Уравнения дробного порядка для диффузии и релаксации в фрактальных средах

Целью работы являются два примера на применение дробного исчисления. Это простой модельный пример решения дробного уравнения, описывающего аномальную релаксацию и диффузию во фрактальных[1–5] пространствах и времени, который ранее рассматривался, например, в работах [6, 7].

Вторым примером является квантовый случай, где мы рассматриваем решение обобщенного квантовостатистического уравнения Неймана–Колмогорова для статистического оператора, ранее полученного методом случайных траекторий [8, 9], для фрактальных пространства и времени.

В обоих случаях для контраста сначала рассматриваем уравнение и его решение в целочисленном дифференциальном исчислении и затем его обобщение в дробном исчислении.

• 1.    Диффузия и релаксация в классической системе

Рассмотрим классическую задачу Коши для функции f ( x,t ) где переменными являются координаты x =(x 1 , x 2 , x 3 ) и время t (0

fxt) = GV 2 f (x.t)-1 f (x,t), (1.1) dt т где G - коэффициент диффузии, V2 = A -оператор Лапласа, τ – время релаксации.

Это уравнение описывает трехмерный нестационарный массообменный процесс при постоянном коэффициенте диффузии. Его фундаментальное решение в трехмерном случае хорошо известно [10]:

f ( x,t ) = 8 ¹ ( n Gt ) 2 exp <

—

x ²

4 Gt

—

t

- [ . (1.2) т

Обобщение уравнения (1.1), описывающее стохастический перенос во фрактальных пространстве и времени, имеет вид [6]

Da f (x,t ) = G V2е f (x,t) — -1 f (x,t), та

(0< α ≤1), (0< 2β ≤1)        (1.3)

с начальным условием f ( x,t = 0 ) = f 0 ( x ) .

Здесь приводится регуляризованная дробная производная Римана–Лиувилля по времени t [7]

Решение уравнения (1.10) – это функция Миттаг-Леффлера (см. приложение, формулу (П1))

Df (x. t )= D0+f (x. t)-7771—г fax) = 1(1 - a) t

F ( k , t ) = F o ( k ) E , .,

ta ^

—

к

T ^a

,1 . - f f (x. 0) (t - e)-a de r(1 -a)dt Jo       л ’

- 1 ^f > ( x )

r(1 -a) ta

(1.4)

F (k )f н<2£:]>

0 „=0       r(a n +1)

Применяя получаем

(1.12)

обратное Фурье преобразование,

где Γ(1-α) – гамма функция.

Будем искать фундаментальное решение уравнения (1.3). Применим к нему прямое комплексное преобразование Фурье по координате x :

f

—- f e i^F ( ^k . td =

( 2 n ) -f

1 w

f

f

f dke ik F ( k ) £

2 ₽ -

(1.13) ⁿ

_-a a n

T t

-w

n = 0

r ( a n + 1 )

f f ( x . t ) e ^{- ikx}dx = F ( k . t ) .

-f k = ( ki. k 2. kз).(1.5)

F x [ D o “₊ f ( x , t ) ] = D o “₊ F ( k , t ) .

[V2е f (x,t )]=(- ik Г F (k,t) ].(1.6)

где (- ik)2e = |k|2₽ exp(— inP sign k).(1.7)

F [ f (t)] =

(2n)

Рассмотрим частные случаи формулы (1.13).

а) Если коэффициент диффузии G = 0, возникает чистая аномальная релаксация, описываемая уравнением

Dt f (x,t )=- -1 f (x,t) Ta

(1.14)

Радиальная часть дробного лапласиана может быть представлена виде [1]

c начальным условием f ( x,t = 0 ) = f 0 ( x ) .

Решением уравнения (1.14) является функция Миттаг-Леффлера, которая играет роль экспоненциальной функции в дробном

исчислении

V 2 ^е =

1    d ^e ( „ - 1 5 ^е ^

r^{n - 1} d r ^e [ r    d r ^e _?

(1.8)

^f ( x , t ) = ^f ) ( x ) ^E a .1

t

к

T

a

где радиальная производная является дробной производной Римана–Лиувиллля по радиальной переменной:

( F^n

f1 (x^FFFi -<

n=01 (an + 1) к T 7

(1.15)

£^{f (} rt ^fol r i f ⁽ r't ) r ^- r^rdr’ .

(0 ≤ r), (0< β ≤1), (1.9) что соответствует случаю диффузии в изотропной фрактальной среде.

Подставляя (6–9) в (3) получаем уравнение для Фурье трансформы:

D^{F ( k,}‘ ) =-F k^{F 1 k,}t ) .

с начальным условием F ( k, 0 ) = F o ( k ) . Здесь

Решение проверяется прямой подстановкой выражения (1.15) в уравнение (1.14) и использованием формулы дробного дифференцирования степной функции с произвольным показателем (см. П5).

Функцию Миттаг-Леффлера также можно выразить через функцию Фокса [11], представляемую в виде интеграла Меллина– Бернса (см. П7–8)

(1.10)

f ( x . t ) = f 0 ( x ) H 12

_f a ( 0.1 )

^t |

T “    ( 0.1 ) . ( 0. a )

-

' , = G(- ik)2e - —. T a(k)     V ’ Ta

(1.11)

1 ТП s )Г(1 - s)z -s 2ni f   Г(1 -as)

G- i f к         /

(1.16)

где z = ( t t ¹ ) .

Пример 1 t

Если a = 1 , то f ( x, t ) = f 0 ( x ) e ^T - экспоненциальная релаксация, 1 если a = — , то

2 ^,

- -      Г t У ¹ / ²

f (x,t) = f о (x)(2n)-1/ 2e T ErfcI   I ,

(см. П. 4).

б) Если т~^a = 0 , то получаем из (1.3) уравнение для аномальной диффузии:

D“ f ( x,t ) = G V 2 ^е f ( x,t ) .     (1.17)

Используя формулу понижения порядка для функции Фокса (П. 11) приходим к окончательному результату:

1          2 , 0

n      H 1 , 2

П 2 |x|n

j x 2L

2 2 ^е t ^a G

I^{(( 1, a} )

¹ ( 2 Ф¹ ’ 1 )

(1.22)

Решение (1.22) может быть выражено через интеграл Меллина–Бернса в виде

^{f (}l ^x l, t ) =

(2n i)- n n2 |x|n

1 o+ i да

J ст-i да

Г(1 + 05 )

-z ⁵ ds .

В работе [6] к этому уравнению после преобразования Фурье по координатам применяют преобразование Лапласа по времени. Мы будем следовать подходу, развитому в работе [7]. Перепишем трансформу Фурье (12) для модуля k .

(1.23)

При P = 1 решение (1.22) уравнения

n

(1.17) переходит в формулу, полученную в работе [7].

В случае F 0 ( k ) =1, т.е. f 0 ( x )= δ( x ) можно предложить приближенное решение уравнения (1.3) в виде

“ t G k

F (Ik, t ) = Fo (I k|)ZU4 = r(an +1)     (1.18)

F 0 (| k |) H" t^a Gk l ’I <0“> ( 0,a )

f (I x |. t ) ^ 4- H .²2⁰

П2 |x|n

111 n

2 2 ^е t ^a G  ( 2, ^₽ ) , ^{( 1,1 )}

x

и применим n -мерное обратное Фурье преобразование для радиальной функции (формулу Бохнера) (cм. П. 6):

E a ,1

Г t“У

“

V T 7

n

2ттУ2   ” П

f (Ix , t )= n 2 Jp 2 Jn /P x|)X

( 2 n ) n| x|            2 ^{- 1}            (1.19)

(1.24)

Оценки при n = 1 , a = в , приводят к форму-

ле [6].

^{f (} x,t )

H M Gt ^a| p| 2 ^е | <⁰4     ₄ d p .

1,2 L ¹¹      ( 0,1 ) , ( 0, a ) J ¹

Gt ¹²

exp <

(1.25)

После применения формулы интегрирования (П.9), выражение становится следующим:

2. Диффузия и релаксация в квантовой системе

f (lxl, t) =

2 ² n - 2     n + 2

( 2 n ) ^{n /2}| x T x T

1,2

3,2

Gt ^a

r 2 Г

I lxl

|

(1.20)

Ранее в теории магнитной релаксации методом случайных траекторий для спиновой подсистемы отделенной от решетки было по-

( T, ^₽ ) ( ^0,1 ) ( ^0,1 ) ( 0,1 ) , ^{( 0}, ^a) ,

Применяя формулу симметрии (П. 10)

получаем выражение

f (I x ■ t ) = 4- ^H 2,3 π ² xⁿ

_x 2 β 2 2 β t α G

^{( 1,1} ) ^{( 1, a} )

( n, в ), ( 1,1 ) , ( 1,1 )

(1.21)

лучено точное уравнение для неполного среднего матрицы плотности <ρ> [8] ^l^^ xt ) = ( - iL ( x , ^s ) + L x ( x , t ) ) < p >  ( x , t ) dt           ^v                          '

( 2.1) где L ( x,s ). .. = h ^{- 1} [ h ( x,s ) ,... ] - оператор Лиувилля, ˆs – спиновая переменная, х – классическая переменная, L x – оператор уравнения Фоккера–Планка (Колмогорова) i = T-1 .

В простейшем одномерном случае это уравнение принимает вид [9]

p^{( x,t} ) = ^E a , 1

, a

- iL ( x,s ) t ^a - t T ^a

p ( x, 0 ) . (2.7)

3

(

^x , I )_ ,-, .>      ( )

-----—------= — iL ( x , s ) < p >  ( x , t ) +

f

—

к

1         d2 2                 .

- + G -

( ^x,t ) т     d x J

(2.2)

Используя подстановку

< р >  ( x,t ) = exp ( - iL ( x,s ) t ) p ^- ( t )

(2.3)

получаем решение уравнения (2.2) в следующем виде:

< p >  ( x , t ) = exp < - iL ( x , s) t - — > х l                       т I

Решение проверяется путем прямого почленного дробного дифференцирования степенной функции с произвольным показателем (см. П.5). Для вычисления матричных элементов полезна формула

^E a ,1 [^{- iL} ( x , s ) t “ ]p ( x ^,0 ) =

E _{a 1} [- i h ^- HI ( x , s ) t ^a ]x           (2.8)

p ( x ,0 ) E _{a 1} [+ i h 'HI ( x , s)t ^a J

Приближенное решение уравнения (2.5) можно принять в следующем виде

exp <

“,

. t²     a L ( x , s')

iG

2      dx²

> х

. (2.4)

p^{( x,t}^ ^E a , 1

I /“ 1

- iL (. x,s ) I “ E a 1 - T p ( x, 0 ) .

к т J

exp <

t ³

--G

f 1 I ^{d x} J

И0)

(2.9)

Первый сомножитель дает квантовые негар-

Здесь первый сомножитель – затухающие резонансные осцилляции, второй сомножитель – шумовые осцилляции, третий сомножитель – диффузионное затухание, содержащее квадрат оператора Лиувилля. Подробности в работе [9]. Наличие осцилляционного члена в уравнении (2.1) отличает диффузию в квантовом случае от классического случая (1.1).

Для квантовой спиновой частицы, совершающей случайные блуждания по фрактальному пространству и задерживающейся в ловушках, можно предложить уравнение, обобщающее (2.1).

монические осцилляции, которые мы назовем миттаг-леффлеровские осцилляции, второй – аномальную релаксацию.

б). Если положить T ^-a = 0 , то получа-

ется следующее уравнение:

D“p( x, t)

f                         1- iL(x, s)- —+ G к           т

a ^{2 ₽} Л a x ^,

p ( x , t ) ,

(0< α ≤1), (0< 2β ≤1).         (2.5)

Рассмотрим частные случаи уравнения (2.5).

а) Пусть G = 0, тогда уравнение (2.2) становится следующим:

a“         x 1       1 z л drp(x■ t1 l(l .,,Fp(x■ t)=    (26)

-iL(x, s)p( x, t )-^ x, t)

Его решением согласно (1.15) является функция Миттаг-Леффлера

- а                а 2 ^₽

Dt“p( x, t) = - iL (x,s )p( x, t) + G —re p(x,t).

d x ^e

(2.10) Применим подстановку

p ( x , t ) = E „ ,1 [- iL ( x , s ) t ^a ] p * ( t ) , (2.11) тогда для вычисления дробной производной от статистического оператора будем использовать обобщенную формулу Лейбница для дробного дифференцирования произведения двух функций с остаточным членом (П.13) с n =2.

D “ p ( x, t ) = D “ [ E a , 1 ( - iL ( x, f ) t “ ) p * ( t ) ] - D “ ( u • v ) ,

(2.12) где

D “ ( u • v ) = D“[E a 1 ( - iL ( x , s ) i “ ) ] -p ^- ( t ) + DD 1 ' [ E . ,1 ( - iL ( x . s ) I “Я^ + R 2

(2.13)

Поскольку функция Миттаг-Леффлера является решением уравнения (1.14), то справедливо выражение

^D “ ^E a , 1 ^{(- iL (} x, ^{S ) t} “ ) = ^{- iL (} x, s ) ^E a , 1 ^{(- iL (} x, S)¹ “ ) .

(2.14)

Остаточный член согласно формуле (П.13) принимает вид

R 2 = R 1

_

Г( a)J

E. ,1 (- iL (x,s■'''Sp'(e)

(t -0)a

d 0 ,

D 0+-1 E-д [- iL (X, s) t a] = d' D _j y[-iL (x,s) ta] k 51a 0+z Г (ak +1)

R =-

(2.15)

+ ⁰                    ] 0 ■

^{1( a)} 0      ⁽ t ^{- 0)}

w z k = 0

[-iL (x, s)]k da

Г 1

Г (ak +1) dt “^Г(1)

J 0 ^a k d 0 = . (2.21)

t

(2.16)

Oценки остаточных членов R 1 и R 2 требуют отдельного рассмотрения.

w z k = 0

[—iL (x, s)]k d

। a Г t a k + 1

Г (ak +1) 51a

^ ak +17

Для вычисления дробной второй производной по координате используем формулу почленного дробного дифференцирования (П.12):

p ( x,t ) = 1 [ - iL ( x,s ) t ^a ] ‘ . a x ^{e R} ’ ^z г ( - k + 1 ) a x^{L v 7 J}

Z ^{[- iL (} x , ^{S )} t ^a ] ^k t ^a k = 0 r ( a k + 2 -a )

Решение уравнения (2.21) относительно p * ( t ) =

(2.17)

G f exp i^_ a{

2₽ r t     E J-iL(x,s)0a!

G fax2L‘01L__J

DZ' E„ [- iL ( x , s ) 0 “ ]

d 0

* . (2.22)

ГР о

Предположим степенную зависимость оператора Лиувилля от координаты

Если обозначим

L ( x,s ) = bx n • L ( s ) , где n =1, 2,…, b – постоянная.

z = -iL(tyxn0a , b = ,r(1 + nk) ', k   r(1 + nk - 2p)

Тогда, используя повторно почленного дифференцирования и

формулу формулу

k  r(a k + 2 -a)

(2.23)

(П.5) для дробного дифференцирования координате х, получаем

по

и подставим (2.19) и (2.21) в (2.22), то получим показатель экспоненты в виде отношения двух рядов

d ^{2 p}     Z . X a[- L ( s ) t ^a bx n ] k

^' xE ,^{1 (-} i^{L (} x ■ s ) t “) = ^z_r ( a k + 1 )    ^X (2.19)

Г ( 1 + nk )     1

Г ( 1 + nk - 2 p ) x^

p*( t ) = exp <

Gt ax” J

w z bkZk

—k^---- d 0

w

E k _n1-a a k z ⁰

k = 0

k.(2.24)

Подставляя выражения (2.13–15), (2.19) в (2.10) и опуская R 2 , получаем уравнение для P * ( t ) :

Применим формулу деления рядов получим выражение для p * ( t ) в виде

(П.15),

aD„Г E„ [-iL (x, s) t-^^Pit) = L             J    d t

G dxf E„ [- iL (x ■ s) t “}P*( t)

(2.20)

p*( t )=exp <

Gr (2-a) ax2p

w

X

kt na k

zck-[- iL (s) bxn ] J тагd 0

^ k = 0                        0 ⁰

*

ГР 0

Вычислим первый сомножитель (2.20), используя формулы (П.12) и (П.5)

в

(2.25)

После интеграции по времени получаем выражение для решения уравнения (2.20) в виде

p ’ ( t ) _

exp <

Gt ^a r ( 2 -a ) a ² x ²³

TO

ZCk k=0

[- iL ( s ) bx n t “ ] k к + 1

*

ГР О

.

(2.26)

Подставляя (2.26) в (2.11), и удерживая первые три члена в сумме, получаем окончательно следующее приближенное решение обобщенного уравнения (2.5):

p ( x , t ) = E _{a 1} 1^- it ^a L ( s ) bx n 'x

(1.24) для аномальной диффузии и релаксации, обобщающая результат работы [7], и более простая, чем в работе [6]. В квантовом случае получен новый результат (2.27) при решении обобщенного квантовостатистического уравнения Неймана–Колмогорова для неполного релевантного статистического оператора, содержащий негармонические осцилляции, аномальную релаксацию и аномальное диффузионное затухание.

Для удобства применения составлено математическое приложение, см. также приложение в обзоре [2].

E a ,1

(

-

к

t" '

d^exp 1

t ^a G Г ( 2 -a )

a ² Г ( 1 - 2 ₽ )

Г x

Приложение

exp <

it ^{2 a} L ( s ) bx n G Г ( 2 -a ) 2 a x ^e

c 1 Г x

exp <

t ^3a L ² ( s ) b² x^{2 n}G Г ( 2 -a ) 3 a ² x ²³

C2 Г -P*(0) .

( 0< α ≤1), ( 0< 2β ≤1) .       (2.27)

Коэффициенты с 0 , с 1 , с 2 принимают вид

_    1C0 = r(1 - 2p), c _   r(1 + n)       Г(2-a)

• ¹    r ( 1 + n - 2 p ) r ( 2 ) r ( 1 - 2 p ) ^, _c _ Г ( 1 + 2 n )    Г ( 2 -a ) _c    r ( 2 -a ) c

• ²    Г ( 1 + 2 n -P )     Г ( 2 )    ¹ г ( 2 + a ) °'

Если теперь сравнить решение (2.27) квантового дробного уравнения (2.5) с решением (2.4) квантового целочисленного уравнения (2.2), то видно, что первый сомножитель соответствует квантовым негармоническим (миттаг-леффлеровским) осцилляциям, второй сомножитель – аномальной релаксации, третий сомножитель – экспоненциально возрастает, четвертый – содержит шумовые осцилляции, пятый сомножитель – это диффузионное затухание, содержащее квадрат оператора Лиувилля. Остальные члены в решении (2.27) требуют отдельного рассмотрения.

• 1 .Функция Миттаг-Леффлера [11] c. 221: to           к

• 2 .Функция типа Миттаг-Леффлера [11] с. 224, [13], с. 117:

3. E Jx z “) _ V z'- dzE a _ЛМ (П.3) (λ – постоянная), формула проверяется почленным дифференцированием рядов. 4. E 1 ( z ^^n) ¹² e^zErfC - z ^/2 ^ , (П.4)

E a ( z ) = E a J ( z ) = Z TTz—TX ' (П-¹) к _ ° r ( a к + 1 )

E_a e( z )_y , z A •       (П.2)

^aM ’ £° r ( a к + p)       ¹

В книге [13] и справочнике [12] другое обозначение индексов.

2  7       <7

где

TO

.

z

5. Дробная производная Римана– Лиувилля степенной функции с произвольным показателем [4], c. 140, ф. 1:

a

D °+(t ’)'y (t 1

Г ( 1 + ц ) _{t и}-_й Г ( 1 + ц - a )

(П.5)

6. Формула Бохнера для радиальной функции (зависящей от | x | = r ) [4] с. 358:

Заключение

Следует сказать, что из-за недостатка места не изучено асимптотическое поведение полученных результатов. Тем не менее, полученные результаты достаточно интересны: в классическом случае получена формула

TO

.f (I x . t )= , . . J e F (I ^к\ • t )* =

(2п) -то n                                (П.6)

(2n)2     TO / An I ,

• n - 2 J ^F ( p , t ) P ² J n .( p x |) ^d p

7. Функция Фокса – интеграл Меллина– Бернса [12] с. 626:

( 2 n ) n xp °          2 - 1

где

H

m , n p , q

. ^(a 1, A ) ,... ( a p, A p ) z |

( b , , B 1 ) ,... ( b q , B q )

=---X

2n i

rUnn - 1)! J ( t - T 11 u( T ) dT...

.. . . Г1 Г ( b j + B j S )l i r ( 1 - a j - A j S )

J j----------,

°^{- i} ~ П ^r( a i ⁺ A j s ) П ^{r( 1 -} b j ^- B j s )

j=n+1

(П.7)

8. Выражение функции типа Миттаг-Леффлера через функцию Фокса [12] с. 728:

/ и Г        (o,i)

E_a »( - z ) = H 11 z |₍ Л,⁷    . . (П.8)

^{aM   7     1 , 2}     ( 0,1 ) , ( 1 -в , a )

...J (t-0' 1 ^(«d 5.

T

Ia I (1)n-1 ar(k-a) ( k J Г(1 -a)r(k +1) коэффициент.

биномиальный

14. Для дробного дифференцирования сложной функции f ( g ( x )) можно предложить формулу

9. Формула для интегрирования функции Фокса и специальной функции [12] с. 355:

.

J X ^{a- 1} j , ( . X ) H mq

a x r |

^r a p , A p ]

Г b q ■ B q ]]

^ a- 1

_ ²    mT^m , n + 1

= . a H P + 2, q

f(g(x, (П.14) 5x 5g 5x где дробная производная функции f (x) по другой функции g(x) определяется формулой [4] с. 249.

Г b q • B q ]

(П.9)

10. Формула симметрии функции Фокса [12] с. 628:

m,n      a p , p n,m 1     - q , q

^H r z ’k^ . ] ]= H Г z ¹!- a p ,A P r ⁰⁾

£f _л.                  ¹

dgp     a+;gf () r(1 -p) g‘(x)

— x---—---₽g'(У) dy dxJ Г g (x)-g (У )f[ )

Однако выражения, полученные по формулам (П.12) и (П.14) для функции f ( g ( x )) = E _a , ₁ [ - L ( s ) bxⁿt ^a ] , совпадают только при n = 1.

11. Формула понижения порядка функции Фокса [12] с. 628:

15. Формула для деления функциональ-

m , n H p , q

^{( a} 1 , A 1 ) ,... ( a p , A p ) z |

Г b q - 1 , B q - 1 ] , ( a„ A 1 )

ных рядов:

TTm , n - 1

H p - 1, q - 1

( a 2 A ) ,... ( ap , Ap ) z|

^{Г b}q - 1 , ^Bq - 1 ]

(П.11)

где

12. Формула для почленного дробного дифференцирования ряда [4] с. 215:

.

D a + X f n ( x ) = n = 0     J

n

.

X D , “+ f, ( x ) . (П.12)

n = 0          J

13. Обобщенное правило Лейбница для дробного дифференцирования двух функций с остаточным членом [4] § 17:

D +^a ( u, v ) = X

^{n - 1} к a I

k=0 v k у

D a^- k ( u ) • v ⁽ k ) + R n , (П.13)

.        .

X bkZk k akZk k=0       Vk=0

1 .

= 1 X C k Z k , (П.15) a 0 k = 0

1n cn = b —X cn-kak; c0 =b0; a 0 k=1

a    aa c 1 = b1--c 0; c 2 = b 2--c 1--c 0.

a ₀                 a ₀ a ₀

16. Формула для вычисления экспоненциального оператора от квадрата оператора Лиувилля (двойного коммутатора) [8]:

.

exp { - a ² L ² } = J dxexp { - n x²

-.

-

i 2 Vn • xaL} .