Уравнение Левнера для отображений полос

В работе получен полный аналог классического уравнения Левнера, описывающего стирание разреза, для конформных отображений полос с граничной нормировкой. Полученное уравнение позволяет д шолнить известные радиальную и хордальную эволюции Левнера (SLE).

Уравнение Левнера возникло в знаменитой работе 1923 г. [2] в связи с попыткой решения проблемы коэффициентов. Геометрически оно описывало стирание разреза в терминах конформных отображений с нормировкой Римана. Впоследствии это уравнение обобщалось в связи с решением различных экстремальных задач. При переходе к граничным нормировкам возникли аналоги уравнения Левнера для полуплоскости (с гидродинамической нормировкой) и для полосы (при фиксации двух граничных точек, см. [5]). Поскольку такие обобщения ориентировались на создание вариационной техники в соответствующих классах конформных отображений, то конструкция, связанная со стиранием разреза, в них отсутствовала. С другой стороны, новые приложения уравнения Левнера, такие как SLE (см., напр., [3]), опираются на эту конструкцию.

В настоящей работе изучается вопрос получения полного аналога уравнения Левнера для полосы и конформных отображений с граничными нормировками. Здесь, в отличие от случая полуплоскости, мы не имеем возможности свести задачу к внутренней нормировке, поскольку изначально фиксируется соответствие двух граничных точек. Кроме того, продолжение отображений с использованием принципа симметрии приводит к бесконечносвязным областям.

Определение 1. Пусть П = {z 1 0 < Imz < >т}, f - конформное отображение полосы П в себя. Тогда (см., напр., [1, § 1-4]) для любого а е (0; 1/2) существуют конечные или бесконечные пределы

^(7)= lim (z-/(z)),

Re z^±oo

где z меняется в подполосе П_а ={Z : Ct < Imz < (1 — 01^71 }, причем с ^j ) — с (7) (см. [5]). Эти пределы называют угловыми производными отображения f в бесконечно удаленных точках полосы П.

Определение 2. Совокупность всех конформных отображений j 1П —> П с конечными угловыми производными С" (У) обозначим через Т.

Определение 3. Через Т_о обозначим подмножество функций f из Т, которые аналитически продолжаются через вещественную ось в полосу Q = {z : — к < Imz < Л"), оставляют инвариантной вещественную ось и удовлетворяют условию У (0) = 0. Конечность пределов С" (7) влечет условие Re f (z) —> ±со при Rez —> +оо .

Заметим, что класс Т замкнут относительно операции композиции. Более того, Т можно рассматривать как топологическую полугруппу относительно операции композиции и топологии локально равномерной сходимости. При этом То является подполугруппой.

Определение 4. Для каждой f из Т рассмотрим функционал у<Л = <ЛЛ-<ЛЛ-

Функционал у обладает свойством аддитивности: для ЛА gT выполняется r(Z ° АЛуШ + уШ-

Основным объектом исследований настоящей работы является семейство конформных отображений полосы П, образ которой получается из П вытиранием разреза. Более точно, пусть Г - простая жорданова кривая в полосе п с параметризацией ^ = ^/(/), 0 < / < /₀, где ^(/)еП при Oo и 1пд/(?₀) = Я. Через Р_г=П\Ц, 00 обозначим семейство расширяющихся областей, где под Г, понимается часть кривой Г, выделяемая параметризацией Г, :^ = ^(s), Z0. Обозначим через g, конформное отображение П на D₍ с нормировкой Reg_r(z) —> ±оо при Rez—>±оо и g,(0) = 0.

Используя разложение g_t в композиции отображений на области с «малыми» разрезами и мажорацию их «гиперболическими луночками», мы показываем конечность С (g,), а следовательно, и /(g,) . Таким образом, g₍ G Т_о при всех Z G [O;Z_oj. Кроме того, имеет место следующий результат.

Предложение 1. В принятых выше обозначениях у АЛ является непрерывной и строго монотонно убывающей на [0;Z_o] функцией.

Сформулированное утверждение позволяет выбрать параметризацию разреза Г так, чтобы выполнялось соотношение /(g,) = Z₀ — t, где t₀ теперь будет равно /(g₀). В определенном смысле эта параметризация аналогична левнеровской, где в качестве параметра выбирался конформный радиус расширяющейся области.

В принятых обозначениях основной результат работы можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1. Семейство отображений g_t 1 П —> D₍ с нормировкой из класса Т_о и выбором параметра t согласно условию уЛ, ) ~ Z_o^— ^ ’ ^г^^е ^ — ^ — кг дифференцируемо по t и является решением задачи Коши

д С — 1 1 ^^

где k^t) - непрерывная вещественнозначная функция и g, (g/ (Z)) = k^ — 1И .

Первый параграф данной работы посвяшен изучению свойств функционала У АР) . В частности, устанавливается, что близость уЛ') к 0 влечет близость J к тождественному преобразованию. Этот результат является основой для дифференцируемости g, . Кроме того, здесь приводятся альтернативные формулы для вычисления с" ^Л •

Во втором параграфе наряду с введением необходимых обозначений и определений устанавливается аналог интегральной формулы Шварца для специального класса функций и приводится ряд вспомогательных результатов, в том числе доказывается монотонность и непрерывность /(g,).

Третий параграф посвящен доказательству основного результата, теоремы 1.

• § 1.    Свойства функционала Y^f^

Вначале теорема об эквивалентном определении Y^f) •

Теорема 2. Пусть f - конформное отображение полосы П в себя с конечными угловыми производными С^ ^JP тогда c+(/) = supln-^^-, zen Ime” '

Ime ^z) c-(/) = infln—-- 26П Imez

Доказательство: рассмотрим отображение ^*(^) = L° f ° И (z) , где н X е -l L^ = ~—: е + z

Г«) = 1п

in

где под логарифмом понимается непрерывная ветвь, принимающая значение 0 при ^ = 0.

Так как L конформно отображает полосу П на единичный круг А, то (р представляет собой конформное отображение единичного круга в себя. Кроме того, существуют угловые пределы

О) = lim^) = ±1, р'(±1) = lim^) •

В таком случае для угловых пределов справедливо

с" (/) = lim (z - /(z)) = limln Rez—>±«>                   ^->±1

<0-1

0 + 1

С учетом конечности С¹ (У) получаем равенства с⁺(/) = 1п^(1),с-(/) = -1п^(-1).

Для аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих условию ^р(А) С А , определим функционал:

|1-ноГ M iw=sup

«»1-1<р«)1 i-й

2 "

Тогда по теореме Жюлиа-Каратеодори в случае конечного Р* (^) выполняется

равенство /?+(?) = $?’(1).

Замечая, что

Rel±£

|1-<К<)Г |1-Й _ ^R 1-^

^ИГН^Г Re' + ^-l-V^)

и подставляя в формулу (3) выражение для (р (1) , получаем после преобразований

с" (f) = In ^(1) = supin-——. zen Ime^;

Аналогичными вычислениями, рассмотрев функционал

p" ^ = sup zgA

|1+ж£.МТ i -|^>|2' i - Й2

получаем необходимое выражение для С (/*).

Теорема доказана.

Отметим, что в случае f G Т_о имеет место равенство

c*(/) = lim(x-/to).                          ГО

Л->±33

Поскольку f из Т_о аналитична в Q и сохраняет вещественную ось, то условие конформности влечет f\x) > 0 при всех X G R. С другой стороны, используя принцип гиперболической метрики в полосе Q, получаем для всех Z 6 Q

|/'О)|     ,     1> cosIm(/(z)/2) cosIm(z/2)

Следовательно, 0 <  f '(х) < 1, значит функция Й(х) = X — f (х) не убывает на вещественной оси, что с учетом равенств (4) для f G T_Q дает

С-(/) S0

Решающим фактором в нашем исследовании, как и в оригинальной работе Левнера, является полугрупповая структура изучаемого класса функций. В частности, Левнером было установлено, что близость производной в нуле конформного отображения единичного круга в себя с нормировкой Римана к единице влечет «близость» отображения к тождественному. Следующая теорема устанавливает аналогичный результат для полугруппы То: близость уУУ) к 0 влечет «близость» отображения у к тождественному.

Теорема 3. Пусть f G Т_о, 0 < /(У) < 1пЗ, тогда для любого компакта К в полосе П существует константа МЦф такая, что для всех 2 G К

\f(z)-z\

Доказательство. Пусть f еТ₀, рассмотрим y(z) = У(г+С⁺(У)) - конформное отображение полосы П в себя. Легко видеть, что С⁺(У) = 0, С (У)<0, Y^H = Y^f) ^> 0. Конечность С¹ (У) влечет Re f (z) —> +оо при Rez —>±°о .

Как в (2), определим ф^') — L ° f ° L^X (z) - конформное отображение единичного круга в себя. Существуют угловые пределы ^>(±1) = lim^9(^) = ±1, ^'(+1) = lim^^z(^) и 5-»±\                                ^->±1

ф'(У) • ф (~ 1) — 1, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ф - мебиусово преобразование единичного круга (см., напр., [4]). Тогда из условий С⁺ (У) = 0, С (У) < 0 и равенств (3) следует <У(1) = 1, ф\~ 1) > 1. Таким образом, граничная неподвижная точка ^9(1) = 1 является точкой Данжуа-Вольфа отображения ф. Тогда (см. [4], теорема 4)

НгМ^И-п-!)-^.

Учитывая, что ^ = £(z), ^Z> ° £(z) = £ о y(z) и ^>'(—1) = в¹^, получаем а                 / -     \     24                                       (6)

^-ьЦ^М-^^

Отрезок Л, соединяющий точки 2 и f (z), целиком лежит в полосе П в силу ее выпуклости. Параметризуем отрезок X следующим образом: ^(/) = Z(z — y(z)) + /(z),

О < Z < 1. Тогда легко получаем оценку

V 2iew £(/(.))-£(;)=/ ole + Z

l2

- /(z) • j Im 0

ew

dt.

Покажем, что значение Im у-------у- отделено от нуля, когда ^(Z) отделена от (е<(,) + Zj бесконечно удаленных точек полосы. Для этого рассмотрим отображение

Легко видеть, что w(^) отображает двулистно полосу П на круг с центром в точке

— Z / 4 радиуса 1 / 4. При этом точке W = 0 соответствуют две бесконечно удаленные точки полосы п. Если точки zJ^eK, где К - компактное подмножество полосы П , то точка ^(/) = ?(z — y(z)) + f(z} отделена от бесконечно удаленных точек полосы П при всех 0 < Z < 1. Значит, ее образ W^(/)) отделен от нуля, тогда

Im

ew

2 ’

где М _х - некоторая константа, зависящая от выбора компакта К . С учетом последнего неравенства, получаем для любого ZEK

£(/(z))-£(z)>z-/(z)-M..

С другой стороны, по принципу открытости SUp|£(z)| < 1, поэтому для любого Z Е К zeK

1      24

Тогда с учетом (6) и (7) получаем для любого Z Е К

Мх

Щ^-^<ке

Теперь получим оценку для \f (z) — zj. Неравенство треугольника с учетом (5) дает |/(z) - z| < /(z - с⁺ (/)) -

Так как при 2 Е К точка (z-сЧОеК¹, где К' - компакт в полосе п , то из последнего соотношения с учетом (8) и равенства /(У*) = Ykf^ получаем для любого 2 Е К |/(_Z)-_Z|<(e"^,-1).M₃ + _Z(/), где М₃ - некоторая константа, зависящая от выбора компакта К'.

Так как при 0 < А < In 3 справедливо е^х — 1 < (3/ In 3)х, то для любого 2 Е К I/O) - _z| < _Z(/) ~ • n, + _z(/> = _у<л • м.

Теорема доказана.

Таким образом, окрестность единицы в полугруппе Т_о описывается в терминах функционала Y^f^ • Этот результат играет решающую роль в доказательстве дифференцируемости {g,} на [0; /₀].

• § 2.    Вспомогательные результаты

Для определения вида производной нам потребуется следующий аналог интегральной формулы Шварца.

Лемма 1. Пусть f (2) = U^Z^ + iv(z) - аналитическая в П функция, непрерывно продолжающаяся в П , принимающая вещественные значения на вещественной оси, имеющая конечные пределы при Re 2 —> ±00 и удовлетворяющая условию Im f (2) > 0 при 2 Е П , тогда для всех 2 Е П

• 1    г e^z -1 е^г                                              ^

№ = - Н---7" 1---7 • ^VO ^{+ i7t}W ⁺ /(°) • л; е + е 1 + е

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать f(0) = 0. По принципу симметрии Римана-Шварца f аналитически продолжается в Q = {2 : — ТС<1т2<тг}, где удовлетворяет условию (Im f (2))(1гП2) > 0.

Рассмотрим /'’(<£') = f °1 ' (^), где <У = /(2) = (в* ² — 1)/(е" ² +1). Заметим, что /(2) конформно отображает полосу Q на единичный круг А, причем полосе П соответствует А⁺ = ^ ' 6, < 1, Im^' >0^. Тогда F^^) - аналитическая в А функция, непрерывная в А. Пусть F^^U^ViV^, тогда из интегральной формулы Шварца с учетом F(0) = / (0) = 0 получаем

г(О = У-1£±^г(^)|^|.

Условие (Im/(2))(lm2) > 0 влечет F^^ = F{^ для Q Е А, поэтому V(к^-) = —V(zc) для К Е ЭА . Тогда с учетом аддитивности интеграла как функции множества получаем

F(O = 4 ff^-^Vwi^l.

2^-_ty^/c-< к-С)

где 5A- = ;<:|<| = Umf>0}. Замечая, что к + £ к + £ _  - 2(к- - к^

к-(^ к-£ 1-(а + аК + <²’ получаем для любого е А

Ж)=- f, Д^-ДД Ж) I * I • л91л-^к+к^+^

^ = Z(z), пусть Z = X + 1у, тогда ie х/2

ге х1г

к^к =

W -1)

1 + еЛ

1 + ел

dx.

Подставляя эти выражения в формулу (10), получаем г эсле преобразований f^ = F

е^х'² -1 ^^,2+1

л j e^z + е^х

--V^X + 1Л^Х.

1 + е^х

Лемма доказана.

При изучении семейства {g,} перенос рассуждений в окрестность тождественного преобразования позволяет осуществить понятие эволюционного семейства (см. [5]).

Определение 5. Двупараметрическое множество \w( s,0 < 5 < t < Zo } называется эволюционным семейством полугруппы То, если выполняются следующие условия:

-•^ ^ То, 0 < 5 < Z < Zo;

• п. w, = w, ° w., ,0<$ <Т <1

• iii. W, _s (z) —>Z локально равномерно в П при / — S —> 0 .

Пусть g, определены как ранее. Для 0 < 5 < ( < (₀, положив W,_$ (z) = g,' ° g_s(z), получаем эволюционное семейство полугруппы Т_о. Функция ⁼ g₅(z) отображает П на D_s, в то время как W = g₍' (Д) отображает D_t на П, причем D_s C_D_t. Поэтому при отображении g_t"' область D_s соответствует полосе П , из которой удален образ части кривой Г, выделяемой параметризацией ^ = 1/^т), S^T^t. Обозначим этот образ через В_{( (} Таким образом, функция W = W, Дг) отображает П на П \ В, _s. Пусть A_ls - множество граничных точек полосы П , соответствующих B_{t s}. Ясно, что A_{t s} целиком лежит на прямой Imz = Л.

Обозначим Л(/) = g,"' ((/(О) ■ Заметим, что Z = A(s) е А, (, эта точка соответствует точке Q — iy(s) при отображении gs и концу разреза B(s, не лежащему на прямой Imz = ^, при отображении Wf (. Точка УР=Я(() - это конец разреза В1$, лежащий на прямой Im z = л.

Лемма 2. Пусть Т g[s;(] и S Т Т, Z >L Г . Тогда множества A_{f s} и B_{; s} стягиваются в точку ^Т^) в соответствующих плоскостях. Кроме того, X - непрерывная на [0; Г_о] функция.

Доказательство. Из теоремы Каратеодори о граничном соответствии при конформном отображении следует, что при фиксированном t и S Т / множество B_{t $} стягивается в точку 2(/), а при фиксированном 5 и / 4 5 множество A, _$стягивается в точку 2(5).

Применение принципа длины и площади дает, что при Т е[5;/] ^и 5 Т Г, t V Т оба множества A, _s и B_ts стягиваются в точку А(т^ в соответствующих плоскостях.

Покажем теперь непрерывность функции А^Г). По теореме Каратеодори о сходимости к ядру W_{t $} (z) —>Z локально равномерно в П при / — 5 —> 0 . По принципу симметрии Римана-Шварца функция W ₅ (z) продолжается до аналитической функции в П' = {z:О A, _s, где также W,_s(z) —^ Z локально равномерно при ? - 5 —> 0.

Так как при фиксированном 5 и t >L S множество А_м стягивается в точку 2(5), то для любого £■ > 0 найдется 6 > 0 такое, что при /€ [5^5 + 5] множество A,_s сО_£(20))сП', где О_е (2(5)) - Е-окрестность точки 2(5), достаточно малая, чтобы O.(2(s))clT. Обозначим С_£ = ЗО^А^У С_с - компакте П', поэтому W_r;(z)—>Z равномерно на С_е при t — S —> 0. Пусть z₀ € С_£ , тогда

| ДО - 2(5)| < |2(5) - z0| + |z0 - w, s (z0 )] + |w, s (z0) - 2(0| < s + s + 4s = 6s.

Таким образом, 2(/) непрерывна справа, аналогичным образом доказывается непрерывность слева.

Лемма доказана.

Обозначим Q' = {z = 2(0,0 ^ / < /₀}. Заметим, что непрерывность 2(/) с учетом теоремы Кантора влечет следующее: множество Q - отрезок на прямой Imz — К. Пусть О = {z = 2(?) — 17Г,0< / < Z_o} - проекция отрезка Q' на вещественную ось.

Отметим монотонность /(w ) по / и 5 . Действительно, пусть Т G [у;?], тогда

^,.s СО = g? ° g_s О) = g? ° gr ° gr ’ ° gs (^Z) = ^W,.r ° ™r, CO •

В силу аддитивности функционала у имеем y(w, _$) = y(w_iT) + y^W^_v) / Значит, при фиксированном / и 5 Т / значение y(w,₅) монотонно убывает до нуля. Действительно, в силу последнего равенства и того, что /(w_r;) > О, получаем при 5 < Т < t

Y^,^>y^,TY

Аналогично при фиксированном 5 и t 4< У значение Y^ts^ монотонно убывает до нуля.

Обозначим через С гиперболический (в полосе П) полукруг, вырезаемый из полосы п гиперболической прямой, проходящей через точки к_х = А, + i.71, к₃ = Х₂ + ХК , Х_х< Х₂. За счет выбора точек х_ь х₂ разрез В, _s можно заключить в гиперболический полукруг С. Пусть J_c - конформное отображение П на П\С с нормировкой Rey(z)—>+оо при

Rez —> ±оо,/(0) = 0. Обозначим h = W^ ° f_c ■ В силу аддитивности функционала у выполняется /(w, _$) + yQ^ = Y^fcV^Т0ГДа

y(wJ

Элементарными вычислениями получаем, что

/(/ ) = InА.с          4е,|"Х2

Так как при £ — £ —> 0 разрез B_{t $}можно заключить в гиперболический полукруг С, такой что Х_г — Х₁ —> 0, то имеет место y^W, $) — YVfc ) ~^ ^ ^ПР^Иt ^— S —>Q .

Пусть теперь 0 < S < t < t₀. Тогда /(gj = y^g, ° W, J = /(g_$) + /(w, _s), отсюда видно, что y^g,) - непрерывная и строго монотонно убывающая на [0; Г_о] функция. Поэтому можно считать, что параметризация кривой Г выбрана так, чтобы выполнялось равенство /(g,) = t.-t, тогда y(w, J = t-S.

• § 3.    Доказательство теоремы 1

Покажем вначале дифференцируемость семейства {w, $} по t. Это будет следовать из локально равномерной липшицевости. Фиксируем 0 < 5 '"< /0 и точку z е К а П, где К - компакт. Тогда точка Wf s(z)gK’ сП, где К* — также компакт. Используя теорему 3 и условие параметризации /(w, 5) = / — 5 , получаем для любого Z € К к.* W - ^ьИ = Н^(и^(z)) - м^(z)| < М(К*) • ]г” - f|.

Семейство {w, $} также дифференцируемо по 5. Действительно, фиксируем 0 ^ s' < s" < t < t0 и точку Z € К С П , где К - компакт. Тогда точка W, $. (z) G К* CZ П, где К - выпуклый компакт, следовательно k' (2) ■ w-x <»| = k' (z)- wm- lws-.s (^))| ^ maxk$- (z)| •M(K,y\s''- s'|.

Найдем теперь вид производной. Рассмотрим семейство функций г ( X 2-W,+5 ,(z)

Л (2) =-----------, о < 5 < 5₀.

о

Заметим, что у. аналитична в П, непрерывно продолжается в п, принимает вещественные значения на вещественной оси и имеет конечные пределы при Rez —> +со , В силу принципа максимума для гармонических функций Imy,(z)>0 при zgH. Таким образом, выполнены условия леммы 1 и имеет место представление (9), которое можно записать в виде

• г - 1 е¹

f₆ (2) = J—----7 ' -----7 • Дц₈ (л),

• _д е" + е 1 + е

где Ц$ - мера, определяемая равенством с1ц6 (а) = - Im(y. (х + iTT^dx. л

Из двух последних равенств и определения /(w, 5) с учетом (4) получаем

⁵=r(^w._+s.t)=- /Мл о+^w •

71 R

Таким образом, Ц₅ - вероятностная мера. Заметим, что носитель меры (Л₈ сосредоточен на проекции на вещественную ось множества Л₁₊₈,. Но так как справедливо -А^₆₁cQ\ то меры Ц₈^ ^^8^8^ можно рассматривать как вероятностные меры на компакте Q.

Известно, что пространство V(^) борелевских зарядов на Q изоморфно пространству, сопряженному к пространству С(0) непрерывных на Q функций (см., напр., [6], гл. ГУ, § 6): С(0* =V(g), причем для V eV(0 и / € С(0 v(/) = \f dv .

По теореме Банаха-Алаоглу единичная сфера S G V(Q) .-слабо компактна (свойства слабой компактности см., напр., в [6], гл. V). Поэтому, если 8п 4 0, то Ц5 —> Д .-слабо и це8.

Ц - вероятностная мера. Поскольку по определению .-слабой сходимости для любой f € С(5) имеет место Ц₆ (f} —> Ц. Положив f = 1, получаем //(5) = 1, что с учетом

]Л Е S дает требуемое.

Легко видеть также, что Slipp/Z = к(т), к(т) = Л(т) — 1л. Тогда из интегрального представления функций /^. и определения .-слабой сходимости следует, что при 8 4 О r ez -1 e

^-1 ekW ez ^ekw ‘\^еЦтГ

Последнее соотношение позволяет определить вид производной по t:

— w,, (z) = lim at ^°

w,_+<>.,(w, _$(z))-w, _$(z) ___^2^izL ._ЛЛ

e^w-^(z)_{+ e}^ j _{+ e}k_W

= У^,Лг\^

Далее, IV, ₀ (z) = W,, ° W_{5 0}(z), дифференцируя no S сложную функцию, получаем

^-iv,₅(z) = -w;₅(z)-r(z,s) OS

Подставляя в последнюю формулу W^_s (z) = g_$ (z), приходим к уравнению (1).

Теорема доказана.