Уравнения Осколкова на геометрических графах как математическая модель дорожного движения

Введение. Данная заметка, инспирирована, великолепным докладом А.Б. Куржанского [1], сделанного 16 июня 2014 года. на. общем пленарном заседании XII Всероссийского совещания по проблемам управления, проходившего в ИПУ РАН (Россия, Москва). В докладе помимо прочего была, предложена, модель дорожного движения в виде уравнений Навье -Стокса, заданных на. графе. Заметим, что представление дорожного движения посредством гидродинамических моделей не ново и к настоящему времени имеет солидную историю (см. например, [2], гл. 2). Однако, модель Куржанского следует признать новой, поскольку в ней впервые сделан акцент на. таких несомненных свойствах транспортного потока, как вязкость и несжимаемость.

Развивая этот подход, мы предлагаем следующее: во-первых, уравнения Навье - Стокса, заменить более общими уравнениями Осколкова, которые учитывают не только вязкость и несжимаемость потока, но и его упругость. Действительно, при включении запрещающего сигнала, светофора, транспортные средства, мгновенно не останавливаются, а. плавно снижают скорость вплоть до остановки, накапливаясь перед стоп-линией. Аналогично при включении разрешающего сигнала, светофора, транспортные средства, не стартуют мгновенно и

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ одновременно, а трогаются с места друг за другом, постепенно набирая скорость. Тем самым транспортный поток проявляет эффект ретардации, свойственный вязкоупругим несжимаемым жидкостям (см. детали в [3]). Во-вторых, уравнения Осколкова мы рассматриваем на геометрическом графе, главным отличием которого является постановка в соответствие каждому ребру двух положительных чисел, отвечающих (в нашем случае) его «длине» и «ширине». Отметим, что на возможность моделирования транспортных потоков посредством геометрических графов указывали еще создатели этой теории [4].

Отправной точкой наших рассуждений послужит [5], где уравнения Осколкова на геометрическом графе представляют модель вязкоупругой несжимаемой жидкости (например, нефти с высоким содержанием парафинов), текущей по разветвленной системе трубопроводов. В контексте рассматриваемой здесь задачи данную модель можно рассматривать как движение транспортного потока по дорогам, где на перекрестках круговое движение или стоят (возможно, многоуровневые) развязки без светофоров. Изучение нашей задачи мы будем проводить, опираясь на идеи и пользуясь методами теории уравнений Соболевского типа [6]. В последнее время данная теория получила мощный стимул в своем развитии [7] -[10]. Обратим внимание на такие неожиданные ее ответвления как теория леонтьевского типа [11], теории оптимальных измерений [12], а также на ее приложение к изготовлению строительных смесей [13]. Особо отметим активную поддержку теории уравнений Соболевского типа А.П. Осколковым [14]. Укажем еще на существование других успешных методов изучения вырожденных уравнений [15].

Итак, данная заметка кроме введения и списка литературы содержит две части. В первой обосновывается линейная (простоты ради) математическая модель, т.е. конвективные члены в уравнениях Осколкова отсутствуют. В контексте модели это означает, что мы пренебрегаем перестроениями транспортных средств. Во второй части модель исследуется на качественном уровне, т.е. формулируется теорема о существовании единственного решения поставленной задачи и приводятся наброски ее доказательства. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь вкусы и пристрастия авторов.

Построение математической модели. Рассмотрим конечное упорядоченное множество Г = { G i , G 2 ,..., G i ,...} конечных связных ориентированных графов G i = G i ( V i , E i ), где V i = {V ij } - множество вершин, a E i = {E ik } - множество ребер, причем каждому ребру E ik каждом) графа G i ставится в соответствие два числа, l ik- b ik Е R^. отвечатоттше его « длине » и « ширине » соответственно. (Безусловно, в контексте математической модели величины l ik ¹¹ b ik безразмерны. однако для паглядпости удобно представлять, что l ik измеряется в линейных метрических единицах, например, километрах или милях, а вот b ik равно количеству полос движения на проезжей части в одну сторону). На каждом ребре E ik каждого графа G i зададим линейное уравнение Осколкова

^X i u ikt    u iktxx — ^v i u ikxx + f ik •

Здесь u ik = u ik ( x,t ), x Е [0 , l ik ], t Е R+ ( = { 0 } U R+) характеризует среднюю скорость транспортного потока на E ik; f ik = f ik ( x,t ), ( x,t ) Е [0 , l ik ] x R₊, отвечает той (усредненной) силе, которая заставляет крутиться колеса транспортных средств. Коэффициент X i равен единице, поделенной на. коэффициент ретардации, который может принимать отрицательные значения, поэтому считаем X i Е R. Коэффициент v i отвечает за вязкость транспортного потока, т.е. за его способность "гасить"резкие перепады скорости; по смыслу v i Е R+.

Теперь обсудим условия, связывающие решения различных уравнений (1) в вершинах графа. Поскольку в данной модели вершины ассоциированы с перекрестками, то условия на. скоростной режим при проезде перекрестка, безусловно очень важны. Первым рассмотрим условие непрерывности

U ik (0 ,t ) = U im ( l im ,t ) , VE ik Е E^a ( V ij ) , VE im Е E^ш ( V ij ) . (2)

Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина, А.С. Конкина

Здесь E^{а ( ш} )( Vij ) обозначено множьство ребер графа G i- выходящих из вершины Vij (входящих в вершину Vij ). В контексте нашей модели условие (2) означает, что скорость въезда транспортного средства на перекресток должна равняться скорости съезда. (Это условие совершенно естественно, иначе возможны либо заторы на перекрестках, либо ДТП). Кроме (2) нам потребуется условие баланса потоков

Е

b ik u ikx ⁽⁰ , t )

-

E ik ^GE ^a ( V ij )

5       b im u imx ⁽ l im ,t ) — ⁰ ,

EE ( V ij )

которое требует, чтобы количество выезжающих на перекресток транспортных средств было равно количеству съезжающих. Особо отметим, что (2) существует только если

P {( E^а ( V ij ) — 0 ) Д ( E “ ( V ij ) — 0 )} — 1 . (4)

Что же касается (3), то оно выполняется и при нарушении (4). Например, в какую-либо вершину какого-нибудь графа из множества Г входит (или выходит из нее) только одно ребро. Тогда (3) в этой вершине превращается в однородное условие Неймана (см. подробности в [5], [7]), а (2) в силу запрета (4) попросту исчезает.

Условия (2) - (4) имеют место в тех вершинах графа G i , которые ассоциированы с нерегулируемыми перекрестками. Рассмотрим вершину V ij графа G i , ассоциированную с перекрестком со светофорами. Для нее мы потребуем выполнение (4) с дополнительным условием

E ( V ij ) — E Op ( V ij ) U Е_С Д V ij ) , E Op ( ci )( V ij ) — 0, E Op ( V ij ) П E ci ( V ij ) — 0. (5)

Множество E Op ( c )( V ij ) содержит входящие в вершину V ij ребра, соответствующие въездам на перекресток с разрешающим (запрещающим) сигналом светофора. Далее, зададим условия непрерывности и баланса потоков

U ik (0 ,t ) — U im ( W ) , VE ik G E^a ( V ij ) , VE im G E Op ( V ij );

52     b ik U ikx (0 ,t ) “    52     b im U imx ( l im ,t) — 0;

E ik G E ^a ( V ij )                   E im G E Op ( V ij )

а также условие « запрета, на движение »

u ik ( l ik ,t ) — 0 , VE ik G E c ( V ij ) .

Другими словами, мы считаем все графы множества Г геометрически идентичны, т.е. { G1 — G2 — ... — G i — ...} . Различаются только условия (4) - (8), причем только в тех вершинах, которые соответствуют перекресткам со светофорами.

Перейдем к рассмотрению начальных условий в нашей модели. Оговоримся сразу, что в данной заметке мы ограничимся рассмотрением только условий Коши. Другие же условия, как например, условие Шоуолтера. - Сидорова, или начально-конечные условия [7], характерные для уравнений Соболевского типа, мы намереваемся рассмотреть позже. Итак рассмотрим отрезок времени [0 , т ], в течение которого функционирует наша модель. (Это может быть несколько часов, рабочий или выходной день, сутки, неделя и т.д.) Точками {T i } разобьем [0 , т ] на. количество отрезков [ T i - 1 , T i ] равное ко.тичеству графов G i во множестве Г и сопоставим каждому графу G i отрезок [ T i - 1 , T i ]. (Первому графу G1 сопоставим отрезок [0 , т 1], а последнему, до пустим с номером n, - от резок [ T n - 1 , т ]). В контексте нашей модели

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ светофоры могут менять свое состояние только в моменты времени {ri}, открывая тем самым движение по одним дорогам и закрывая по другим. Поэтому начальными условиями будут и 1 k(X, 0) = и0k(x), x Е (0, 11 k)• (9)

Основной результат. Приступим к поиску ответа на вопрос - каким должны быть начальные данные и 0 k ( x ), чтобы наша модель однозначно существовала в течение всего промежутка времени [0 ,r ]? Другими словами, какими должны быть и 0 k ( x ), x Е [0 ,l 1 k ], чтобы решения уравнений (1) существовали и были единственными на промежутке времени [ r i - 1 , r i ]. Подчеркнем еще раз, что мы будем использовать идеи и методы [6], которые оказались успешными в аналогичных случаях [5, 7].

Итак, аналогично [5, 7] введем в рассмотрение гильбертовы пространства L2 ^(G i ) — ^{g i — ⁽ g i 1 , g i 2 , • • • , g ik , • • • ) • g ik ^{Е L} 2 ⁽⁰ , l ik ) ^} ■ ^U(G i ) — ^{u i — ⁽ u i 1 , u i 2 , • • • , u ik , • • • ) • U ik Е И ф (0 , l ik ) , и выполнены либо условия (2), (4), либо условия (4), (5), (6), (8) в каждой

^    b ik I   u ik v ik ^dx-

E ik ∈ E i      ⁰

вершине Vij Е Vi} со скалярными произведениями (g, h)i lik

[ u,v ] i —        b ik     ( u ikx v ikx + u ik v ik ) dx соответствешю. Отождествим L2(G i ) co своим

E ik ∈ E i      ⁰

сопряженным и через F(G i) обозначим co пряженное к U(G i) относительно двойственности (•, •) пространство. Отметим плот:тые и непрерывные вложения U(Gi) ^ L2(Gi) ^ F(Gi) и заметим, что в силу теорем вложения Соболева функции из W21 (0, lik) п.в. на [0, lik] совпадают с абсолютно непрерывными функциями, поэтому пространства U(Gi) определены корректно. Возьмем Xi Е R+ и формулой lik

(L i U i ,V i ) i —        b ik /    ( U ikx V ikx + X i U ik V ik ) dx, U i ,V i Е U(G i ) ,

E ik ∈ E i      ⁰

зададим оператор L i Е L (U(G i );F(G i ))- Рассмотрим пространство A(G i ) — {u i — ( u i 1 , u i 2, • • •, U ik , • • • ) • U ik Е C 2(0 , l ik ) П C ¹ [0 , l ik ] , и выполнены либо условия (2) - (4), либо условия (4) - (8) в каждой вершине V ij Е V i}. Очевидны плотные и непрерывные вложения A(G i ) ^ U(G i ). npiнем ( ( X i u i - U ixx ) ,v i ) i — (L i U i ,V i ) i при всех u i. v i Е A(G i ). Таким образом, условия баланса потоков ((3) или (7) « спрятаны » в смысле О.А. Ладыженской в определение операторов Li. Возьмем v i Е R+, поло жим M i — v i ( X i I i — L i ) (I i • U(G i ) ^ F(G i ) - оператор вложения) и рассмотрим уравнение

L i U it — M i U i + f i -

(Ю)

Вектор-фупкцпто U i Е C 1(( r i - 1 ,r i );U(G i )). удовлетворяющую (10) при некотором f i Е F(G i ). назовем решением уравнения (10). Решение Ui Е C 1(( ri- 1 ,ri );U(G i )) П C ([ ri- 1 ,ri )];U(G i )) уравнения (10), удовлетворяющее условию Коши

U i ( r i - 1) — U 0 i                                           (11)

при некотором u 0 i Е U(G i ), назовем решением задачи (10), (И). Справедлива

Лемма 1. [7] При любих Xi, vi Е R+, fi Е F(G i ) и и 0 i Е U(G i ) существует единственное решение задачи (10), (11).

Теперь условиями u m +1( r m ) — u m ( r m ), m — 1, 2, • • •, i, • • •, « склеим » решения задач (10), (11), существование и единственность которых вытекает из леммы 1. С одной стороны, по определению u m ( r m ) Е U(G m ): с другой стороны, лемма 1 требует, чтобы u m ( r m ) Е U(G m +1). Сформулируем следующее утверждение:

Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина, А.С. Конкина

Теорема 1. При любих Xi, vi Е R+, fi Е F(Gi) и и о Е U(Gi) таки.г. что um (Tm) Е U(G m+1), m = 1, 2, ...,i,...,           (12)

существует единственное решение задачи (1), ((2), (4)) или ((4), (5), (6), (8)), (9).

Доказательство теоремы 1 в силу леммы 1 тривиально. Однако проверка условий (12) может оказаться чересчур сложной. В свое оправдание заметим, что они обязательно выполняются, если, например, все вершины графа ассоциированы с нерегулируемыми перекрестками. Или в случае fi = и о = 0, когда все решения тождественно равны нулю. Это соответствует двум ситуациям: либо на дорогах вообще нет транспортных средств, либо все транспортные средства на дорогах неподвижны (например, везде пробки).