Условие Эйнштейна на внешне рекуррентных подмногообразиях в пространствах постоянной кривизны

Пусть М^п+р — (п + р)-мерное гладкое риманово многообразие, g — риманова метрика на М^п+р, V — ковариантное дифференцирование в М^п*^р, Fⁿ — п-мерное гладкое подмногообразие в М^п+р, g — индуцированная риманова метрика на Fⁿ, TFⁿ и T^F⁷¹ — касательное и нормальное расслоения на Fⁿ соответственно, V — риманова связность на Fⁿ, определенная g, R и Ry — тензоры кривизны Римана и Риччи связности V соответственно, b — вторая фундаментальная форма Fⁿ, D — нормальная связность, R¹- — тензор нормальной кривизны, V — связность Ван дер Вардена — Бортолотти.

Определение 1. Подмногообразие Fⁿ в М^п+р называется внешне рекуррентным, если для некоторой 1-формы у на Fⁿ выполняется условие

(V_xbHY,Z^ p(XXY,Z^ VX,Y,ZGTFⁿ.          (1.1)

Определение 2. Подмногообразие Fⁿ в М^п+р называется подмногообразием Эйнштейна, если тензор Риччи R^ удовлетворяет условию Эйнштейна:

R_y = А/,                                    (1.2)

где I — тождественное преобразование, А — константа Эйнштейна.

Теорема 1. Пусть Fⁿ — внешне рекуррентное подмногообразие с Vb ^ 0 в М^п+р(с\ Тогда Fⁿ является подмногообразием Эйнштейна с константой Эйнштейна А = с^п — 1).

• 1.    Свойства тензора Риччи

Формулы Гаусса и Вейнгартена, соответственно, имеют вид [1]:

7_ХУ = 7_хУ + фС,У), Vx^ = -A^X + D_x^ 4X,Y eTFⁿ, ^eT¹^.

Оператор Вейнгартена А^, соответствующий £, удовлетворяет соотношению

ЖХХУО = д^ххУ

Ковариантная производная Vb определяется равенством [2]

<ХхЬЖ Z) = Dx№ Z)) - b(V_xY, Z) - b(Y, V_XZY

Ковариантная производная тензора Ri определяется формулой

(XxRi^ = ХхЩУУ) - R^XxYY

Определение 3. Подмногообразие Fⁿ в М^п+р называется подмногообразием с гармонической кривизной, если на Fⁿ выполняется условие

^_xRi)m = (V_YR№ 4X,YeTP\         (2.1)

Определение 4. Тензор Риччи R^ называется параллельным, если

X_xRi = 0 '^XeTFT

Уравнения Гаусса, Петерсона — Кодацци и Риччи в случае, когда F" является подмногообразием в М^п+р(с), имеют, соответственно, следующий вид [2]:

gWX, Y)Z, W) = с(д<Х, W)g(Y, Z) - g(X, Z)g(Y, W)) +

+ g(b(X, WW, Z)) - ЖХ, ZW, IV)),(2.2)

д(Н\Х, YX, g) = дЦАе, AJX, У)(2.4)

для любых X,Y,Z,W 6TFⁿ и £, p € T^F".

Пусть индексы в статье принимают следующие значения: г, j, k, I, m = 1,..., п, a, Р, у = 1,... ,р и действует правило суммирования Эйнштейна.

Пусть х — произвольная точка Fⁿ, T_xFⁿ и T^Fⁿ — касательное и нормальное пространства Fⁿ в точке х соответственно, U(x) — некоторая окрестность точки х, (и¹,..., uⁿ) — локальные координаты на Fⁿ в U(x\ {д/ди¹} — локальный базис в TFⁿ, {тг_а|} — поле базисов нормальных векторов в T^F™ в U(x\ Базис {п_а|} всегда можно выбрать ортонормированным и считать,«что g(n_Q\,Tip^ = 5_ар, где 6_ар — символ Кронекера. Введем следующие обозначения:

^№-9(s?’55/’ ^bii” \8tf'9

ЬуП°'’ ^Tii’^l,-9V⁷&aui’8u^fc)’

• ¹      "  ¹ tj,m> ^rLij,k y^i g^j T ¹ jk ^L ik> ^j,kl 91т-Г\р_к-,

Rik = *U W = -^ - Г^ - Г^6»„, r^, = 9 (n«|, v_&n_sl) ,

^Г» = ^Г^„ (v^b) ^_, A) = ^b^, v,^ = (v,% + Г^„) , где Цу^Ц и |j6^a/3|| — матрицы, обратные к матрицам Ц^ыЦ ^и ||5_а/?|| соответственно. Лемма 1. Пусть Fⁿ — внешне рекуррентное подмногообразие в М^п+р(с\ Тогда Fⁿ является подмногообразием с гармонической кривизной.

Доказательство. Запишем уравнение Гаусса (2.2) в локальных координатах. Мы имеем:

р

Rij,kt = c(gug_jk - g_ikg^ + ^№“_k - b“_kb“_t\ a=l

Следовательно,

p a=l

Отсюда, учитывая, что guglm = 6™' 9ji9lm " ^, получим: p a=l

Следовательно,

p

Rik = c(ng_ik - g_jt) + ^д“Ь>"_к - №1iY           (2-5)

a=l

Покажем, что на Fⁿ выполняется условие (2.1), которое в локальных координатах имеет вид:

V mFjk ⁼ ^ jTtmk-

Из уравнения (2.5) для ковариантной производной V_mRj_k получим следующее выражение:

р

^^Rtk = д" У,»^^ + 6^v_m»s - 6?_tv,„^ - b^_mi&Y (2.6) a=l

Используя равенство Г^ = -Г^, находим:

р                  р                    р a=l              (3=1                a=l

: 8           И.И. Бодренко. Условие Эйнштейна на внешне рекуррентных подмногообразиях

Отсюда,.

р                          р'

а=1а=1

Следовательно, р                              р                              р

E^^S+^v^J = Е(^^+^тг,у+Ег^= ct—l                          а=1                          а=1а=1

Р                             Р                              Pр

• = Е №^+г*.^)+Е biWjk+rMa = Е 4^1+Е w»^-а=1                       а=1                        а=1

Таким образом, верно равенство рр

Y.^^ + ⁶S^v«>⁶y = Е(^"⁶« + bS^Y (2.7)

• <1=1а=1

Учитывая (2.7), преобразуем (2.6) к виду:

р

VmRik - »“ E№^v"⁶°< + bji^mb”i - b^b^ - Ь“^_тьу. (2.8)

Из условия (1.1) находим:

Ь^_т^ = Ъ>_т^ = ^_тЬ“_к.              (2.9)

Учитывая (2.9), преобразуем (2.8) к виду:

р v„fljt = дК EMV„.6°t + b^„b-fc - b^b", - b^b^. а=1

Отсюда, в силу уравнения Петерсона — Кодацци (2.3), получим:

р

V_mR_ik = д^К Et^Vji", + 6^6", - b^b", - IWy.    (2.10)

<1=1

Применяя в (2.10) соотношения (2.9), находим:

V_mR_lk = д^к YXH& + b-^й - ьу^ - Ь^Ю = V^t. а=1

Лемма доказана.

Обозначим через М(ж) первое нормальное пространство подмногообразия Fⁿ в точке ж.

Лемма 2. Пусть Fⁿ — внешне рекуррентное подмногообразие сХЬ^Ов М^п+р(с\ Тогда dimA^x) = l,Vx € Fⁿ.

Доказательство. Предположим противное. Пусть в некоторой точке ж € F” dimAi(rr) ^ 1.

Случай 1. Если dimM(x) = 0, то приходим к противоречию с условием b ^ О на Fⁿ.

Случай 2. Если dimlVi(rr) > 1, то найдутся векторы ^,<2,<з,^4 € TxFn такие, что векторы 6(fi, i2), Ь(^з,/4) Е T^Fn не коллинеарны. Составим линейную комбинацию векторов pX^P^XMW^ ~ P^plXXti^.

Учитывая (1.1) и уравнение Петерсона — Кодацци (2.3), имеем:

P^WtX^t^ - рШШ¹ъ^ = P(ti)p(t3)b(t₂,t₄) - p(t₃)p(t₄Xti,t₂) =

= p(t₄MtsXWi) - p^pit^b^i^^) = о.

Отсюда, в силу линейной независимости векторов 6X^2), b(t_3l t₄\ получим:

р^Хр^ = Р^Р^ = 0.

Тогда для Vt е T_xFⁿ p^tXti^ = P^iXt,!^ = p(t₂XMi) = 0- Отсюда, рХ = 0, Vt € T_xFⁿ, что противоречит условию V6 ^ 0.

Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть Fⁿ — внешне рекуррентное подмногообразие cVb ^ 0 в М^п+р(с\ Тогда Fⁿ имеет параллельный тензор Риччи.

Доказательство. Из леммы 2 следует, что в каждой точке ж € F" все векторы Ь(Х,У) коллинеарны, но не все равны нулю. В некоторой окрестности U^ рассмотрим единичное векторное поле £ е T^F", которому будут коллинеарны векторные поля b^X,Y\ Включим £ в оснащение {п_а|}, положив £ = пц. Из уравнения Риччи (2.4) следует, что нормальная связность F” является плоской, т. е. R^ = 0. Тогда существует базис из собственных векторов Х₁₅..., Х_п оператора А^. Можем считать после перенумерации индексов, что F(Xi,Xi) = Ь}_х ^ 0. Обозначим р(Х^ = р,.. Из (1.1) следует, что

Д1б(х1,ха=^(х1,х1)

и, следовательно, р_х ^ 0, р₂ = ■ • • = р_п = 0. Докажем, что X^Rpt = 0. Мы имеем следующее соотношение:

ViR_jk = 2pi(R_jk - c(n - l^gjkY                   (2.11)

Тогда из (2.11) и леммы 1 следует, что XtRj_k = 0, если хотя бы один из индексов i,j,k не равен 1. Осталось показать, что Vi7?n = 0. Из (2.8) находим:

v^Rn = /(ь^ь;, + iL^b', - bhVib}, - bijV^;,) = /г^^б!, - ь^ь;,) = о.

Лемма доказана.

10          И.И. Бодренко. Условие Эйнштейна на внешне рекуррентных подмногообразиях

Доказательство теоремы 1. Из леммы 3 и равенства (2.11) следует

Rjk c(n Y^Qjk — 0.

Следовательно,

Ri = с(п — 1)1.

Теорема 1 доказана.