложенной выше процедуры являются значения n ( 7 ), которые приведены в табл. 1.

Таблица 1

^γ	n	ρ f	t f
1,1	0,795973	184,465	0,758066
1,2	0,757142	59,5525	0,688311
4/3	0,729259	26,5447	0,625079
1,4	0,717175	20,0714	0,5976454
5/3	0,688377	9,54968	0,5162826

В областях, где Z = 0, выпишем решение системы уравнений (31), (32)

M ' = Rm- ,

ξnR ^,

., 5H₆ 5 ( £ — M) R n

⁵ = n£ (M — £ ) R’ ^П= n£R ' ^(3G>

где

R = y П — 5 (M — £ )² , (37)

R м = 2 ( n - 1) ( П + 2 Yn МП + ( n - 1) (5 M (M - ( ) ,

Rs — R м — 2 n M R, R n — R м — -— --

Функции M( ( ), 5 ( ( ), П( ( ), находятся при определенном значении п путем интегрирования уравнений (36) в области 1 < ( < то.

6. Решение

Для практических применений полученного решения нужно перейти от функций M( ( ), 5 ( ( ), П( ( ) к функциям U ( r, t ), р ( r, t ), P ( r, t ), характеризующим состояние и движение газа в переменных r, t . Они получаются из уравнений (24) следующим образом. В любой фиксированный момент времени t 0 < t < t f из (19) получается однозначная зависимость ( ( r ), после чего из уравнений (24) вычисляются

2(1 - n )

• (40)

U ( r,t ) — D 0 M( ( ( r,t )) ( f — ?) . P ( r,t )— р 0 D 0П( ( ( r,t )) f —г)

P ⁽ ^r,t ^)— P о ⁵ ⁽ ⁽ ⁽ ^r,t )) • (41)

Эти функции вычисляются в области rw < r < rg , занятой газ ом в момент t. Безразмерная координата границы газового шара (g в момент t находится из закона сохранения массы rg

14 nr2 р (r) dr — 3 про (r0 — rW) , rw который в переменных t, ( принимает вид

ξ g

/ ⁵⁽ ² ^d( ^— 3 (⁽¹ ^—

( t^— t о> D о ) " ³ ” — Л—0 .

r 0 n

Затем по найденному значению ( g для фиксированного t из (19) находится r g ( t ), а из зависимостей M ( ( ) п П ( ( ) определяются M g i1 П g. по которым из (24) находятся U g ( t ) ii P g ( t ). Таким образом, получаются табличные зависимости U g ( t ). P g ( t ) , r g ( t ).

7. Фокусировка ударной волны

Момент фокусировки ударной волны tf находится из (6) Ugо- rо- 10. Y- Dо — дтUgо- и па!Ueno n(y)• Для rо — 1. Ugо после того, как заданы — — 1. tо — 0 значения

времени фокусировки для разных y приведены в Табл. 1. В точке t — t f, r w — 0 находится ударная волна, за фронтом которой D — —то, U w — —то, P w — то, р_w — ^^ + ^ 1, (_w — 1. Из (19) следует, что при любом r > 0 значению t — t f соответствует значение ( — то. При интегрировании у равнений (36) значению ( — то соответствуют значения 5^- M ^. П ^. которые постоянны, т.к. из (36) - (39) следует, что 5' ^ 0. M ‘ ^ 0. П ‘ ^ 0 при ( ^ то. Из выраже!шй (30) для a_u. а_р виднс). что а_и — —то. а_р — то njш t — t f п выражения для U и P принимают вид

U f — —то M _ю, P f — то П ^.

Работа, совершенная над газовым шаром за время 0 < t < tf , конечна. Это значит, что и кинетическая, и внутренняя энергия газа в шаре конечны. Таким образом, чтобы скорость U и давление Р газа в момент фокусировки имели физически разумные значения (были ограничены), должно быть M _го = 0 и П _го = 0, ибо только в этом случае U й P можно получить, раскрыв в (24) неопределенности вида ( то • 0). Численное интегрирование уравнений (36) дает с высокой точностью именно такие значения M ^ = 0 и П ^ = 0. Конечно, значению £ = то соответствует много значений г. Но если взять t = t f — т , где т бесконечно малое число, то £ = то получается из (19) только при r = то . В этом случае из (40) следует, что в момент фокусировки

U^ = 0 , P^ = 0 , при , r = то.

Функции U ( r ) и P ( r ) при t = t f должны удовлетворять этим асимптотическим условиям. Из функций а_р, a_u, а_р (30) только а_р = const. Таким образом, в момент фокусировки t f во всем газовом шаре в соответствии с (41)

P f = Р о 5_Ю = const .

Значения pf , полученные для разных у , приведены в табл. 1. Профиль давления в момент фокусировки определим, используя зависимость энтропии от массы (12). Подставив f ( s ) из (12) и p f из (43) в уравнение состояния (1), получим

P ( r ) =

2 _2

Y +1 ^Р ⁰ D ⁰

Y — ¹ ⁷ / Y - ^ )

Y + 1)

r ⁰

2(1 — n ) n

Эта зависимость справедлива для всего газа, лежащего в промежутке 0 < r < rg. Формально ее можно считать справедливой и в области r > rg, т.е. вне газового шара. Это можно использовать для подтверждения изложенных выше результатов интегрирования. Действительно, из (44) следует, что Р^ = 0 пр и r = то. Удельная внутренняя энергия определяется из уравнений (8) и (44)

2(1 n ) 2(1 — n )

E ( r ) = 2 D 2 ( y — 1) ^Y- 1 ( Y + 1) - ⁽ ^Y ⁺¹⁾ C 1 - (r °) . (45)

Полная внутренняя энергия газового шара получается с помощью (45) в виде rg

Q E=/

4 nr ² p о d^E ( r ) dr.

Работа, совершенная над газовым шаром на его границе, определяется уравнением

A =

t f

J 4 nr g ( t ) P g ( t ) U g ( t ) dt.

Следовательно, кинетическая энергия газа в момент фокусировки должна опреде

ляться выражением

r gf

Q k = A — Q e = У 2 nr ² p f U ² ( r ) dr.

Рассмотрим решение в момент времени t = t f — т (т - бесконечно малое число). С помощью (19) запишем (40) так

U = D о

1 - n

( V ) " ^М( « ) •

При t ^ t f представим зависимость М( £ ) в виде

М( ( ) = B ( ,

где B = const. Эта зависимость удовлетворяет выше сформулированному требованию М ^ = 0 пр и £ = то . Из (47), (48) следует зависимость скорости от радиуса в момент t очень близкий к фокусировке

1 - n

U = D о ( ’ ) B.

Постоянная B находится после подстановки (49) в (46) по формуле

B =

(5 n — 2) Q k

2(1 - n ) 5 n - 2

2 nnD 2 p f r ₀ ⁿ r gf n

8. Эталонное решение

Изложенное решение было применено для оценки точности нескольких методов расчета ударных волн. Холодный газовый шар размером r g ₀ = 1 имел параметры P 0 = 0, p о = 1, U о = 0, U g о = — 1, Y = 5 / 3. Граничное условие определялось с помощью уравнения (42) в соответствии с описанным в п. 6 алгоритмом. Зависимости давления и скорости границы от времени приведены в табл. 2. На рис. 1, 2, 3 приведены профили давления, плотности и скорости на три момента времени t = 0 , 4, t = 0 , 45 и t = 0 , 5. Сплошная линия - это аналитическое решение данной работы, -о— это расчеты по программе ВОЛНА [9] с выделением разрывов,-----расчеты по программе ВОЛНА без выделения разрывов, х - результаты, полученные при проведении расчета по методике [10]. Расчеты выполнены на равномерной по r сетке

Рис. 1. Профили давления

Рис. 2. Профили плотности

Рис. 3. Профили скорости

Таблица 2

Граничное условие

№ t U P № t U P 1 0,04 -1,008791 1,415094 16 0,30 -1,045146 2,445445 2 0,07 -1,015161 1,484529 17 0,31 -1,044921 2,517083 3 0,10 -1,021256 1,562232 18 0,32 -1,044473 2,592849 4 0,13 -1,026982 1,649664 19 0,33 -1,043787 2,673060 5 0,16 -1,032224 1,748622 20 0,34 -1,042842 2,758063 6 0,18 -1,035380 1,822074 21 0,35 -1,041619 2,848236 7 0,20 -1,038211 1,902413 22 0,36 -1,040097 2,943996 8 0,22 -1,040657 1,990554 23 0,37 -1,038251 3,045798 9 0,23 -1,041717 2,037877 24 0,38 -1,036058 3,154141 10 0,24 -1,042655 2,087565 25 0,39 -1,033488 3,269573 11 0,25 -1,043463 2,139778 26 0,40 -1,030514 3,392698 12 0,26 -1,044129 2,194694 27 0,42 -1,023220 3,664748 13 0,27 -1,044643 2,252502 28 0,45 -1,008354 4,149469 14 0,28 -1,044992 2,313410 29 0,50 -0,969947 5,233492 15 0,29 -1,045165 2,377642 30 0,55 -0,899013 6,144230 с числом точек N = 200. На рис. 2 виден энтропийный след в профилях р(r), полученных по методу без выделения разрывов. След образовался при формировании «размазанной» ударной волны возле границы газового шара.

В табл. 3, 4 и 5 приведены зависимости U ( r ), р ( r ), P ( r ), полученные из аналитического решения, на моменты времени t = 0 , 4, t = 0 , 45, t = 0 , 5, соответственно. В табл. 6 приведены аналитические зависимости М( С ), П( С ) и 6 ( С ) в диапазоне 1 < С А 10. Для того, чтобы построить решение U ( r ). р ( r ). P ( r ) в любой выбран ный момент времени t* , задаем С из табл. 6 и находим r из формулы (19), затем по формулам (40) и (41) вычисляем U ( r ), р ( r ), P ( r ).

Таблица 3

Аналитическое решение на момент t = 0 , 4

№	r	P ( r )	р ⁽ ^r )	U ( r )	№	r	P ( r )	р ⁽ ^r )	U ( r )
1	0,3584	3,3761	4,0000	- 1,5912	24	0,4660	3,5944	5,9404	- 1,2335
2	0,3631	3,4043	4,1303	- 1,5681	25	0,4706	3,5912	5,9954	- 1,2232
3	0,3678	3,4299	4,2533	- 1,5460	26	0,4753	3,5874	6,0488	- 1,2132
4	0,3724	3,4533	4,3698	- 1,5249	27	0,4800	3,5831	6,1009	- 1,2034
5	0,3771	3,4744	4,4806	- 1,5047	28	0,4847	3,5783	6,1515	- 1,1938
6	0,3818	3,4935	4,5863	- 1,4854	29	0,4894	3,5730	6,2009	- 1,1845
7	0,3865	3,5106	4,6873	- 1,4668	30	0,4940	3,5672	6,2490	- 1,1755
8	0,3911	3,5258	4,7840	- 1,4489	31	0,4987	3,5611	6,2959	- 1,1666
9	0,3958	3,5394	4,8768	- 1,4318	32	0,5034	3,5545	6,3416	- 1,1579
10	0,4005	3,5513	4,9661	- 1,4153	33	0,5081	3,5476	6,3861	- 1,1495

Окончание таблицы 3

№	r	P ( r )	Р ( r )	U ( r )	№	r	P ( r )	Р ( ^r )	U ( r )
11	0,4052	3,5616	5,0519	- 1,3993	34	0,5127	3,5403	6,4296	- 1,1412
12	0,4098	3,5706	5,1347	- 1,3840	35	0,5174	3,5328	6,4721	- 1,1332
13	0,4145	3,5782	5,2145	- 1,3691	36	0,5221	3,5249	6,5136	- 1,1253
14	0,4192	3,5846	5,2915	- 1,3548	37	0,5268	3,5167	6,5540	- 1,1176
15	0,4239	3,5898	5,3660	- 1,3409	38	0,5314	3,5083	6,5936	- 1,1100
16	0,4286	3,5939	5,4380	- 1,3275	39	0,5361	3,4997	6,6322	- 1,1026
17	0,4332	3,5969	5,5078	- 1,3145	40	0,5408	3,4908	6,6700	- 1,0954
18	0,4379	3,5990	5,5753	- 1,3019	41	0,5455	3,4817	6,7069	- 1,0883
19	0,4426	3,6002	5,64078	- 1,2897	42	0,5502	3,4724	6,7430	- 1,0814
20	0,4473	3,6005	5,7043	- 1,2778	43	0,5548	3,4630	6,7783	- 1,0746
21	0,4519	3,6001	5,7659	- 1,2662	44	0,5595	3,4533	6,8128	- 1,0679
22	0,4566	3,5989	5,8258	- 1,2550	45	0,5876	3,3927	7,0053	- 1,0305
23	0,4613	3,5969	5,8839	- 1,2441

Таблица 4

Аналитическое решение на момент t = 0 , 45

№	r	P ( r )	Р ( r )	U ( r )	№	r	P ( r )	Р ( ^r )	U ( r )
1	0,2434	4,7924	4,0000	- 1,8959	24	0,3810	4,8977	6,8237	- 1,2698
2	0,2494	4,8648	4,2393	- 1,8450	25	0,3870	4,8712	6,8863	- 1,2554
3	0,2554	4,9253	4,4553	- 1,7983	26	0,3930	4,8441	6,9465	- 1,2415
4	0,2613	4,9752	4,6525	- 1,7552	27	0,3989	4,8165	7,0044	- 1,2280
5	0,2673	5,0156	4,8340	- 1,7153	28	0,4049	4,7883	7,0600	- 1,2150
6	0,2733	5,0475	5,0023	- 1,6782	29	0,4109	4,7598	7,1136	- 1,2025
7	0,2793	5,0720	5,1590	- 1,6435	30	0,4169	4,7310	7,1653	- 1,1903
8	0,2853	5,0899	5,3054	- 1,6111	31	0,4229	4,7018	7,2150	- 1,1785
9	0,2913	5,1019	5,4428	- 1,5806	32	0,4289	4,6725	7,2631	- 1,1671
10	0,2972	5,1088	5,5721	- 1,5518	33	0,4348	4,6431	7,3094	- 1,1561
11	0,3032	5,1111	5,6939	- 1,5247	34	0,4408	4,6135	7,3541	- 1,1454
12	0,3092	5,1093	5,8091	- 1,4990	35	0,4468	4,5839	7,3974	- 1,1350
13	0,3152	5,1039	5,9181	- 1,4747	36	0,4528	4,5542	7,4392	- 1,1249
14	0,3212	5,0953	6,0215	- 1,4515	37	0,4588	4,5245	7,4796	- 1,1151
15	0,3272	5,0838	6,1197	- 1,4295	38	0,4647	4,4949	7,5187	- 1,1055
16	0,3331	5,0699	6,2131	- 1,4085	39	0,4707	4,4653	7,5566	- 1,0962
17	0,3391	5,0538	6,3021	- 1,3885	40	0,4767	4,4358	7,5933	- 1,0872
18	0,3451	5,0357	6,3870	- 1,3694	41	0,4827	4,4065	7,6288	- 1,0784
19	0,3511	5,0159	6,4680	- 1,3510	42	0,4887	4,3772	7,6633	- 1,0698
20	0,3571	4,9946	6,5454	- 1,3335	43	0,4947	4,3481	7,6967	- 1,0615
21	0,3630	4,9720	6,6195	- 1,3166	44	0,5006	4,3192	7,7291	- 1,0533
22	0,3690	4,9482	6,6905	- 1,3004	45	0,5365	4,1495	7,9048	- 1,0084
23	0,3750	4,9234	6,7585	- 1,2848

Таблица 5

Аналитическое решение на момент t = 0 , 5

№	r	P ( r )	P ⁽ ^r )	U ( r )	№	r	P ( r )	P ⁽ ^r )	U ( r )
1	0,0926	11,4956	4,0000	- 2,9363	24	0,2777	8,1137	8,5003	- 1,3032
2	0,1007	11,9886	4,7516	- 2,6848	25	0,2858	7,9479	8,5430	- 1,2826
3	0,1087	12,2118	5,3157	- 2,4917	26	0,2938	7,7882	8,5829	- 1,2630
4	0,1168	12,2584	5,7648	- 2,3370	27	0,3019	7,6343	8,6202	- 1,2444
5	0,1248	12,1902	6,1336	- 2,2092	28	0,3099	7,4862	8,6552	- 1,2267
6	0,1328	12,0473	6,4426	- 2,1014	29	0,3180	7,3433	8,6879	- 1,2097
7	0,1409	11,8565	6,7055	- 2,0087	30	0,3260	7,2056	8,7187	- 1,1936
8	0,1489	11,6358	6,9319	- 1,9280	31	0,3341	7,0728	8,7477	- 1,1781
9	0,1570	11,3974	7,1288	- 1,8568	32	0,3421	6,9447	8,7750	- 1,1632
10	0,1650	11,1497	7,3015	- 1,7935	33	0,3502	6,8209	8,8007	- 1,1489
11	0,1731	10,8984	7,4540	- 1,7366	34	0,3582	6,7015	8,8251	- 1,1352
12	0,1811	10,6474	7,5896	- 1,6852	35	0,3663	6,5861	8,8481	- 1,1221
13	0,1892	10,3996	7,7109	- 1,6384	36	0,3743	6,4745	8,8699	- 1,1094
14	0,1972	10,1567	7,8199	- 1,5956	37	0,3824	6,3666	8,8906	- 1,0971
15	0,2053	9,9198	7,9184	- 1,5563	38	0,3904	6,2622	8,9103	- 1,0854
16	0,2133	9,6898	8,0076	- 1,5199	39	0,3985	6,1612	8,9290	- 1,0740
17	0,2214	9,4670	8,0889	- 1,4862	40	0,4065	6,0634	8,9468	- 1,0630
18	0,2294	9,2517	8,1632	- 1,4548	41	0,4146	5,9686	8,9637	- 1,0523
19	0,2375	9,0439	8,2312	- 1,4254	42	0,4226	5,8768	8,9799	- 1,0420
20	0,2455	8,8437	8,2938	- 1,3980	43	0,4307	5,7878	8,9953	- 1,0320
21	0,2536	8,6507	8,3515	- 1,3722	44	0,4387	5,7014	9,0100	- 1,0224
22	0,2616	8,4649	8,4049	- 1,3478	45	0,4870	5,2335	9,0860	- 0,9700
23	0,2697	8,2860	8,4543	- 1,3249

Таблица 6

Аналитическое решение

№	ξ	n( ( )	5 ( ( )	M( ( )	№	ξ	n( ( )	5 ( ( )	M( ( )
1	1,000	0,7500	4,0000	0,7500	24	1,828	0,7188	7,3840	0,4503
2	1,036	0,7660	4,3422	0,7211	25	1,864	0,7120	7,4454	0,4444
3	1,072	0,7781	4,6391	0,6955	26	1,900	0,7052	7,5039	0,4388
4	1,108	0,7870	4,9018	0,6727	27	1,936	0,6984	7,5597	0,4334
5	1,144	0,7933	5,1375	0,6521	28	1,972	0,6917	7,6129	0,4282
6	1,180	0,7973	5,3508	0,6334	29	2,296	0,6335	8,0000	0,3890
7	1,216	0,7993	5,5453	0,6163	30	2,620	0,5816	8,2718	0,3596
8	1,252	0,7999	5,7236	0,6005	31	2,944	0,5364	8,4716	0,3363
9	1,288	0,7990	5,8879	0,5860	32	3,268	0,4972	8,6236	0,3174
10	1,324	0,7971	6,0398	0,5726	33	3,592	0,4630	8,7426	0,3016
11	1,360	0,7942	6,1807	0,5601	34	3,916	0,4330	8,8379	0,2881
12	1,396	0,7906	6,3118	0,5484	35	4,240	0,4067	8,9156	0,2764
13	1,432	0,7863	6,4341	0,5375	36	4,564	0,3834	8,9799	0,2661

Окончание таблицы 6

14	1,468	0,7815	6,5485	0,5272	37	4,888	0,3626	9,0340	0,2570
15	1,504	0,7762	6,6558	0,5176	38	5,212	0,3440	9,0800	0,2489
16	1,540	0,7706	6,7565	0,5085	39	5,536	0,3272	9,1193	0,2415
17	1,576	0,7647	6,8513	0,4998	40	5,860	0,3120	9,1535	0,2348
18	1,612	0,7585	6,9406	0,4917	41	6,832	0,2741	9,2326	0,2178
19	1,648	0,7522	7,0249	0,4839	42	7,804	0,2445	9,2883	0,2043
20	1,684	0,7457	7,1046	0,4765	43	8,776	0,2209	9,3293	0,1931
21	1,720	0,7390	7,1801	0,4695	44	9,748	0,2016	9,3605	0,1838
22	1,756	0,7323	7,2516	0,4628	45	10,00	0,1971	9,3674	0,1816
23	1,792	0,7256	7,3195	0,4564

Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ. Грант 13-01-00072.

Список литературы Ударная волна в газовом шаре

Guderley, G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstobe in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse/G. Guderley//Luftfartforschung. -1942. -Т. 19, № 9. -С. 302-312.
Седов, Л.И. О неустановившихся движениях сжимаемой жидкости/Л.И. Седов//Доклады Академии наук СССР. -1945. -Т. 47, № 2. -С. 94-96.
Станюкович, К.П. Автомодельные решения уравнений гидромеханики, обладающих центральной симметрии/К.П. Станюкович//Доклады Академии наук СССР. -1945. -Т. 48, № 5. -С. 331-333.
Брушлинский, К.В. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики/К.В. Брушлинский, Я.М. Каждан//Успехи математических наук. -1963. -Т. 18, № 2. -С. 3-23.
Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике/Л.И. Седов. -М.: Тех. теор. лит., 1954.
Сидоров, А.Ф. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа/А.Ф. Сидоров, О.Б. Хайруллина//Прикладная математика и механика. -1994. -Т. 58, № 4. -С. 81-92.
Крайко, А.Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа/А.Н. Крайко//Прикладная математика и механика. -2007. -Т. 71, № 5. -С. 744-760.
Куропатенко, В.Ф. Модели механики сплошных сред/В.Ф. Куропатенко. -Челябинск: ЧелГУ, 2007.
Куропатенко, В.Ф. Комплекс программ ВОЛНА и неоднородный разностный метод расчета неустановившихся движений сжимаемых сплошных сред/В.Ф. Куропатенко, В.И. Кузнецова, Г.Н. Михайлова, Г.В. Коваленко, Г.Н. Сапожникова//Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. -1989. -№ 2. -С. 9-25.
Kuropatenko, V.F. A Method for Shock Calculation/V.F. Kuropatenko, M.N. Yakimova//Journal of Computational and Engineering Mathematics. -2015. -V. 2, № 2. -P. 60-70.

Еще

Статья научная