Уравнение состояния трехмерной системы частиц с N-ступенчатым потенциалом взаимодействия

Уравнение Перкуса–Йевика, предложенное в 1958 г. в работе [1], является одним из наиболее популярных в теории жидкостей аппроксимационных интегральных уравнений для парной корреляционной функции. Для реалистических потенциалов взаимодействия частиц (например, потенциал Леннарда-Джонса) уравнение Перкуса–Йевика не допускает аналитических решений и решается численно. В то же время, как было показано в работах [2–4], уравнение Перкуса– Йевика допускает точное аналитическое решение для системы твердых сфер. В указанных работах изучались одномерные и трехмерные системы. В 1968 г. Бакстером в работе [5] был предложен метод решения уравнения Перкуса–Йевика для системы твердых сфер в пространстве нечетной размерности. Метод Бакстера был усовершенствован в работе [6]. На сегодняшний день имеются аналитические решения уравнения Перкуса–Йевика для систем твердых сфер в пространствах размерности d = 1, 3, 5 и 7 [7]. Для четных размерностей пространства аналитические решения уравнения Перкуса–Йевика неизвестны. Шаг вперед был сделан в работе [8], авторы которой предложили «полуаналитическое» решение уравнения Перкуса–Йевика для системы твердых дисков на плоскости ( d = 2), сведя уравнение Перкуса–Йевика к системе более простых интегральных уравнений, далее решаемых численно.

В работах [9–10] было показано, что уравнение Перкуса-Йевика допускает решения в замкнутой аналитической форме для более сложной и реалистичной системы «коллапсирующих» твердых сфер (под системой «коллапсирующих» твердых сфер понимают систему частиц с одноступенчатым потенциалом отталкивания). Полученное решение было обобщено на одномерные системы с N -ступенчатым потенциалом взаимодействия и отражено в работе [11]. В настоящей статье мы обобщаем результаты работы [11] на трехмерные системы частиц.

Рассмотрим трехмерное уравнение Перкуса–Йевика

т ( г ) = 1 - p j r ( r ) f ( r ) d r + p j T ( r ‘ ) f ( r ' ) r ( r - r ‘ ) e ( r - r ‘ ) d r ' ,                     (1)

где e ( x ) ^ e~ ^e V ( x ⁾, f ( x ) = e ( x ) - 1, p - плотность частиц, в = ( kT ) ^{- 1}, V ( x ) — N -ступенчатый потенциал парного взаимодействия частиц (см. рисунок).

Парная функция распределения g ( x ) и прямая корреляционная функция С ( х ) в приближении Перкуса–Иевика имеют вид

g ( x ) = t ( x ) e ( x ), C ( x ) = t ( x ) f ( x ).                                 (2)

Для перехода к безразмерным переменным введем замену x = (г//), п = (nl3 р/6), l - радиус «твердого ядра». В уравнении (1) перейдем к биполярным координатам и проинтегрируем по угловой переменной, после чего применим одностороннее преобразование Лапласа к уравнению (1). В результате получим t [ F (t) + G (t)] = 1 + 2t4nK + 12n {[ F (t) - F (-1)] G (t) - Y( t) + Y(-1)},               (3)

где введены следующие функции:

Механика

N - 1       ⁵ p ^{+ 1}

F ( t ) = j h ( x ) e tx dx + E e ^ j h ( x ) e tx dx ,

p = ⁰       5 p

G ( t ) = E e p + 1 p j h ( x ) e tx dx + G * ( t ), p = ⁰       5 p

N ^{a p}

^{1 +} a p

Y ( t ) = E j e^ e (^2| e^dx j h ( x ') h ( x - x ') dx' ,

p = ⁰ a p - 1

1 + x

N - 1       ⁵ p ^{+ 1}

K = j xh ( x ) dx + E e p ² ) j xh ( x ) dx ,

p = ⁰       5 p

где e p ¹ = e

^{e Vp} , e^) = 1 - e * , h ( x ) = x t ( x ), G * ( s ) = J h ( x ) e ^{- tx}dx .

1 + a N

V

V 1

V ( x ) =«

V ,

V 2 ,

V 3 ,

0 < x < 5 0

5 0 < x < 5

5 < x < 5

i

5 2 < x < 5 3

V 2

• ••

V 3

V n ,

0,

5 n - 1 <  x <  5 n x >  5 n

V n

8 о

1+ a 1

1+ a 2

1+ a N —1 1+ a N

8 n -1      8 n

x

Многоступенчатый потенциал парного взаимодействия частиц в случае отталкивания

Выразим из (3) G ( t )

• ^{1    + 24} n K - F ( t ) - ¹2 ⁿ [ Y ( - 1 ) - Y ( t ) ]

G ( t ) = —----- t •

• 1    + ^ [ F ( - 1 ) - F ( t ) ]

Введем вспомогательную функцию

H ( t ) = t⁴G ( t ) | ^{1 + 2}4 ⁿ K - F ( - 1 ) + 12 ^ [ Y ( - 1 ) - Y ( t ) ] | + Y ( t ) + Y ( - 1 ).

I      t ²                         t

Рассуждения, аналогичные рассуждениям в работе [2], показывают, что

H ( t ) = Л 1 + Л ₂ 1 ² + Х ₃1 + Х ₄1 ³, где Х 1 , Х 2 , Х 3 , Х ₄ - константы. Так как функция H ( t ) является четной, то

H ( t ) = Х 1 + Х 2 1 ².

Исключая G ( t ) F ( - 1 ) из (8), а также учитывая (9) и (10), получим

• (8)

• (9)

Клебанов И.И., Гинчицкий H.H.

Уравнение состояния трехмерной системы частиц с N-ступенчатым потенциалом взаимодействия

G ( t ) + F ( t ) = 4 + - ( Y ( - t ) - Y ( t ) ) - b ( Y ( t ) + Y ( - t ) ) + ^H ( t ) - 2 _t   55

^ttt       (11)

• - a^G ( t ) - —G ( t ) ( Y ( - t ) - Y ( t ) ) + —G ( t ) F ( t ).

Обращая преобразование Лапласа и учитывая (2), получим явное выражение для функции h ( x ):

где коэффициенты C_i находятся из системы уравнений:

N - 1

C0 = b L s. f - p=0

f ( - 1)

f ₀

+ L s S1 f p ) p = 0

- 2 b L y p - p = 1

N и L y4 12 p=1

a ^- N L _s (1) f ( p )

² p = 0

C = a 1 + b L s P ¹) f ^{( p} )

p = 0

N

C 2 = b4b L y ,1 ^p ) - 2 f t ^{- 1} )

b

p = 1

(2)    ( p )

L ^s p + i f о p = 0

b

3 ^{( - 1)} + L s £1 f ( ^p ) p = 0

- a L p=0

C 4 = 24 a b где s p ¹ = e~ ^e V ^p , sp²⁾

= 1 - s p), b = 12 n ,

1                        ⁵ p + 1                             <          N - 1            )

/_и ^{(- 1)} = J x n h ⁽ x ) dx , f n ^p ) = J xⁿh ⁽ x ) dx , a = ¹ + ²⁴ n f 1 ^{( - 1)} + L ^s p ²+ )1 f 1 ^{( p} )

0                      5 _P                         I         p = 0 "  J

y n ^P ) = j x"y p ( x ) dx , y p ( X ) = ^a ( p - 1)

s⁴⁾ s p ²⁾ j p h ( X ') h ( X - X ' ) dx '.

1 + X

Система (13) должна быть дополнена условием C ₀ = 0 исходя из требования конечности функции τ ( x ).

Уравнение состояния для системы с N -ступенчатым потенциалом парного взаимодействия

P ρ kT

= 1 —— f r ( r ) dVd r 6 kT      d r

приводится к виду п 16nT f, л s'1) h (50) + L1(sp'+1 - sp") h (5p) + s® h (5n )

.                   p = 1

n

Таким образом, для произвольного N -ступенчатого потенциала парного взаимодействия частиц уравнение Перкуса–Йевика допускает решение в замкнутой аналитической форме и для трехмерных систем.

В случае непрерывного потенциала взаимодействия частиц развитый нами метод позволяет строить аппроксимационные решения уравнения Перкуса–Йевика на основе аппроксимации непрерывного потенциала N -ступенчатым.

Работа второго автора выполнена при финансовой поддержке правительства Челябинской области (грант 002.02.04-08.БХ)