Уравнения типа свертки со случайными данными
Бесплатный доступ
Обсуждается возможность использования преобразования Лапласа для решения интегральных уравнений типа свертки с неточно известными исходными данными. В предположении, что ошибки измерений могут быть описаны стационарным случайным процессом с нулевым средним (отсутствие систематических ошибок измерения) и известной корреляционной функцией, получены основные характеристики погрешности восстанавливаемого сигнала. Продемонстрировано, что численная реализация метода Лапласа технически значительно усложняет процедуру регуляризации.
Уравнения типа свертки, преобразование лапласа, регуляризация
Короткий адрес: https://sciup.org/147232804
IDR: 147232804 | DOI: 10.14529/mmph190101
Текст научной статьи Уравнения типа свертки со случайными данными
При решении различных прикладных задач, в частности задач теории динамических измерений, часто возникает потребность в решении интегральных уравнений Вольтерры типа свертки:
t j K( t - т) z (т) dT = u (t). (1)
о
Здесь z ( t ) - неизвестная функция, u ( t ) - экспериментально измеренная функция, K ( s ) - ядро уравнения (1), характеризующее исследуемую линейную систему. Предполагается, что уравнение (1) рассматривается на промежутке времени [0; T ], так что упомянутые функции определены для 0 < t < T , T < +^ .
Хорошо известно (например, [1-3]), что задача решения уравнения (1) с неточно заданной правой частью неустойчива относительно ошибок измерения. Если допустить, что уравнение (1) обладает единственным решением z 0 ( t ) для некоторой правой части и 0 ( t ), то допущенные (может быть, даже малые) отклонения от и 0( t ) могут приводить к значительным отклонениям от z 0 ( t ). Подобная неустойчивость к настоящему времени хорошо изучена и предложены различные методы регуляризации (метод А.Н. Тихонова, метод М.М. Лаврентьева, метод В.К. Иванова и др.), позволяющие элиминировать ошибки правой части и минимизировать погрешности вычислительных процедур.
Метод Лапласа
Одним из теоретически эффективных методов решения уравнения (1) является переход из временной в частотную область с помощью преобразования Лапласа ([4]). Если L [ ^ ] - преобразование Лапласа функции ^ ( t ), определенной на полупрямой [0; +~ ), то в силу теоремы о свертке уравнение (1) перейдет в алгебраическое уравнение:
L[u] = L[K] ■ L[z], относительно преобразований Лапласа (изображений) функций и (t), z(t) и K(s), из которого легко находится изображение неизвестной функции. Для определения функции z(t) теперь достаточно по изображению восстановить оригинал, положив:
z ( t ) = L - 1
L [ и ] L [ k ]
Математика
Хорошо известно (например, [4]), что преобразование Лапласа функции ϕ ( t ), такой, что | ϕ ( t ) | ≤ M exp( s 0 t ) определено и представляет собой аналитическую функцию в полуплоскости Re p > s 0 . При этом, если ψ ( p ) = L [ ϕ ] , то обращение преобразования Лапласа задается формулой Меллина–Бромвича
1 s + i ⋅∞
ϕ (t) = L - 1[ ψ ] = ψ (p) e tp dp, s = Re p > s 0.
2πi s-i⋅∞
Регуляризация
Сам по себе метод Лапласа решения уравнения (1) не решает проблем, связанных с упомянутой выше неустойчивостью. Поэтому прямое использование соотношения (2) не приводит к удовлетворительному результату в ситуации, когда правая часть уравнения (1) известна неточно. Как показывает более тонкий анализ (например, [2]), связано это обстоятельство с наличием у измеряемого сигнала высокочастотных составляющих. Естественным выходом в этой ситуации является подавление высокочастотных составляющих правой части уравнения (1).
Достигается это следующим образом. Пусть h(α; µ) – функция двух действительных пере- менных, определенная для всех µ и α> 0, такая, что:
-
1) ∀ α , µ 0 ≤ h ( α , µ ) ≤ 1;
-
2) h (0; µ ) = 1;
-
3) ∃ lim| µ | →∞ h ( α ; µ ) = 0;
-
4) ∃ lim α → 0 h ( α ; µ ) = 1 .
Полагая рассмотрим
Пусть
Тогда:
z ˆ( p ) =
L [u] L [K]
h ( α ; µ ),
z α ( t ) = L - 1[zˆ] = L - 1
и
µ = Imp ,
L [u] h L [K]
u ( t ) = u 0 ( t ) +∆ u ( t ) .
L [u] = L[u0] + L[ ∆ u]
Z a (t ) - z o ( t ) = C* LU 0 ] ( h — 1 )
- L IKI
+ L - 1
L [ ∆ u] h L [K]
В этом соотношении первое слагаемое описывает точность замены решения z0 (t) функцией zα(t) (т.н. точность регуляризации), второе – погрешность решения, обусловленную ошибками ∆u(t) измерения правой части уравнения (1). Можно доказать ([2]), что при α → 0 первое слагаемое стремится к нулю, в то время как второе может неограниченно возрастать. При надлежащем выборе параметра регуляризации α и стабилизирующей функции h(α; µ) точность замены решения z0 (t) функцией zα(t) будет иметь тот же порядок, что и ошибки измерения правой части уравнения (1). Заметим, что уклонение zα(t) от z0 (t) оценивается в соответствии с выбором нормированного пространства, в которое погружены эти функции. Чаще всего рассматриваются пространства C[0;T] , C[r0;T] , L[0;T] и L[0;T] .
Случайные ошибки измерений
Пусть теперь ошибки ∆ u ( t ) описываются стационарным случайным процессом ∆ u ( t ) = ξ (t) c нулевым средним ( M ξ ( t ) = 0) и корреляционной функцией R ξ ( t - τ ) ([5]). В этом случае и ре-
Заляпин В.И., Уравнения типа свертки со случайными данными
Харитонова Е.В.
шение уравнения (1) - случайный процесс (вообще говоря, необязательно стационарный). Разумной мерой уклонения z a (t ) от z ( t ) в конкретной точке t е [0;T] может служить величина дисперсии разности (3) в этой точке:
р 2(a z)=м I za—z|2, а мерой уклонения za(t) от z0(t) как элементов функционального пространства - норма функции р как функции переменной t в этом пространстве.
Найдем вероятностные характеристики процесса L [ ^ ]. Несложные выкладки дают:
W1 = 0, Cov L [ £ ] = ( L [ И- ]( p i ) + L [ R ^ ]( p 2 )).
P i + P 2
В частности, рассеяние преобразования Лапласа случайной ошибки измерений описывается дисперсией, даваемой предыдущим соотношением при p 1 = p 2 :
D ( L [ ^ ]) = M | L [ £ ] |2 = L [ R ^ ]( p ) + L [ R ^ ]( P ) . 2Re p
Пусть теперь A(a;t) - составляющая погрешности (3), обусловленная ошибками измерения правой части уравнения (1):
A ( a ; t ) = L
1 -L^ h ( a ;Im p ) _ L [ K ]
В силу стационарности процесса £ ( t ) его преобразование Лапласа представимо в виде:
L [ £ ] =J Z dw , Re p > 5 0 , p - iw
-∞ где Z(w) — спектральный процесс для £(t):
M I Z (dw ) |2 = dF ^ ( w ) = f ( w ) dw , а F ^ (w ), f ( w ) - спектральная функция и спектральная плотность, соответственно, процесса Z (t ). Применяя формулу Меллина-Бромвича, заключаем, что
+∞
A ( a ; t ) = J g a ( t ; w z dw )>
-∞ где
. 1 5 + h ( a ;Re p ) pt. g„ ( t ; w ) = ----- ——ep dp ,
Re p > 5 0
-
5 a ’ 2 n is ->„ L[ K ]( p )( p - iw ) P
Отсюда, дисперсия величины A ( a ; t ) дается соотношением:
+∞+∞
D(A(a;t))= J I ga(t;w)|2 dF=(w) = J I ga(t;w)|2 f^(w)dw.
-∞-∞
Заметим, что:
A 2
d ^
7 e 2 5t
I g a ( t ; w )|2 ^—^ 4 n 2
, +” I h (a; M)\e v-” |L[K]| ^52 + (^ - w)2
Применяя к интегралу в правой части неравенство Коши-Буняковского, получаем неравенство:
h ( a ; ^ ) L [ K ]
d g ,
2 5t +”
I g a ( t ; w )|2 ^^ — J
4П5 j -∞ и следующую из него оценку для дисперсии величины A(a; t):
Математика
2 st +∞ e |
h ( α ; µ ) |
2 |
D ( ∆ ( t ; α ) ≤ R ξ (0) ⋅ ⋅ ξ 4 π s -∞ |
L [ K ] |
d µ , s > s 0 |
Замечание о численной реализации
При реализации метода Лапласа для решения уравнения (1) наиболее проблематичным моментом является обращение скорректированного изображения, т.е. вычисление интеграла Мел-лина–Бромвича. Классические аналитические методы обращения преобразования Лапласа (например, [4, 6]) в реальных прикладных задачах, как правило, неприменимы и возникает необходимость использования численных методов. Достаточно полный обзор возможных численных процедур решения этой задачи представлен, например, в книгах [7, 8].
Следует, однако, заметить, что задача приближенного обращения преобразования Лапласа некорректна и требует регуляризации в той же мере, что и исходная задача решения уравнения (1).
Действительно, если мы хотим по изображению ψ ( p ),Re p > s 0 восстановить оригинал ϕ ( t ), t > 0 , то фактически мы ставим задачу решения интегрального уравнения:
+∞
∫ ϕ ( t ) e - ptdt = ψ ( p ) , 0
относительно функции ϕ ( t ) по заданной (неточно!) функции ψ ( p ) .
Это обстоятельство технически значительно усложняет предложенную процедуру решения уравнения (1) и ориентирует исследователей в прикладных областях на использование для решения уравнения (1) прямых методов регуляризации (метод невязки, метод квазирешений и т.п.), технически более простых в численной реализации, нежели метод Лапласа.
Список литературы Уравнения типа свертки со случайными данными
- Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы и программы. Справочное пособие / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. - Киев: Наукова думка, 1986. - 542 с.
- Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1986. - 286 с.
- Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и её приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. - М.: Наука, 1978. - 206 с.
- Диткин, В.А. Операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников. - М.: Высшая школа, 1975. - 407 с.
- Гихман, И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. - М.: Наука, 1977. - 567 с.
- Bateman, H. Tables of integral transforms. Vol. I / H. Bateman, A. Erdelyi. - New York-Toronto-London, McGrawhill, 1954. - 391 p.
- Рябов, В.М. Численное обращение преобразования Лапласа / В.М. Рябов. - СПб.: Изд. дом Санкт-Петербургского гос. ун-та, 2013. - 185 с.
- Крылов, В.И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращение преобразования Лапласа / В.И. Крылов, Н.С. Скобля. - М.: Наука, 1974. - 223 с.