Уравнение замкнутости для биортогональной системы функций

Введение . При решении в цилиндрической системе координат r , ф , z осесимметричной задачи теории упругости для круглой плиты находятся так называемые однородные решения [1-5], оставляющие свободным от напряжений торец плиты r = 1 и соответствующие бигармоническим функциям Ф _k ( r , z ), k = 0,1, - :

Х _о 1 ф _о = c o [ v zr ² + v ₂ z ³ /3] + d o ( r ² / 2 - z ²), ф о ( z ) = 2 c 0 z + 2 d 0 ,

X п1ф n = Yn1[enJ0(Y nr )+ rJ 1J 1(Y nr )]ф n(z X ф n(z ) = dnchY nz + cnshYnz , ar = £'an(r)фП(z), £'Tk(r)фk(z) = T(r,z), £'Pk(r)фк(z) = P(r,z),(1)

n = 0                   k=0

где T k ( r ) = iu k ( r ) + j т k_z ( r ), P k ( r ) = i a k ( r ) - ju r ( r ) - собственные векторные функции,

T = ill z ( r, z) + j т rz (r,zX P = ia z (r,z)- j ur (r,z), l - 2Gur = £'ukr (r)фk(z), иz - 2Guz = £'uzk(r)фk(z), en = J0 + V0Y-1 J1, k=0

a0(r) = V1X0, u0(r) = X0, т0(r) = 0, u0(r) = -vrX0, v0 = 2 - 2v, V1 =1 + v , an(r) = Yn (J2J0(Ynr) - rJ1J1 (Ynr))Xn,     uzn(r) = (an(r) - 2vJ1J0(Ynr))Xn, тnz(r) = Yn(J0J1(Ynr)- rJ 1J0(Ynr))Xn, un(r) = (enJ1(Ynr)- rJ1J0(Ynr))xn,

G - модуль сдвига; v - коэффициент Пуассона, x ₀ = 7 2/ v 1 , v ₂ = 1 - 2 v ; J _v ( y _nr ), J _v - J _v ( y _n )

• - функции Бесселя, y _k - корни уравнения [5]:

v 0 J 1 ² -Y k ( J 1 ² + J 0 ² ) = 0, Re Y k ^ 0; k = 0,1, - ,

X ₀ и x _n = ( v 2 J j ³ J ₂/ Y _n -v ₀ J 1 ⁴ ) ^1/2 ( n = 1,2, - ) - нормирующие множители.

Здесь и далее штрих у знака суммы означает укороченную запись

£' G k ( y k , r , z ) - G 0 + 2Rek G n 1    ( Y 0 = 0, Re Y n ,1m Y n >  0, n = 1,2, - ) .

k = 0                                \ n = 1 /

Векторные функции T n ( r ), P m ( r ) , соответствующие собственным значениям y _n , y _m ( m , n = 0,1, - ) , а также другие функции

U n =j| T n ( t ) dt , U m =- ( rP m ( r ) ) , V n = j P n ( t ) dt , V m 11

- ( rT m ( r ) )

образуют биортогональные нормированные системы

1                                                    11

Оо j Tn (r) • Pm (r) rdr = j Un (r) • Um (r) dr = J Vn (r) • Vm (r) dr

0                           00

1, m = n , 0, m ^ n.

На границе плиты z = zs (z0 = 0, z 1 = h) функции rr

U (r, zs) = j T (t) dt,      V (r, zs) = j P (t) dt с учетом условий (3) можно разложить в обобщенные ряды Фурье: ОО

U = S' fk, sUk (r) = S' ЯsUk (r),    V = S' fk, V (r) = S' ~, sVk (r), k=0                 k=0                          k=0

где коэффициенты Фурье функций U , V определяются формулами:

fk,s = j U(r, zs) • Uk (r)dr = j (uzзk - Trzuk) rdr, rk,s = j U(r, zs) • Uk (r)dr, 0                             00

f k , s = j V ( r , z s ) • V k ( r ) dr = j ( з z U^k z- U r T kz ) rdr , f^ , = j V ( r , z s ) • Vк ( r ) dr •

00 0

Условие (3) связано с возможностью почленного интегрирования рядов (1) и лежит в основе методики решения контактной задачи для круглой плиты. Как показывает апостериорный анализ, ряды (1) являются расходящимися и, следовательно, возможность их интегрирования необходимо еще доказать. В настоящей работе автор обосновывает правомерность почленного интегрирования рядов типа (1), которые используются в работах [1-5].

Решение задачи. Рассматривается система равенств на границе плиты z = z_s :

ОО

U = S' fk, sUk (r), V = S' fk, V (r) (fk, s-Ф k (zs), fk, s- (zs)), k=0

где координаты векторов U, V определяются функциями uz,trz, зz,ur, которые соответствуют бигармонической функции Ф(r,z) = 2'фk при z = zs• k=0

Поскольку на границе z = z_s функцию Ф ( r , z ) можно подчинить только двум условиям, то из четырех координатных функций независимыми будут две.

Замечание 1. Если удовлетворено только одно уравнение системы (5)

r

r

S' ^fk , s ^U k ^{( r} ) = ^{U ( r} , ^z _s ) ⁼ i j u z ⁽ t , z_s ) dt + j j ^T rz ⁽ t , z_s ) dt ,

k = 0

где u_z ( r , z_s ), т _rz ( r , z_s ) - заданные независимые функции, то второе уравнение системы выполняется автоматически, т.е. система двух равенств (5) эквивалентна, например, одному уравнению (6).

Следуя схеме исследования рядов Фурье, описанной в [6, с.414-424], заменим бесконечные ряды в равенствах (5) их частичными суммами и оценим погрешности, которые п ол у чаются в результате такой замены. За меру приближения n -х частичных сумм к функциям U , V примем средние квадратические погрешности е _n ,~ _n . Введем обозначения:

• -   —        ⁿ ,   —О        -   —         ⁿ ~ —О

tn = U(r,zs)-S' fk,sUk(r),     rn = V(r,zs)- S' fk,sVk(r) , k=0                                           k=0

_e 2

1- 2      1—2     ⁿ

= j t n dr = j U - S' f„U k ( r ) • ( U + 1

0 L

k = 0

n ) dr ,

^{2 е} n

L— 2 г —2     ⁿ , — —о     /— —

^ j r n dr = j V - S' f k , s V k ^{( r} ) • ( V + r,

0           0 ^{L        k} =⁰

n

^: n ) d^r .

Здесь t n , r n - уклонения n -х частичных сумм от функций U ( r , z_s ), V ( r , z_s ).

Если для любой бигармонической функции Ф ( r , z ) мы докажем , что е _n ^ 0 , когда n ^ да,

(тогда в силу замечания 1 и t n , r_n , е n ^ 0 ) то, переходя к пределу в равенствах (7) при n ^ да и принимая во внимание формулы (4), получим:

1                     да                      1                     да ~ ~

J I U ( r , Z s ) | 2 dr = £' f_k , f s ,        J I V ( r , Z s ) | 2 dr = V f , s ~ s .                     (9)

0                      ^k = ⁰                      0                      ^k = ⁰

Уравнения (9) можно назвать обобщенными уравнениями замкнутости для функций | U |, | V | по отношению к биортогональной системе функций (2).

Система функций (2) является замкнутой и полной, так как уравнения (9) справедливы для любой бигармонической функции Ф ( r , z ), через которую определяются левые части этих уравнений. Указанные выше свойства системы функций (2) тесно связаны [7].

Вернемся к обоснованию условия (8). Для частной бигармонической функции Ф = r ² z ² - 2 z ⁴ /3 по формулам:

еz = (V 0А- 52 )Ф,    Иz = [(2 - v) А - 52 ]dzФ,    ur = -drdz Ф, т rz = d r [(1 -v)A-d 2]Ф,    Ад 2 + r -15 r id\ находим перемещения uz, ur, напряжения иz, тrz и величину е2 при z, = 1:

~ z = 2v 2 r2 + 8vz12, и z = 8vz„   ur = -4 z, r,   т rz = -4v r, fk 1 = J (иk (r)~z - ur (r)тrz )rdr = ^J fvJ2 + — J1 k , k = 1,2 - , J0                               Y k I       Y kJ г    1 + 7v + 4v.

f ),1 =----- 2----- x 0 , U ^{( r} , ^z 1 ) = ip + jq ,

r q = JT rz(t, z1) dt = -2v(r 2 - 1),

r

p(r, z1) = fеz(t, z1)dt=- v 2(r 3 - 0+8v(r - 1), ,3

t_n = iE ( n , r ) + jR ( n , r ) ,

r

n

E ⁽ n , ^r ) = p ^{( r} , ^z 1 ) ^- f 0,1 J ^u z ^{0 (} t ) ^{dt - 2 Re <} ^ fk ,1 ^J u ^{( k} , ^r ) ’ =

2  ,_{3 n}   4 v ² +v- 1

= ^v2 ( r ³ - 1) +-----------

^{3                     v} 1

r

I k = 1

n

( r - 1) - 2Re < £ f_k ,1 J_u ( k , r ) [ , . k = 1

n

^{R (} n , ^r ) = q ^{( r} , ^z 1 ) ^- f 0,1 J ^т rz ⁽ t ) ^{- 2} Re j ^ n^f k ,1 J т ^{( k} , ^r ) ’ =

n

= - 2 v ( r ² - 1) - 2Re < ^ f_kдJ т ( k , r ) > ,

. k = 1

I k = 1                    J

r

J т ( k , r ) = J y rz ( t ) dt ,

r

^J u ^{( k} , ^r ) = J ^е z ^{k (} t ) ^dt = x k ^{( v} 2 ^J 1 ^- Y k ^J 0^{) ( rR ( z} ) ^- R ⁽ Y k ^{) )+ J} 1 ^{( rJ} 0^{( z} ) ^{- J} 0 ) x k , 1

T Y v ( z ) = ( H v ( z ) - Y v ( z )) n /2, R ( z ) = H ~ 0 ( z ) J 1 ( z ) - ( H ~ 1 ( z ) - 1 ) j 0 < z ), kr >  20 ,

r

^J u ^{( k} , r ) = x k J^{[ ( v} 0 ^J 1 ^-Y k ^J 0 ) ^J 0⁽ Y k t ) ^-Y k ^tJ 1 ^J 1⁽ Y k t ^{) ] dt (если} kr ^ 20 ), 1

~ _Л( z /2) ^v 4 ^k Г ( k + 1/2)                 . - 1

Hv = ^ Z ,         2 k+1 , J т (k, r) = x k {v0J1 Y k   Y k [J0J0(z) + rJ1J1(z)]}, k=0 1 (v +1/2 - k) z e2 =J(E (n, r )2 + R (n, r )2 )dr.                                        (10)

Здесь H _v ( z ) и Y _v ( z ) ( v = 0,1; z = y k r ) — функции Струве и Бесселя [5,8]; для значений kr <  20 интеграл J u ( k , r ) находится численно.

Вычисляя величину е 2 по формуле (10) при z 1 = 1, v = 0.3, получим:

е 4 = 1.71 - 10 - ³,      е 4 ₀ = 4.88 - 10 - ⁶,      е ^ ₀₀ = 2.99 - 10 - ⁸ и т.д.

То есть численно установлено, что в частном случае е n ^ 0 при n ^да . По-видимому, это свойство выполняется для тех бигармонических функций Ф ( r , z ), для которых существуют интегралы от квадратов функций U , V и можно вычислять обобщенные коэффициенты Фурье по формулам (4).

Важным следствием формул (9) являются соотношения (5), которые перепишем в виде: r     rrr

J T (t, zs ) dt = £‘ fk s J Tk (t) dt, J P (t, zs ) dt = £‘ fk, s J Pk (t) dt, r G[0,1] .(11)

1                     k=0       1                    1                     k=0

Если бы мы знали, что ряды (1) при z = z _s сходятся равномерно, то равенства (4), (5), (11) были бы очевидными.

Замечание 2. Формулы (4), (11) всегда справедливы, даже если ряды (1) не сходятся, т.е. оказывается, что ряды (1) можно интегрировать почленно так, как будто бы они равномерно сходятся и имеют суммы, равные T , P , причем ряды, стоящие в правых частях равенств(5), (11), сходятся равномерно для всех значений r G [0,1] (см. свойства замкнутых систем ортогональных функций [6, с.455].

Выводы . Применение в работах [1-5] условия ортогональности (3) и связанное с этим условием интегрирование расходящихся рядов типа (1) можно считать правомерной операцией, не приводящей к ошибочным результатам.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-08-00839-а).