Удвоенное обращение волнового фронта в многомодовом волноводе с резонансной нелинейностью

Шестиволновые процессы активно используются в задачах коррекции фазовых искажений, пространственной и временной обработки сигналов, спектроскопии, для изучения структуры вещества и т. д. [1-8]. Для повышения эффективности шестиволновых процессов предлагается такие процессы рассматривать в волноводах, в которых удается существенно увеличить длину взаимодействия при неизменной интенсивности волн накачки на этой длине [9–11].

Шестиволновые процессы позволяют получить не только волну с обращенным волновым фронтом (ОВФ), но и волну, фаза которой сопряжена удвоенной фазе объектной волны (волны с удвоенным обращенным волновым фронтом (УОВФ)) [12–14]. До сих пор, в основном, теоретические и экспериментальные исследования УОВФ проводились в нелинейных средах, не ограниченных в поперечном направлении. В качестве нелинейных сред использовались среды с керровской [13], тепловой [15] нелинейностями, а также среды, обладающие одновременно резонансной и тепловой нелинейностями [4; 11; 16].

Теоретические исследования показали существенное влияние на качество удвоенного обраще-

ния волнового фронта характеристик используемой нелинейной среды [13; 15], параметров волн накачки (а именно, соотношение между их частотами, пространственной структурой [4]).

В средах с керровской, тепловой, резонансной и тепловой нелинейностями при получении волны с УОВФ при шестиволновом взаимодействии, как правило, частоты объектной и сигнальной волн (волн накачки) отличались в два раза. В этом случае без учета дисперсии среды в схеме со встречными волнами накачки волна с УОВФ распространялась навстречу сигнальной волне. Изменение частот объектной и сигнальной волн позволяет получить не только волну с УОВФ, но и осуществить угловой поворот такой волны относительно направления распространения сигнальной волны. Реализация волны с УОВФ при шестиволновом взаимодействии только на резонансной нелинейности возможна при равенстве частот всех взаимодействующих волн.

В настоящей работе исследуется влияние на качество УОВФ в многомодовом волноводе с резонансной нелинейностью интенсивности волны накачки, радиуса гауссовой волны накачки. При этом рассматривается двумерный параболический волновод. Качество УОВФ оценивается по полуширине модуля амплитуды объектной вол

ны при условии, что сигнальной волной является волна от точечного источника, расположенного на передней грани волновода.

1. Вывод выражения для амплитуды волны с УОВФ

Рассмотрим типичную схему вырожденного шестиволнового взаимодействия волн, позволяющую получить волну с УОВФ. В волноводе, расположенном между плоскостями z = 0 и z = / , распространяются «навстречу» друг другу две волны накачки с комплексными амплитудами А 1 и A 2 , сигнальная волна с амплитудой A 3 . В результате шестиволнового взаимодействия вида го + го-го-го+го = го в среде наводится нелинейная поляризация, пропорциональная произ- 2       * 2

ведению амплитуд A i A 2 A 3 , которая является источником объектной волны с комплексной амплитудой A 6 ~ A * 2 . Волновод состоит из вещества с коэффициентом поглощения а ° , показателем преломления n ( x ) и ансамблем частиц с коэффициентом поглощения a i << а о . Частицы моделируются трехуровневой схемой энергетических уровней с учетом триплетного уровня.

Коэффициент поглощения ансамбля частиц связан с интенсивностью излучения, распространяющегося в среде, выражением [17; 18]:

a i =

^a 10

1 + bl ’

Здесь I = AA*  - интенсивность излучения;

A = ^ A j + A ₆ + к.с.;

j = 1

b - коэффициент, определя-

емый сечением поглощения (излучения) и вероятностями безызлучательных переходов между энергетическими уровнями.

Будем использовать приближения: 1) заданного поля по первой волне накачки

(| A i| >>  A |, j = 2,3,6

); 2) малого коэффициента отражения (| A 6| << A * |). Тогда из (1) выражение для составляющей коэффициента поглощения ансамбля частиц, ответственного за генерацию волны с УОВФ, примет вид а1 =

^а 10 ( ^bA 1 ^A 3 ) 2 ( 1 + bl ₁ ) 3

*

Здесь 11 = A1A1 - интенсивность излучения пер- вой волны накачки.

Система уравнений, описывающая шестиволновое взаимодействие с УОВФ в среде с резонансной нелинейностью, есть [16]:

^V ² + к ² n ² ( x ) - 2 ik a ₀ ] A j = 0, j = 1 - 3,

’ Tv 2 + к 2 n 2 ( x ) - 2 ik a„l A = i““k ⁽ bA ¹ A * ) A 2 . ( ²⁾

l ^L                          ° ^J 6           ( 1 + bl 1 ) 3

Ю

Здесь к = —; x - поперечная координата. c

Сходная система уравнений описывает в рамках указанных приближений получение волны с обращенным волновым фронтом при вырожденных четырех-, шестиволновых взаимодействиях на резонансной нелинейности. Меняются слагаемые в правой части уравнения для амплитуды объектной волны [19].

Пусть модами волновода являются функции fn (x, z) = fn (x )exp(-i₽ nz).

Здесь P n - постоянная распространения n -й моды световода.

Разложим амплитуды взаимодействующих волн по модам волновода, не содержащего ансамбль частиц;

N

A j ⁽ x , z ) = E a jn ⁽ z ) ^f n ⁽ x , z ) , n = 0

j = 1 - 3,6, n = p , m , s , r .

Здесь N – число мод волновода, учитываемых при нахождении амплитуд взаимодействующих волн; a jn ( z ) - коэффициенты в разложении амплитуд волн по модам волновода; p , m , s , r - номера мод первой и второй волн накачки, сигнальной и объектной волн.

Из системы уравнений (2) с учетом (3) следует, что коэффициенты a jn ( z ), j = 1,2,3 не меняются вдоль оси Z :

a ₁ p ( z ) = a ₁ p ( z = °) = a ( ° ) , a 3 s ^{( z} ) = a 3 s ^{( z} = ^{0 )} = a 3° ) , a 2 m ^{( z} ) = a 2 m ^{( z} = ^ ) = a 2 m

Предположим, что первая волна накачки возбуждает в волноводе одну моду с номером p :

^A 1 ( ^x , ^z ) = ^a 1 p ( ^z ) ^f p ( ^x , ^z ) .

В приближении медленно меняющихся амплитуд с учетом разложения взаимодействующих волн по модам волновода и граничного условия a 6 r (z = ^) = ° найдем амплитуду объектной волны на передней грани волновода [4; 16]:

N                ...2 N ?

A 6 ⁽ x , z = ^{0 )} = E a 6 r f ⁽ x ) = ^a io kb ² ( a i p ) E r = 0                              r = 0 2 ^е r

Здесь H _r

рядка; о 0 =

2 x q

- многочлен Эрмита r -го по-

xf E Ea2m)a30’• a30)*x s=0 s '=0 m=0

t

^XP ppmss'r ^exP [" i ^Л ppmss'r z ] ^dz •

Для приосевых мод волновода постоянная распространения r -й моды есть

в _r = kn i - i « 0 - ( 2 r + 1 )

/ ^2е 2

К J

•

Здесь

^Л ppmss'r = ² ₽ p - ^в m - ^в s *^-₽ s '* + ^в r ^- волновая расстройка;

С учетом (5) при шестиволновом взаимодействии с УОВФ в параболическом волноводе волновая расстройка есть

*       *

^Л ppmss ' r = ^в p ^{+ в} p '^-в m ^-в s - ^в s ' ^{+ в} r =

fp2 ( x ) fm ( x ) fs ( x ) fs' ( x ) fr ( x ) dx

^Y ppmss' r J                                                  3

J ¹ + b ( ^a ip ) ^{f 2} ( ^x ) ^exP⁽ — i [P p - ^в p * ] z |

- i 4 « 0

-

^{2 s} 2

{ p + p ' - s - s '- m + r } •

интеграл перекрытия.

Для сигнальной волны от точечного источника

A з ( x,z = 0) = 5 ( x - x 0 ) выражение для амплитуды объектной волны примет вид

I q J

В случае длинного волновода (Re ( л pp,_mss,_r ) t >>  1, если Re ( л pp,_mss,_r ) ^ 0) при одномодовой первой волне накачки выполняется условие

2 p - s - s '- m + r = 0.

2 N f ₍v)

G⁽ x , x 0 , z = ^{0 )} = a_w kb ² ( a i p ’) E 4r- r =0 2 ^е r

На рис. 1 приведены характерные нормированные графики зависимости модуля амплитуды объектной волны, расположенной на оси волновода

NNN xEEE a 2 mf s (x 0)fs'(x 0 )x s=0 s '=0 m=0

t фppmss'r exP [-iЛppmss'rz]dz•

( G =

G ( x , x ₀ = 0, z = 0 )

G max

G _max — максимальное зна-

Выражение (4) позволяет качественно проанализировать влияние на точность УОВФ параметров волновода, интенсивности первой одномодовой волны накачки, пространственной структуры второй волны накачки.

2. Обсуждение результатов

В качестве волноводов рассмотрим двумерный

волновод с параболическим профилем показателя

чение амплитуды), от нормированной поперечной координаты ( x 1 = x/ 0 0 ) при условии, что не только первая, но и вторая волны накачки является одномодовой с номерами мод p = p' = m = 0. При расчете амплитуды объектной волны учитывали N = 20 - 2 мод волновода и a^ t = 10 •

В диапазоне изменения нормированной интенсивности первой волны накачки 0,1 < М < 15, b(a1o )2 Е где M =—---— .1—, как и при шестиволновом о0    п взаимодействии с УОВФ в параболическом волноводе с керровской, тепловой нелинейностями, с увеличением поперечной координаты наблюда-

преломления n ² ( x ) = n 2

^{1 - 2 s} 2 ( ^x/x q ) ²

• Здесь S 2

и x q - параметры, задающие изменение показателя преломления. Модами параболического волновода являются функции Гаусса – Эрмита [20]:

f ( x ) =

( x Л /о ₀ ) exp

3-^ 1 ,. “ 0 ,

ется монотонное или осциллирующее уменьшение амплитуды объектной волны [10]. Увеличение интенсивности первой волны накачки приводит к изменению ширины центрального максимума, растет доля энергии, сосредоточенная в боковых максимумах изображения точечного сигнала. При Ì >  15 в центре амплитуды объектной волны появляется минимум, величина которого с увеличением интенсивности волны накачки возрастает.

Рис. 1. Зависимость модуля амплитуды объектной волны от поперечной координаты а ) M = 1 (1), M = 10 (2); б) M = 20

Fig. 1. Dependence of the object wave amplitude modulus on the transverse coordinate a ) M = 1 (1), M = 10 (2); b ) m = 20

Рис. 2. Зависимость полуширины ( а ), величины центрального максимума ( б ) модуля амплитуды объектной волны от нормированной интенсивности первой волны накачки

Fig. 2. Dependence of the half-width ( a ) and the magnitude of the central maximum ( b ) of the object wave amplitude modulus on the normalized intensity of the first pump wave

ности волны накачки (рис. 2, б ) типична для четырех- и шестиволновых преобразователей в средах с нелинейным коэффициентом поглощения. Рост интенсивности волны накачки вначале приводит к увеличению, а затем к уменьшению максимального значения амплитуды объектной волны [16; 20; 21].

Заметим, что при рассмотрении шестиволнового взаимодействия в параболическом волноводе на резонансной нелинейности для получения волны с обращенным волновым фронтом рост нормированной интенсивности первой волны накачки

уменьшает полуширину центрального максимума модуля функции размытия точки [18].

При монотонном или осциллирующем уменьшении амплитуды объектной волны в качестве

При p = p' = m = 0 объектной волны с

множителя есть

количественного параметра, характеризующего

качество УОВФ, может выступать полуширина

G( x , x ₀

модуля амплитуды объектной волны

^{( Л x} ) ’

опре-

деляемая из решения уравнения

| G ( x = Л х , x 0 = 0, z = 0 )| = 1 | G ( x = 0, x 0 = 0, z = 0 )|.

При шестиволновом взаимодействии в параболическом волноводе и условии одномодовых волн накачки, возбуждающих нулевую моду волновода, рост нормированной интенсивности первой волны накачки увеличивает полуширину центрального максимума модуля амплитуды объектной волны (рис. 2, а ), что означает ухудшение качества УОВФ. При этом зависимость максимального значения амплитуды объектной волны от интенсив

выражение точностью

. 2 A N N

= 0, z = 0) = exp - x VV

ш

* 0 7 Г = 0 s-

для амплитуды до постоянного

^Y 000 sr ( r - s )      _x (6)

x ^H _r ( x 72/ ® o ) H _s ( x = 0 ) H r - _s ( x = 0 ) .

t

Здесь Y000sr(r-s) =j4oosr(r-s)exP (-4a0z)dz - при- веденный интеграл перекрытия;

^Y 000 sr ( r - s )

x <  1 + M exp

'П J - s H exp -7

<    7

I ® 0 7

й 0 ^2 2 ^rr ! s ! ( r - s ) !

dx .

x

M = 10^-2

M = 10

S = 0

0,4-

°’2- ‘ •.......

° 0     5    10    1520

а

0,6

0,4-* .

•

0,2!--------- 1---------1        *1 • • *

0     5    10    1520

б

^Y 000 sr ( r - s )

0,6

0,4

S = 4

0,2

₀--------1-------- Г * *i • • т

0     5    10    1520

r

0 -.

1,2!------U1_

, 0     5     10    1520

r

г

Y()00.w('-»> ^’“

V' 0,4

l 000 sr ( r - s )

0,2

S = 8

-0,2

₀ -----1-----      i‘* T

0     5     10    15    20

-0,40

J________1________I_________1_

5    10    15    20

r

д                                              е

Рис. 3. Зависимость нормированного приведенного интеграла перекрытия от номера моды объектной волны M — 10 ² ( а , в , д ), M — 10 ( б , г , е ); s = 0 ( а , б ), s = 4 ( в , г ), s — 8 ( д , е )

Fig. 3. Dependence of the normalized reduced overlap integral on the mode number of the object wave M — 10 ^{- 2} ( a , b , d ), M — 10 ( c , d , e ), s — 0 ( a , b ), s — 4 ( c , d ), s — 8 ( d , e )

Из выражения (6) следует, что при одномодовых волнах накачки качество УОВФ в длинном волно-

воде определяется зависимостью приведенного

интеграла перекрытия от номеров мод сигнальной и объектной волн.

Идеальное УОВФ будет при условии

Y 000 sr ( r - s ) = const •

На рис. 3 построены графики зависимости

нормированного приведенного интеграла пере-

крытия

~,          _ ^Y000 sr ( r - s )

^Y000 sr ( r - s ) - _

I                ^Y000000 )

от номера моды

объектной волны при различных значениях ин

тенсивности волны накачки, номерах моды сигнальной волны. Рассматривался случай, когда номера мод сигнальной и объектной волн принимают либо четные значения, либо значение, равное нулю.

При малом значении нормированной интенсивности волны накачки ( M — 10 - ² ) независимо от номера моды сигнальной волны с увеличением номера мода объектной волны наблюдается монотонное уменьшение интеграла перекрытия (рис. 3, а , в , д ). При больших значениях нормированной интенсивности волны накачки ( M — 10 ) интеграл перекрытия с увеличением номера мода объектной волны уменьшается при s — 0 монотонно,

при s >  0 - осциллирующе, принимая как положительные, так и отрицательные значения (рис. 3, б , г , е ).

При изменении номера моды объектной волны от r — s до 20 среднеквадратичное отклоне-

ние от среднего значения интеграла перекрытия в случае значения нормированной интенсивности первой волны накачки M — 10 ^{- 2} составляет 0,078

A x 41

® o

0,6

0,4

>--------1---------1---------к-------- 1--------L

0    2    4    6    8    ® o

d

Рис. 4. Зависимость нормированной полуширины модуля объектной волны от радиуса второй волны накачки при M = 0,1 (1), M = 10 (2)

Fig. 4. Dependence of the normalized half-width of the object wave module on the radius of the second pump wave at M = 0,1 (1), M = 10 (2)

для s = 0 и 0,022 для s = 8, в случае M = 10 составляет 0,079 для s = 0 и 0,073 для s = 8. Разность

между средними значениями интеграла перекрытия, например, при s = 0 и s = 2 принимает для M = 10 значение 0,162, для M = 10 значение 0,549. Сходный характер зависимости от интенсивности волны накачки среднеквадратичного от-

клонения от среднего значения, разности между средними значениями интеграла перекрытия наблюдается и для других номеров мод сигнальной волны. Таким образом, с увеличением интенсивности первой волны накачки происходит рост отклонения интеграла перекрытия от постоянного значения, что качественно объясняет увеличение полуширины центрального максимума в зависимости амплитуды объектной волны от поперечной координаты.

Для исследования влияния на качество УОВФ пространственной структуры второй волны на-

качки предположим, что первая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, а изменение в зависимости от поперечной координаты амплитуды второй волны накачки на грани волновода описывается гауссовой функцией:

A 2 ( x , z = t ) ~ exp ( - x21d ² ) .

Здесь d – радиус волны накачки.

На рис. 4 приведены характерные зависимости нормированных полуширин центрального максимума модуля амплитуды объектной волны от радиуса второй волны накачки при различных интенсивностях первой волны накачки.

Уменьшение радиуса второй волны накачки приводит к уменьшению полуширины центрального максимума модуля амплитуды объектной волны. С уменьшением радиуса волны накачки разность между полуширинами центрального максимума модуля амплитуды объектной волны при различных интенсивностях волн накачки уменьшается.

Сходный характер зависимости полуширины центрального максимума модуля амплитуды объектной волны от ширины пучка второй гауссовой волны накачки прослеживается в случае УОВФ при шестиволновом взаимодействии на керровской, тепловой нелинейностях [10].

Заключение

В приближении заданного поля по волнам накачки при малом коэффициенте отражения проанализировано качество удвоенного обращения волнового фронта при вырожденном шестиволновом взаимодействии на резонансной нелинейности в параболическом волноводе. Показано, что при одномодовых волнах накачки, возбуждающих нулевую моду волновода, и сигнальной волне от точечного источника рост нормированной интенсивности первой волны накачки увеличивает полуширину центрального максимума модуля амплитуды объектной волны. Качество УОВФ ухудшается.

При условии, что первая волна накачки возбуждает нулевую моду волновода, а изменение в зависимости от поперечной координаты амплитуды второй волны накачки, на грани волновода описывается гауссовой функцией с уменьшением радиуса второй волны накачки полуширина центрального максимума модуля амплитуды объектной волны уменьшается, а значит, качество УОВФ улучшается.