Уравнение замкнутости для биортогональной системы функций
Автор: Базаренко Николай Андреевич, Пешхоев Иса Мусаевич
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 1 (52) т.11, 2011 года.
Бесплатный доступ
Получено уравнение замкнутости для биортогональной системы функций. Определены свойства замкнутых систем функций, позволяющие решать контактные задачи теории упругости для тел конечных размеров - прямоугольника, круглой плиты, цилиндров конечной длины и т.д.
Уравнение замкнутости, однородные решения
Короткий адрес: https://sciup.org/14249497
IDR: 14249497
Текст научной статьи Уравнение замкнутости для биортогональной системы функций
Введение . При решении в цилиндрической системе координат r , ф , z осесимметричной задачи теории упругости для круглой плиты находятся так называемые однородные решения [1-5], оставляющие свободным от напряжений торец плиты r = 1 и соответствующие бигармоническим функциям Ф k ( r , z ), k = 0,1, - :
Х о 1 ф о = c o [ v zr 2 + v 2 z 3 /3] + d o ( r 2 / 2 - z 2), ф о ( z ) = 2 c 0 z + 2 d 0 ,
X п1ф n = Yn1[enJ0(Y nr )+ rJ 1J 1(Y nr )]ф n(z X ф n(z ) = dnchY nz + cnshYnz , ar = £'an(r)фП(z), £'Tk(r)фk(z) = T(r,z), £'Pk(r)фк(z) = P(r,z),(1)
n = 0 k=0
где T k ( r ) = iu k ( r ) + j т kz ( r ), P k ( r ) = i a k ( r ) - ju r ( r ) - собственные векторные функции,
T = ill z ( r, z) + j т rz (r,zX P = ia z (r,z)- j ur (r,z), l - 2Gur = £'ukr (r)фk(z), иz - 2Guz = £'uzk(r)фk(z), en = J0 + V0Y-1 J1, k=0
a0(r) = V1X0, u0(r) = X0, т0(r) = 0, u0(r) = -vrX0, v0 = 2 - 2v, V1 =1 + v , an(r) = Yn (J2J0(Ynr) - rJ1J1 (Ynr))Xn, uzn(r) = (an(r) - 2vJ1J0(Ynr))Xn, тnz(r) = Yn(J0J1(Ynr)- rJ 1J0(Ynr))Xn, un(r) = (enJ1(Ynr)- rJ1J0(Ynr))xn,
G - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона, x 0 = 7 2/ v 1 , v 2 = 1 - 2 v ; J v ( y nr ), J v - J v ( y n )
-
- функции Бесселя, y k - корни уравнения [5]:
v 0 J 1 2 -Y k ( J 1 2 + J 0 2 ) = 0, Re Y k ^ 0; k = 0,1, - ,
X 0 и x n = ( v 2 J j 3 J 2/ Y n -v 0 J 1 4 ) 1/2 ( n = 1,2, - ) - нормирующие множители.
Здесь и далее штрих у знака суммы означает укороченную запись
£' G k ( y k , r , z ) - G 0 + 2Rek G n 1 ( Y 0 = 0, Re Y n ,1m Y n > 0, n = 1,2, - ) .
k = 0 \ n = 1 /
Векторные функции T n ( r ), P m ( r ) , соответствующие собственным значениям y n , y m ( m , n = 0,1, - ) , а также другие функции
U n =j| T n ( t ) dt , U m =- ( rP m ( r ) ) , V n = j P n ( t ) dt , V m 11
- ( rT m ( r ) )
образуют биортогональные нормированные системы
1 11
Оо j Tn (r) • Pm (r) rdr = j Un (r) • Um (r) dr = J Vn (r) • Vm (r) dr
0 00
1, m = n , 0, m ^ n.
На границе плиты z = zs (z0 = 0, z 1 = h) функции rr
U (r, zs) = j T (t) dt, V (r, zs) = j P (t) dt с учетом условий (3) можно разложить в обобщенные ряды Фурье: ОО
U = S' fk, sUk (r) = S' ЯsUk (r), V = S' fk, V (r) = S' ~, sVk (r), k=0 k=0 k=0
где коэффициенты Фурье функций U , V определяются формулами:
fk,s = j U(r, zs) • Uk (r)dr = j (uzзk - Trzuk) rdr, rk,s = j U(r, zs) • Uk (r)dr, 0 00
f k , s = j V ( r , z s ) • V k ( r ) dr = j ( з z Uk z- U r T kz ) rdr , f^ , = j V ( r , z s ) • Vк ( r ) dr •
00 0
Условие (3) связано с возможностью почленного интегрирования рядов (1) и лежит в основе методики решения контактной задачи для круглой плиты. Как показывает апостериорный анализ, ряды (1) являются расходящимися и, следовательно, возможность их интегрирования необходимо еще доказать. В настоящей работе автор обосновывает правомерность почленного интегрирования рядов типа (1), которые используются в работах [1-5].
Решение задачи. Рассматривается система равенств на границе плиты z = zs :
ОО
U = S' fk, sUk (r), V = S' fk, V (r) (fk, s-Ф k (zs), fk, s- (zs)), k=0
где координаты векторов U, V определяются функциями uz,trz, зz,ur, которые соответствуют бигармонической функции Ф(r,z) = 2'фk при z = zs• k=0
Поскольку на границе z = zs функцию Ф ( r , z ) можно подчинить только двум условиям, то из четырех координатных функций независимыми будут две.
Замечание 1. Если удовлетворено только одно уравнение системы (5)
r
r
S' fk , s U k ( r ) = U ( r , z s ) = i j u z ( t , zs ) dt + j j T rz ( t , zs ) dt ,
k = 0
где uz ( r , zs ), т rz ( r , zs ) - заданные независимые функции, то второе уравнение системы выполняется автоматически, т.е. система двух равенств (5) эквивалентна, например, одному уравнению (6).
Следуя схеме исследования рядов Фурье, описанной в [6, с.414-424], заменим бесконечные ряды в равенствах (5) их частичными суммами и оценим погрешности, которые п ол у чаются в результате такой замены. За меру приближения n -х частичных сумм к функциям U , V примем средние квадратические погрешности е n ,~ n . Введем обозначения:
-
- — n , —О - — n ~ —О
tn = U(r,zs)-S' fk,sUk(r), rn = V(r,zs)- S' fk,sVk(r) , k=0 k=0
e 2
1- 2 1—2 n
= j t n dr = j U - S' f„U k ( r ) • ( U + 1
0 L
k = 0
n ) dr ,
2 е n
L— 2 г —2 n , — —о /— —
^ j r n dr = j V - S' f k , s V k ( r ) • ( V + r,
0 0 L k =0
n
: n ) dr .
Здесь t n , r n - уклонения n -х частичных сумм от функций U ( r , zs ), V ( r , zs ).
Если для любой бигармонической функции Ф ( r , z ) мы докажем , что е n ^ 0 , когда n ^ да,
(тогда в силу замечания 1 и t n , rn , е n ^ 0 ) то, переходя к пределу в равенствах (7) при n ^ да и принимая во внимание формулы (4), получим:
1 да 1 да ~ ~
J I U ( r , Z s ) | 2 dr = £' fk , f s , J I V ( r , Z s ) | 2 dr = V f , s ~ s . (9)
0 k = 0 0 k = 0
Уравнения (9) можно назвать обобщенными уравнениями замкнутости для функций | U |, | V | по отношению к биортогональной системе функций (2).
Система функций (2) является замкнутой и полной, так как уравнения (9) справедливы для любой бигармонической функции Ф ( r , z ), через которую определяются левые части этих уравнений. Указанные выше свойства системы функций (2) тесно связаны [7].
Вернемся к обоснованию условия (8). Для частной бигармонической функции Ф = r 2 z 2 - 2 z 4 /3 по формулам:
еz = (V 0А- 52 )Ф, Иz = [(2 - v) А - 52 ]dzФ, ur = -drdz Ф, т rz = d r [(1 -v)A-d 2]Ф, Ад 2 + r -15 r id\ находим перемещения uz, ur, напряжения иz, тrz и величину е2 при z, = 1:
~ z = 2v 2 r2 + 8vz12, и z = 8vz„ ur = -4 z, r, т rz = -4v r, fk 1 = J (иk (r)~z - ur (r)тrz )rdr = ^J fvJ2 + — J1 k , k = 1,2 - , J0 Y k I Y kJ г 1 + 7v + 4v.
f ),1 =----- 2----- x 0 , U ( r , z 1 ) = ip + jq ,
r q = JT rz(t, z1) dt = -2v(r 2 - 1),
r
p(r, z1) = fеz(t, z1)dt=- v 2(r 3 - 0+8v(r - 1), ,3
tn = iE ( n , r ) + jR ( n , r ) ,
r
n
E ( n , r ) = p ( r , z 1 ) - f 0,1 J u z 0 ( t ) dt - 2 Re < ^ fk ,1 J u ( k , r ) ’ =
2 ,3 n 4 v 2 +v- 1
= ^v2 ( r 3 - 1) +-----------
3 v 1
r
I k = 1
n
( r - 1) - 2Re < £ fk ,1 Ju ( k , r ) [ , . k = 1
n
R ( n , r ) = q ( r , z 1 ) - f 0,1 J т rz ( t ) - 2 Re j ^ n^f k ,1 J т ( k , r ) ’ =
n
= - 2 v ( r 2 - 1) - 2Re < ^ fkдJ т ( k , r ) > ,
. k = 1
I k = 1 J
r
J т ( k , r ) = J y rz ( t ) dt ,
r
J u ( k , r ) = J е z k ( t ) dt = x k ( v 2 J 1 - Y k J 0) ( rR ( z ) - R ( Y k ) )+ J 1 ( rJ 0( z ) - J 0 ) x k , 1
T Y v ( z ) = ( H v ( z ) - Y v ( z )) n /2, R ( z ) = H ~ 0 ( z ) J 1 ( z ) - ( H ~ 1 ( z ) - 1 ) j 0 < z ), kr > 20 ,
r
J u ( k , r ) = x k J[ ( v 0 J 1 -Y k J 0 ) J 0( Y k t ) -Y k tJ 1 J 1( Y k t ) ] dt (если kr ^ 20 ), 1
~ _Л( z /2) v 4 k Г ( k + 1/2) . - 1
Hv = ^ Z , 2 k+1 , J т (k, r) = x k {v0J1 Y k Y k [J0J0(z) + rJ1J1(z)]}, k=0 1 (v +1/2 - k) z e2 =J(E (n, r )2 + R (n, r )2 )dr. (10)
Здесь H v ( z ) и Y v ( z ) ( v = 0,1; z = y k r ) — функции Струве и Бесселя [5,8]; для значений kr < 20 интеграл J u ( k , r ) находится численно.
Вычисляя величину е 2 по формуле (10) при z 1 = 1, v = 0.3, получим:
е 4 = 1.71 - 10 - 3, е 4 0 = 4.88 - 10 - 6, е ^ 00 = 2.99 - 10 - 8 и т.д.
То есть численно установлено, что в частном случае е n ^ 0 при n ^да . По-видимому, это свойство выполняется для тех бигармонических функций Ф ( r , z ), для которых существуют интегралы от квадратов функций U , V и можно вычислять обобщенные коэффициенты Фурье по формулам (4).
Важным следствием формул (9) являются соотношения (5), которые перепишем в виде: r rrr
J T (t, zs ) dt = £‘ fk s J Tk (t) dt, J P (t, zs ) dt = £‘ fk, s J Pk (t) dt, r G[0,1] .(11)
1 k=0 1 1 k=0
Если бы мы знали, что ряды (1) при z = z s сходятся равномерно, то равенства (4), (5), (11) были бы очевидными.
Замечание 2. Формулы (4), (11) всегда справедливы, даже если ряды (1) не сходятся, т.е. оказывается, что ряды (1) можно интегрировать почленно так, как будто бы они равномерно сходятся и имеют суммы, равные T , P , причем ряды, стоящие в правых частях равенств(5), (11), сходятся равномерно для всех значений r G [0,1] (см. свойства замкнутых систем ортогональных функций [6, с.455].
Выводы . Применение в работах [1-5] условия ортогональности (3) и связанное с этим условием интегрирование расходящихся рядов типа (1) можно считать правомерной операцией, не приводящей к ошибочным результатам.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-08-00839-а).
Список литературы Уравнение замкнутости для биортогональной системы функций
- Александров В.М. Контактная задача для прямоугольника со свободными от напряжений боковыми гранями/В.М. Александров, Н.А. Базаренко//ПММ. -2007. -Т.71. -Вып.2. -С.340-351.
- Базаренко Н.А. Контактная задача для полого и сплошного цилиндров со свободными от напряжений торцами/Н.А. Базаренко//ПММ. -2008. -Т.72. -Вып.2. -С.328-341.
- Базаренко Н.А. Взаимодействие полого цилиндра конечной длины и плиты с цилиндрической полостью с жестким вкладышем/Н.А. Базаренко//ПММ. -2010. -Т.74. -Вып.3. -С.126-139.
- Базаренко Н.А. Взаимодействие жесткого штампа с закрепленным по основанию упругим прямоугольником со свободными от напряжений боковыми гранями/Н.А. Базаренко//ПММ. -2010. -Т.74. -Вып.4. -С.113-128.
- Базаренко Н.А. Контактная задача для круглой плиты со свободным от напряжений торцом/Н.А. Базаренко//ПММ. -2010. -Т.74. -Вып.5. -С.25-41.
- Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.II./В.И. Смирнов. -16-е изд. -М.: Физматгиз, 1958. -628 с.
- Кампе де Ферье Ж. Функции математической физики/Ж. Кампе де Ферье, Р. Кемпбелл, Г. Петьо [и др.]. -М.: Физматгиз, 1963. -104 с.
- Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables// Eds M. Abramowitz and Stegun. Washington: Gov. Print off., 1964. // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / под ред.М. Абрамовица и И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 830 с.
- Aleksandrov V.M. Kontaktnaya zadacha dlya pryamougol'nika so svobodnymi ot napryajenii bokovymi granyami/V.M. Aleksandrov, N.A. Bazarenko//PMM. -2007. -T.71. -Vyp.2. -S.340-351. -In Russian.
- Bazarenko N.A. Kontaktnaya zadacha dlya pologo i sploshnogo cilindrov so svobodnymi ot napryajenii torcami/N.A. Bazarenko//PMM. -2008. -T.72. -Vyp.2. -S.328-341. -In Russian.
- Bazarenko N.A. Vzaimodeistvie pologo cilindra konechnoi dliny i plity s cilindricheskoi polost'yu s jestkim vkladyshem/N.A. Bazarenko//PMM. -2010. -T.74. -Vyp.3. -S.126-139. -In Russian.
- Bazarenko N.A. Vzaimodeistvie jestkogo shtampa s zakreplennym po osnovaniyu uprugim pryamougol'nikom so svobodnymi ot napryajenii bokovymi granyami/N.A. Bazarenko//PMM. -2010. -T.74. -Vyp.4. -S.113-128. -In Russian.
- Bazarenko N.A. Kontaktnaya zadacha dlya krugloi plity so svobodnym ot napryajenii torcom/N.A. Bazarenko//PMM. -2010. -T.74. -Vyp.5. -S.25-41. -In Russian.
- Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki. T.II./V.I. Smirnov. -16-e izd. -M.: Fizmatgiz, 1958. -628 s. -In Russian.
- Kampe de Fer'e J. Funkcii matematicheskoi fiziki/J. Kampe de Fer'e, R. Kempbell, G. Pet'o [i dr.]. -M.: Fizmatgiz, 1963. -104 s. -In Russian.
- Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables//Eds M. Abramowitz and Stegun. Washington: Gov. Print off., 1964.