Упрощенная математико-компьютерная модель регионального паводкого потока

Эш,; dQi где t — время, Qj — расход воды в Дом русле, Xj — продольная координата в Дом русле, Шj — площадь живого сечения потока, g — ускорение силы тяжести, Hj — глубина потока, ij — уклон Дого русла, Kj — модуль расхода, qj(xj,t) — интенсивность боковой приточности, обусловленная снеготаянием и дождевыми осадками.

Начальные и внешние граничные условия ставятся следующим образом

Qj ⁼ Одо(д) и Hj = Hj_t0(xj) при t = 0,                  (3)

Qi = QoW И Нх = Н_о^ при х = 0,                    (4)

Ql = Ql(Hl) при х = L, где QjTo(x), Hji0^, Qo^, Ql(Hl) —заданные функции, L — суммарный километраж русел рек;

Q₃-₂ +Qj_x = Qj, Z₃_₂P Z₃__{1 =} Z₃, Qj = Q_j+1 + Q_j+2 при x = Lj, (5)

где Zj - отметка уровней в соответствующих руслах в местах слияния либо разветвления.

Система (1)-(2) представляет собой дифференциальные уравнения гиперболического типа. В связи с этим при выполнении численных расчетов возникают многочисленные трудности вычислительного характера. С другой стороны, для паводковых потоков можно пренебречь инерционными членами в связи с их малым вкладом, который они вносят в гидравлический процесс наводнения. При таком упрощающем

Упрощенная модель регионального паводкового потока

3-43

предположении из полной системы можно получить следующее дифференциальное уравнение параболического типа

81 к.вдн.ах, ^\в,а^ крмн,

Дифференциальное уравнение (6) для каждого русла с соответствующими начальными и граничными условиями (3)-(5) представляют собой упрощенную математическую модель паводкового потока. Эта модель позволяет сравнительно легко провести численные расчеты всего региона по какой-либо конечно-разностной схеме. В отличие от строгой модели (1)-(5) в данной модели не возникает никаких трудностей вычислительного характера. Для дальнейших рассуждений рассмотрим систему из трех русел (j = 1, 2, 3). При этом предполагается, что третье русло образуется при слиянии первых двух.

Используя ранее полученные результаты [1], а именно, численного решения уравнения (6) в случае одного русла, становится ясным необходимость решения следующей системы уравнений:

/Д+1 I щ^+1 _ п^+1

451,7V! "Т" 452,W2 — 453,7V3’

Si         dx            В2 dx *>

/Д^ + 1  zj^ + l                   + l  /Д^ф!

1 ^1,^!  ^l,^₁—1 _ 1 ^3,N₃  ^3,N₃-1

Bi       dx            B3 dx

Q^nV^An.Q^+B^

Q^n\-i = An2Q^n\+Bn^

• - QtN\-i = AN₃QVN\+B_N3:

где k = 1,2,...,^. Неизвестными здесь являются значения расходов трех русел в точке слияния, т. е. Q^— значение расхода для первого русла в k + 1 момент времени, Q^^ — значение расхода для второго русла в к+ 1 момент времени, Q3 j^₃ — аналогичное значение расхода для третьего русла.

После нахождения искомых значений расходов становится возможным решение (6) отдельно для каждого русла с помощью метода прогонки [1].