Уравнения экстремалей функционала потенциальной энергии

DOI:

В настоящей работе представлено исследование функционала потенциальной энергии на предмет получения уравнений его экстремалей и их свойств. Так же как минимальные поверхности есть экстремали функционала площади, так и рассматриваемые нами гладкие поверхности — экстремали специального функционала, который является линейной комбинацией функционала типа площади и функционала от объемной плотности сил. Подобные экстремальные поверхности моделируют состояния равновесных жидкостей в гравитационном поле с потенциалом, тентовые покрытия, магнитные жидкости, капиллярные поверхности. Поэтому их изучение на устойчивость и неустойчивость не теряет актуальности, а лишь претерпевает изменения в виде функционалов, чтобы вместить больше физических характеристик системы. Например, функционал (энергия) может быть комбинацией энергии поверхностного натяжения, гравитационной энергии, энергии изгибной деформации.

Изучению минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах посвящены работы Ю.А. Аминова, В.А. Клячина, В.М. Миклюкова, А.В. Погорелова, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, А.Т. Фоменко, M. до Кармо, Ч.K. Пенга, Ш. Яу, Р. Финна, Дж. Саймонса и др.

Для того чтобы учитывать нагрузки поверхности (системы) извне и изнутри, требуется рассматривать поверхности, «минимальные» с точки зрения более сложных функционалов, чем давно изучаемые функционалы площади. В работе [2] автором и В.А. Клячиным был рассмотрен функционал типа площади, а в статье В.А. Клячина [1], в частности, были исследованы функционалы с подынтегральными функциями, описывающими поверхностную и объемную плотности сил. А рассматриваемый в данной работе функционал потенциальной энергии представляет собой линейную комбинацию функционалов типа площади и объемной плотности сил. Поэтому его исследование основано на работах [1] и [2].

Целью настоящей работы является получение уравнений экстремалей для функционала потенциальной энергии.

1.    Постановка задачи

Пусть М — n -мерное связное ориентируемое многообразие класса С ² . Рассмотрим ориентируемую гиперповерхность М = (М, и) , полученную С ² -погружением и : М ^ ^ R ⁿ⁺¹ . Пусть Q С R ⁿ⁺¹ — некоторая область, такая что М С dQ; Ф, Ф : R ⁿ⁺¹ ^ R — С ² -гладкие функции. Если ^ — поле единичных нормалей к поверхности М, то для любой С ² -гладкой поверхности М определена величина

Ж(М) = J Ф( У dM  | Ф(ж) dx,

М         О которая не зависит от выбора нормали ^.

Функционал (1) назовем функционалом потенциальной энергии. Он является основным объектом исследования.

Опишем построение векторных полей, вдоль которых будем деформировать поверхность.

Пусть V — С ² -гладкое векторное поле, определенное в окрестности поверхности М , такое что V | м = h • L где h Е С 1 (М) , при этом предполагается, что интегральные кривые поля V лежат на прямых линиях и вдоль них выполнено |V| = const.

Пусть U (М) — окрестность поверхности М , в которой определено поле V и однопараметрическая группа локальных диффеоморфизмов g _t (x) : U (М) ^ R ⁿ⁺¹ , порожденная векторным полем V. То есть g _t (x) — решение задачи Коши:

''^( f ) = V(g t (x)), g t (x)| t =o = x.

Положим M _t = g _t (M). Ясно, что М ₀ = М.

Определение 1. Поверхность назовем экстремальной для функционала Ж(М), если производная Ж‘(0) = 0 для всякого нормального сечения v с компактным носителем на поверхности М, то есть dЖ (t) dt

= 0 .

t =o

Другими словами, поверхность ℳ является экстремальной , если первая вариация функционала (1) равна нулю при всех бесконечно малых деформациях поверхности ℳ . Поэтому сначала необходимо проварьировать функционал (1). Деформации поверхности М будем проводить вдоль векторных полей V с помощью функции возмущения h(x) Е е С о ¹ (М) .

2.    Уравнение экстремалей

Функционал (1) представим в виде W (М) = F (М) + L(M), где

F(М) = W Ф( ^ ) dM,                          (2)

ℳ

L(M) = J Ф(х) dx,                             (3)

Ω чтобы применить ранее полученные результаты из работ [1] и [2]. Для функционала (2) введем обозначения для матрицы д2Ф .

G = {Gij}j,j=i, Gij =         + bij(ф - <Вф, £,}), д eF Ej дФ дФ где Вф = —, — дEi д^2

. .

д Ф

.,д Е ; +1

, b _i j — символ Кронекера, то есть 5 _ij- = 1 при г = j и

5 _i j = 0 при г = j , г, j = 1, 2, ..., n + 1 .

Следующая теорема о первой вариации функционала (2) была доказана автором и В.А. Клячиным в [2].

Теорема 1. Если F (t) = F(M _t ), то

F ‘ (t) = J (а1у(ЛФ( Е )) ^т - пНФ(Е))К(х) dM,                  (5)

ℳ где div — дивергенция в метрике поверхности М, Н = (Н, E) — средняя кривизна поверхности М относительно нормали E, h(x) Е С01(М).

Теорема 2 для функционала (3) была доказана в [1] в рамках исследования другого функционала.

Теорема 2. Если L(t) = L(M _t ), то

L ‘ (t) = W ^ф (х)К(х) dM,                               (6)

ℳ где h(x) Е С01(М).

Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекает теорема 3 о первой вариации функционала потенциальной энергии.

Теорема 3. Если W(t) = W(M _t ), то

W ‘ (0) = W (div(FФ( E )) ^т - пН Ф( Е ) + Ф(x))h(x) dM,              (7)

ℳ где h(x) Е С1(М).

Из нее следует основная теорема настоящей работы об уравнениях экстремалей функционала потенциальной энергии (1).

Теорема 4. Поверхность М класса С ² является экстремалью функционала (1) тогда и только тогда, когда выполнено равенство

п

£ к _г С(Е _г ,Е , ) = ^(х),                             (8)

i =1

где E i — главные направления; к — главные кривизны поверхности М.

Замечание. Уравнения (8) есть уравнения экстремалей функционала потенциальной энергии.

3.    Доказательства теорем

Пусть М — n -мерное связное некомпактное ориентируемое многообразие класса С ³ без края. Рассмотрим гиперповерхность М = (М, и) , полученную С ³ -погружением и : М ^ R ⁿ⁺¹ . На поверхности М индуцируется риманова метрика и соответствующее скалярное произведение касательных векторов, которое мы будем о бозначать также как и скалярное произведение в R ⁿ⁺¹ через {•, •) . Введем обозначения V и V для римановых связностей в R ⁿ⁺¹ и М соответственно. Известны следующие соотношения [5]:

Vh = (Vhf, V _X Y = (V * Y ) ^T ,                     (9)

справедливые для произвольных С ¹ -гладких функций h : R ⁿ⁺¹ ^ R и С ¹ -гладких векторных полей X и Y, касательных к М . Символом v ^T обозначаем всюду ортогональную проекцию вектора v на касательную плоскость Т _т М к поверхности М в соответствующей точке т Е М . Тогда дивeргенция векторного поля X , как сечения касательного расслоения поверхности М , определяется как след линейного отображения Е ^ V _e X [4]. Выберем в касательном пространстве Т _т М ортонормированный базис {2^ =1 . Тогда дивергенция векторного поля X , согласно [4], можно записать в виде

п divX = ^(VZ1X,Zi).

i =1

Пусть т Е М ив некоторой окрестности точки и(т) определены гладкие векторные поля X и Y . Билинейная форма

B(X (m),Y (т)) = (V ^ Y )(и(т)) — (V ^ Y ) ^T (и(т))

называется второй фундаментальной формой поверхности ℳ [5]. Отметим, что B(X, Y ) является билинейной, симметричной формой [5]. Для выбранного ортонор-мированного базиса в касательном пространстве Т _т М к поверхности М в точке и(т) вектор

Н(т) =  traceB = — ^B(Zi, Zi)

nn называется вектором средней кривизны поверхности М в точке и(т) [5].

Пусть N _n ( _m ) M — нормальное пространство к поверхности М в точке и(т) . Для произвольного вектора v G N _u ( _m ) M пусть Л " означает гомоморфизм Вейнгартена, определяемый как линейное преобразование Л " : Т _и ( _т ) М ^ Т _и ( _т ) М , двойственное к билинейной форме В [5, § 5]:

Л (X ), YY = (B(X,Y ), vY = -(V _x v,Y Y                   (11)

Поскольку далее мы рассматриваем исключительно ориентируемые гиперповерхности, то поле нормалей ξ к поверхности ℳ будем считать выбранным и всюду будем использовать обозначение Л = Л ^ . Известно, что если к, г = 1, 2, ...,n, — главные кривизны поверхности М , то Л(Е г ) = кE _i для собственного базиса {Е ^ У ^. оператора Л .

Пусть в R ⁿ⁺¹ задан ортонормированный базис {e _i }_к '; , ассоциированный с декартовыми координатами х = (х 1 ,х ₂ , ... ,x_{Tl +1} ) , то есть

(e^e ^ Y = 0, г = j ; |е г | ² = 1, г = 1,... ,п + 1.

Для доказательства основных результатов нам понадобится следующая вспомогательная лемма [3].

Лемма 1. Если х ^ , г = 1,n + 1 — координатные функции, то имеют место равенства:

Vxi = еТ, div(eT) = n^iH,(13)

Vk = —Л(еТ).

Доказательство. 1. В силу (9) легко показать (12), что

XEXi = (е^ЕY, Vxi = (Ххг)Т = eT, следовательно,

Vx _i = e ^T .

• 2.    Используя равенство (12), определения гомоморфизма Вейнгартена (11) и вектора средней кривизны (10), получаем (13)

• 3.    Аналогично вычисляем градиент ^ _i , используя, что e _i — постоянный вектор.

nn

Axi = div(Vxi) = div(eT) = ^(VEkeT, EkY = - ^(VEkeN, EkY = k=1k=1

= - 52(VEk^i^,EkY = 52(Л(Е^),EkY^i = n^iH. i=1

V e ^ i = VE < ^ ,e i Y = (V e ^ ,e i Y =

= (V e ^,e Y Y + < ( V e ^ ) ^T ,e f Y = -<Л(Е),е Т Y.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. В силу того, что функционал (1) можно представить в виде линейной комбинации функционалов (2) и (3), то первая вариация функционала (1) представима в виде dW(t) _ dF(t)   dL(t)

at at       at

Поэтому dWl    = F‘(0) + L‘(0).

^dt     t=0

Применяя результаты теорем 1 и 2, получим (7). Теорема 3 доказана.

Замечание. По основной лемме вариационного исчисления из равенства

W (div(DФ( ^ )) ^T - пНФ( У + Ф(х))Н dM = 0

ℳ следует, что div(DФ(^))T - пНФ(У + Ф(х) = 0

или div(DФ(^))T + Ф(х) = пИФ(^).                      (15)

Уравнения (15) также называют уравнениями экстремалей функционала потенциальной энергии (1). Хотя из теоремы 4 видно, что для применения в вычислениях удобнее использовать другой вид.

Доказательство теоремы 4. Заметим, что если в уравнении экстремалей пН Ф(У = div((DФ(^))T) + Ф(х)

расписать слагаемое div((DФ(^))T) с учетом того, что в ортонормированном базисе {ej}”=11 ортогональная проекция -ОФ(^) на касательную плоскость есть п+1 (»ад)т = Е дфе" г=1 д 4

и свойств дивергенции div((Dф)T) = div ^е HeT) = Е d|div(eT) + Z

Е Ц п^Н + Е	д2Ф д ^гд ^3	<^^, ,=!) =
Е И п^^Н -Е	д2Ф д ^гд ^3	■ ;А(е^ \е^} =

= нН {ОФ, i) - £ А|- (.^j ),ej), i,j              J то оно перепишется в виде а2ф         . .

нН(Ф - (ОФ, i)) + £      ( A(ej), ej) = Ф(х).

Так как к, — главные кривизны поверхности, то для гомоморфизма Вейнгартена справедливо равенство А(Е,) = к,Е,. Следовательно, с учетом определения вектора средней кривизны поверхности (10) и введенного обозначения (4), можно продолжить п                              П   Д2ф

£<Л(Е, ),Е, )(Ф-(ОФ, i» + £      к, (ej Л) = Ф(я),

,=1                                   i,j=1 ° iiO ij el                       \ а2Ф

£{А(Е,),Е,)(Ф - (ОФ, «) + £    (Л(Е,),Е,) = Ф(х), i=1                              i=1 ° Е

А        /Э2Ф          \

£(Л(Е,),Е,) ^ + Ф-(ОФ,i>) =ад,

. /э2ф        , А к,(Е,, Е,) ^д|2 + Ф - (ОФ, i) J = Ф(А

Таким образом, приходим к формуле (8). Теорема 4 доказана.

4.    Следствия из теорем

Следствие 1. Если экстремальная поверхность ℳ является плоскостью, то функция Ф(ж) = 0.

Теорема 5. Если / = хп+1 и Ф(i) = Ф(in+1), то выполнено равенство div((in+1Ф‘(in+1) - Ф(in+1))V/) = Ф(ж)in+1.

Доказательство теоремы 5. Преобразуем выражение (15), домножив обе части равенства на in+1 и перенося слагаемое с Ф(ж) вправо. Получим амвФ)т in+1 - nHФin+1 = Ф(x)in+1.                  (16)

Заметим, что из леммы 1 следуют равенства нН i„+1 = dMe^), en+1  V^n+1.

А так как по условию теоремы хп+1 = /, то Vxn+1 = V/. Следовательно, eJ+1 = V/, и будет верно div(eJ+1) = div(V/).

По определению проекции на касательную плоскость имеем

(VФ)^T= Ф‘в^+1.

Поэтому справедливо div(VФ)т = div(Ф‘eУ+1) = div(Ф‘V /).

Подставим полученные выражения в (16):

^_n+1div(Ф‘V /) - Фdiv(V/) = Ф(х)^₊1.                   (17)

Заметим, что div^VW = (VФ, V/) + Фdiv(V/), div(U+^'V/) = (V^„+i, Ф‘V/) + ^и+1div(Ф‘V/).

Выразим отсюда последние слагаемые, так как они нужны для подстановки в (17).

Фdiv(V/) = div(ФV/) - (VФ, V/),

^_n+1div(Ф‘V/) = div(^_n+1Ф‘V/) - (VU1,Ф‘V/У

Подставим полученное в (17)

div(^n+1Ф‘V/) - (V^, Ф‘V/) - div(ФV/) + (VФ, V/) = Ф(х)^+1, по свойствам div упростим div((^n+1Ф‘ - Ф)V/) - (V^, Ф‘V/) + (VФ, V/) = Ф(х)^+1, заметим VФ = Ф‘V^n+1, поэтому div((^n+1Ф‘ - Ф)V/) = Ф(х)^+1.

Теорема 5 доказана.

Замечание. При Ф(ж) = 0 теорема 5 обобщает хорошо известное свойство гармоничности координатных функций минимальных поверхностей. В работе [9] для р-минимальных поверхностей (Ф(ж) = 0, Ф(^) = 1) аналогичное равенство было положено в основу их определения.

Пример 1. Пусть С2-гладкая поверхность М С Rn+1, заданной радиус-вектором т (t, е) = (t,r(t)p(e)),

е G S” 1, р(е) — радиус-вектор сферы S” 1, t G (а, Ь) С R, r(t) - С²-гладкая функция на (а, Ь), ^_п+1— координата единичной нормали к поверхности М и функция Ф(^) =

= Ф(^+1).                           ________

Обозначим т = ^п+1 = -г(t)/ yi+W), ф‘(т) = ^ф/^^п+1, ф‘‘(т) = ^2ф/^^2+1, f(t) = dr(t)/dt, r(t) = d2r(t)/dt2,

________________^ф‘‘^(т)________________ _С(t) =   ^r(t)V1 + ^r2(t)

(1 +    Гф(т)₊W¹^ Y Ф(Т) + -Ф^

V1+ r²(t) j                   V^{1 + r}‘^2(t)

Произведем вычисления производных радиус-вектора для того, чтобы найти главные направления Ег и главные кривизны kt поверхности.

Rt = (1,r(t)p(0)), R0, = (G,r(t)P0, (0)),

Rtt = (Q,P(t)p(0)), Rt0, = (O,r-(t)p(0)0_i),

R0t03 = (Q,r(typ(0)0i03), где p0,(0) = dp(0)/d0t, peie,.(0) = d2p(0)/d0td0j, i,j = 1, n - 1.

Выпишем координаты единичной нормали k = (-W/V1 + ^, P(0)/V1 + ^)

и коэффициенты квадратичных форм iRtl2 = 1 + т2(t), ^ |2 = r2(t)p0, (0)p03 (0), boo = (Rtt, k) = ((Q,r(t)p(0)), (-r(£)/V1 + i'2(t), p(0)/V1 + ?-2(t))> =

=              ,

V1 + У 2(t)                                 ,__________           ,__________ bot = (Rt0i, ty = ((V(t)p0,(0)), (-WViTT2^, p^W1 + ^ЧУУ) =

= ^==7= p⁽0)p"■ ^(e> = Q,

V ^{1 +}T^2(t)

bij = ^(R0,0j,^k) = (^(Q,r^(t)p0_z0.⁽⁰⁾⁾, (-r^/VTW), p^(0)/^¹+ r^2(t))) =

=       ^y(t)     p (0)p    (0).

V1 + г-²(t)     )^p0103()

Таким образом, первая квадратичная форма

I = (1 + r2(t))dt2 + r2(t)p 0, p 03 d0id0j = (1 + r2(t))dt2 + r2(t)d02, где d02 = p01 p03d0id0j — элемент длины для Sn-1.

А вторая квадратичная форма имеет вид n—1

II = boo dt2 + ^ boi dt d0i + ^ bijd0i d0j = i=1

=   ^r(i)    dt²+ _jw₌₌ у p(0)p  (₆i d0, de, =

VT+T^M     vT+nt)i^^j^ '"^'^

r(t)r(t)

=   .       = dt2 +.d

V1 + r²(t)       V1 + г²Ч)

где d0²— вторая квадратичная форма для S^n—1. Затем находим главные кривизны по формулам [7, гл. 2, § 4, п. 10, c. 99]:

ki = r(t)/(1 + 7-2(t))3/2, ki = -1/r(t)^1 + т-2(t), где г = 2, п, и главные направления поверхности М

Ei = д.ж,! = (У/уУ'+У'од, 'Щри/уУ+У^и),

Е, = R,,/|Дд,| =(0, рд,/|рд,|).

Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов

W, ^ =

'(t)ф‘(т) V¹+ ' ²(t)

и найдем значения матриц _О²ф и G на векторах Е,, координаты которых мы записали выше,

£2ф№, Ei) = ^ф" ', _О²ф(Е_г, Е,) = 0, г 2,п,

1 + '²(t)

G(Ei,Ei)= ^ф . \ + ф(т) + Х=к, G(E,,E,) = ф(т) + ^'(L ■   (19)

1 + '2 (t)            V1 + '2 (t)                         V1 + '2 (t)

Теперь подставим подсчитанное в равенство (8) и получим уравнение экстремалей поверхности М, заданной радиус-вектором (18).

Так как все к, при г = 2, п равны и для G(E,,E,) ситуация аналогичная, то равенство (8) можно записать так:

kiG(Ei, Ei) + (п - 1) ]Т k,G(E,, Е,) = Ф(ж). ,=2

После подстановки выражений из (19) уравнение экстремалей принимает вид

'^(t)     (^ф‘‘^(т)     . _ы    ^ф'т'ш ^ _

(1 + '²(t))^3/21 + '²(t) ^{+ ф(}) ^{+ V}1+ '2(t)

П ~ 1       ( х     Ф‘(^т)'(t) \         х

I ф(т) + —/          I — Ф(ж).

' (t) V1 + '²(t)           V1 + '²(t)

Преобразуем его, домножив обе части равенства на '(к)лУ1 + '²(t),

'^(t)'^{(t) ф}‘‘^(т)        z х №)'^(t)

1 + '²(t)   1 + ' ²(t) ^{+ ф(})^{+ V}T+'It)

^{-(n -} i)

(^{ф(т) +} “ТГгШх^ = ^ф(ж)'^(t)У^T+Й^t).

V        V^{1 +}'^2(t)/

Затем выразим '(t)'(t)/(1 + '²(t)) и получим

^(п - 1) (^^ф(т)+ ^^ti^+ФGr⁾'^(t)V^T+’²W '(t)'(t)=                                        ______________________________

1 + '²(t) ”                 ^ф‘‘^(т)       . z x     ^ф‘^(т)'^(t)

1 + '²(t)^{+ ф( )+}V1+W)

, №^)r(t)

(^ф(т)+       ■.. /

r(t)r (t) 1 + r2(t)

гп-п + фм r(t)V1 + r2(t) (П 1) +^(X)           ф),,(,) =______фффу^^ _________ФУ)_________+ 1. (1+ ^ (ф(т)+ ^)

Сократим выражение в правой части на сумму

Применим вышепринятые обозначения B(t), С(t), и уравнение примет вид

r(t)r(t)    (п — 1) + Ф(х)С (t)

1+ r²(t)          B(t) + 1           '

Таким образом получено уравнение экстремалей для поверхностей вращения.

Замечание. В работах [6; 8] были получены уравнения экстремалей для поверхностей вращения при Ф(х) = 0.