Уравнения типа свертки со случайными данными

При решении различных прикладных задач, в частности задач теории динамических измерений, часто возникает потребность в решении интегральных уравнений Вольтерры типа свертки:

t j K( t - т) z (т) dT = u (t).                                     (1)

о

Здесь z ( t ) - неизвестная функция, u ( t ) - экспериментально измеренная функция, K ( s ) - ядро уравнения (1), характеризующее исследуемую линейную систему. Предполагается, что уравнение (1) рассматривается на промежутке времени [0; T ], так что упомянутые функции определены для 0 <  t <  T , T < +^ .

Хорошо известно (например, [1-3]), что задача решения уравнения (1) с неточно заданной правой частью неустойчива относительно ошибок измерения. Если допустить, что уравнение (1) обладает единственным решением z ₀ ( t ) для некоторой правой части и ₀ ( t ), то допущенные (может быть, даже малые) отклонения от и ₀( t ) могут приводить к значительным отклонениям от z 0 ( t ). Подобная неустойчивость к настоящему времени хорошо изучена и предложены различные методы регуляризации (метод А.Н. Тихонова, метод М.М. Лаврентьева, метод В.К. Иванова и др.), позволяющие элиминировать ошибки правой части и минимизировать погрешности вычислительных процедур.

Метод Лапласа

Одним из теоретически эффективных методов решения уравнения (1) является переход из временной в частотную область с помощью преобразования Лапласа ([4]). Если L [ ^ ] - преобразование Лапласа функции ^ ( t ), определенной на полупрямой [0; +~ ), то в силу теоремы о свертке уравнение (1) перейдет в алгебраическое уравнение:

L[u] = L[K] ■ L[z], относительно преобразований Лапласа (изображений) функций и (t), z(t) и K(s), из которого легко находится изображение неизвестной функции. Для определения функции z(t) теперь достаточно по изображению восстановить оригинал, положив:

z ( t ) = L ^{- 1}

L [ и ] L [ k ]

Математика

Хорошо известно (например, [4]), что преобразование Лапласа функции ϕ ( t ), такой, что | ϕ ( t ) | ≤ M exp( s ₀ t ) определено и представляет собой аналитическую функцию в полуплоскости Re p >  s ₀ . При этом, если ψ ( p ) = L [ ϕ ] , то обращение преобразования Лапласа задается формулой Меллина–Бромвича

1 s + i ⋅∞

ϕ (t) = L ^{- 1}[ ψ ] =         ψ (p) e ^tp dp, s = Re p > s ₀.

2πi s-i⋅∞

Регуляризация

Сам по себе метод Лапласа решения уравнения (1) не решает проблем, связанных с упомянутой выше неустойчивостью. Поэтому прямое использование соотношения (2) не приводит к удовлетворительному результату в ситуации, когда правая часть уравнения (1) известна неточно. Как показывает более тонкий анализ (например, [2]), связано это обстоятельство с наличием у измеряемого сигнала высокочастотных составляющих. Естественным выходом в этой ситуации является подавление высокочастотных составляющих правой части уравнения (1).

Достигается это следующим образом. Пусть h(α; µ) – функция двух действительных пере- менных, определенная для всех µ и α> 0, такая, что:

• 1)    ∀ α , µ 0 ≤ h ( α , µ ) ≤ 1;

• 2)    h (0; µ ) = 1;

• 3)    ∃ lim_{| µ | →∞} h ( α ; µ ) = 0;

• 4)    ∃ lim _{α → 0} h ( α ; µ ) = 1 .

Полагая рассмотрим

Пусть

Тогда:

z ˆ( p ) =

L [u] L [K]

h ( α ; µ ),

z α ( t ) = L ^{- 1}[zˆ] = L ^{- 1}

и

µ = Imp ,

L [u] _h L [K]

u ( t ) = u ₀ ( t ) +∆ u ( t ) .

L [u] = L[u₀] + L[ ∆ u]

Z a (t ) - z o ( t ) = C* LU 0 ] ( h — 1 )

- ^L IKI

+ L ^{- 1}

L [ ∆ u] _h L [K]

В этом соотношении первое слагаемое описывает точность замены решения z0 (t) функцией zα(t) (т.н. точность регуляризации), второе – погрешность решения, обусловленную ошибками ∆u(t) измерения правой части уравнения (1). Можно доказать ([2]), что при α → 0 первое слагаемое стремится к нулю, в то время как второе может неограниченно возрастать. При надлежащем выборе параметра регуляризации α и стабилизирующей функции h(α; µ) точность замены решения z0 (t) функцией zα(t) будет иметь тот же порядок, что и ошибки измерения правой части уравнения (1). Заметим, что уклонение zα(t) от z0 (t) оценивается в соответствии с выбором нормированного пространства, в которое погружены эти функции. Чаще всего рассматриваются пространства C[0;T] , C[r0;T] , L[0;T] и L[0;T] .

Случайные ошибки измерений

Пусть теперь ошибки ∆ u ( t ) описываются стационарным случайным процессом ∆ u ( t ) = ξ (t) c нулевым средним ( M ξ ( t ) = 0) и корреляционной функцией R _ξ ( t - τ ) ([5]). В этом случае и ре-

Заляпин В.И.,                               Уравнения типа свертки со случайными данными

Харитонова Е.В.

шение уравнения (1) - случайный процесс (вообще говоря, необязательно стационарный). Разумной мерой уклонения z _a (t ) от z ( t ) в конкретной точке t е [0;T] может служить величина дисперсии разности (3) в этой точке:

р 2(a z)=м I za—z|2, а мерой уклонения za(t) от z0(t) как элементов функционального пространства - норма функции р как функции переменной t в этом пространстве.

Найдем вероятностные характеристики процесса L [ ^ ]. Несложные выкладки дают:

W1 = 0, Cov L [ £ ] =        ( L [ И- ]( p i ) + L [ R ^ ]( p 2 )).

P i + P 2

В частности, рассеяние преобразования Лапласа случайной ошибки измерений описывается дисперсией, даваемой предыдущим соотношением при p 1 = p ₂ :

D ( L [ ^ ]) = M | L [ £ ] |² = L ^[ R ^ ^]( p ) ⁺ L ^[ R ^ ^{]( P} ) . 2Re p

Пусть теперь A(a;t) - составляющая погрешности (3), обусловленная ошибками измерения правой части уравнения (1):

A ( a ; t ) = L

¹ -L^ h ( a ;Im p ) _ L [ K ]

В силу стационарности процесса £ ( t ) его преобразование Лапласа представимо в виде:

L [ £ ] =J ^Z dw , Re p >  5 0 , p - iw

-∞ где Z(w) — спектральный процесс для £(t):

M I Z (dw ) |² = dF ^ ( w ) = f ( w ) dw , а F ^ (w ), f ( w ) - спектральная функция и спектральная плотность, соответственно, процесса Z (t ). Применяя формулу Меллина-Бромвича, заключаем, что

+∞

^{A ( a} ; t ) = J g a ⁽ t ; ^{w z dw} )>

-∞ где

. 1 ^{5 +} h ( a ;Re p ) _pt. g„ ( t ; w ) =    ----- ——e^p dp ,

Re p >  5 ₀

• ^{5 a} ’ 2 n i_s ->„ L[ K ]( p )( p - iw ) ^P

Отсюда, дисперсия величины A ( a ; t ) дается соотношением:

+∞+∞

D(A(a;t))= J I ga(t;w)|2 dF=(w) = J I ga(t;w)|2 f^(w)dw.

-∞-∞

Заметим, что:

A ²

d ^

7 e ^{2 5t}

I g a ⁽ t ; ^{w )|2} ^—^ 4 n ²

, +” I h (a; M)\e v-” |L[K]| ^52 + (^ - w)2

Применяя к интегралу в правой части неравенство Коши-Буняковского, получаем неравенство:

h ( a ; ^ ) L [ K ]

d g ,

2 5t +”

I g a ⁽ t ; ^{w )|2} ^^ — J

4П5 j -∞ и следующую из него оценку для дисперсии величины A(a; t):

Математика

2 st +∞ e	h ( α ; µ )	2
D ( ∆ ( t ; α ) ≤ R ξ (0) ⋅     ⋅ ξ   4 π s -∞	L [ K ]	d µ , s >  s 0

Замечание о численной реализации

При реализации метода Лапласа для решения уравнения (1) наиболее проблематичным моментом является обращение скорректированного изображения, т.е. вычисление интеграла Мел-лина–Бромвича. Классические аналитические методы обращения преобразования Лапласа (например, [4, 6]) в реальных прикладных задачах, как правило, неприменимы и возникает необходимость использования численных методов. Достаточно полный обзор возможных численных процедур решения этой задачи представлен, например, в книгах [7, 8].

Следует, однако, заметить, что задача приближенного обращения преобразования Лапласа некорректна и требует регуляризации в той же мере, что и исходная задача решения уравнения (1).

Действительно, если мы хотим по изображению ψ ( p ),Re p >  s ₀ восстановить оригинал ϕ ( t ), t >  0 , то фактически мы ставим задачу решения интегрального уравнения:

+∞

∫ ϕ ( t ) e ^{- pt}dt = ψ ( p ) , 0

относительно функции ϕ ( t ) по заданной (неточно!) функции ψ ( p ) .

Это обстоятельство технически значительно усложняет предложенную процедуру решения уравнения (1) и ориентирует исследователей в прикладных областях на использование для решения уравнения (1) прямых методов регуляризации (метод невязки, метод квазирешений и т.п.), технически более простых в численной реализации, нежели метод Лапласа.