Условие оптимальности решающей функции в радиосистемах с принятием решений

К радиосистемам с двухэтапным принятием решений можно отнести системы цифровой связи [1] и многодатчиковые системы распознавания (классификации) [2, 3]. В системах передачи дискретной информации на первом этапе формируются решения демодулятора, а на втором эти решения обрабатываются в декодере, в результате формируется окончательное решение о том, какая информация была передана. В многодатчиковых системах распознавания на первом этапе датчики (подсистемы, каналы, классификаторы) формируют решения о принадлежности наблюдаемого объекта к одному из заранее установленных классов в алфавите каждого датчика, а на втором этапе эти решения объединяются, при этом используется алфавит окончательных решений. Для общности будем называть решения первого этапа частными, а второго - общими. Применительно и к системам цифровой связи, и к многодатчиковым системам распознавания будем называть процесс принятия общего решения объединением частных решений.

В работе [3, 4] на основе общего байесовского подхода рассматриваются алгоритмы объединения частных решений. Предлагается метод оптимального учёта текущей достоверности частных решений, в частном случае приводящий к алгоритму оптимального голосования. Критерием оптимальности является критерий идеального наблюдателя.

Одним из направлений использований предложенных радиотехнических систем является неразрушающий контроль. В настоящее время полимерные композиты, например, угле- и органопластики, широко используются в авиационной технике, авиационных двигателях для изготовления высоконагруженных несущих элементов. Основным достоинством композитных материалов на основе синтетических армирующих волокон является высокая удельная прочность, возможность в широких пределах управлять прочностью и жесткостью конструкции, добиваясь ее высокого весового совершенства [5-7]. Возникающие при ударах внутри- и межслойные повреждения (расслоения, разрыв волокон) существенно влияют на остаточную прочность композитного элемента и могут приводить к его внезапному разрушению в процессе штатной эксплуатации [8-9]. В связи с этим важной частью мониторинга состояния композитных конструкций является выявление ударных дефектов для их дальнейшего ремонта или принятия решения о замене всего элемента [10–12]. В этом случае радиоволновый метод можно применять для поиска дефектов в структуре композитных материалов.

С помощью излучателя сканируется поверхность эталонного композитного материала и формируется набор данных. После проводится сканирование исследуемого образца и формируется набор по наблюдаемым объектам. Возникающие неоднородности (дефекты) будут являться установленными известными классами в алфавите.

Математическая модель

В работе [4] на первом этапе формирования решения о принадлежности наблюдаемых объектов к заранее установленным классам в алфавите U = {u 1 ,...,u m } нет описания возможных ошибок, которые могу возникать при ложной принадлежности наблюдаемых значений к заданному классу. Необходимо учитывать вероятность ошибки системы и выбрать оптимальную решающую функцию, с помощью которой можно принимать решение о принадлежности наблюдаемых объектов к заданным классам. Это необходимо выполнять особенно в случае большого количества значений от датчиков или источников.

Для определения такой решающей функции воспользуемся моделью, основанной на нахождении ключевых статистик в теории принятия решений по фиксированному числу наблюдений [13]. В предложенной модели предполагается, что рассматривается модель в случае дискретного времени. Решающая функция должна быть оптимальна и позволять принимать решение о принадлежности не только в случае, когда в установленный класс входит одно значение U = {u 1 } , но и в случае нескольких значений U = { u 1 ,..., u m } . Условие оптимальности решающей функции зададим на основе леммы Неймана–Пирсона.

В многодатчиковых системах распознавания на первом этапе датчики (подсистемы, каналы, классификаторы) формирования решения о принадлежности наблюдаемого объекта к одному из заранее установленных классов в алфавите U = {u 1 ,...,u m } каждого датчика рассмотрим с помощью ключевых статистик в теории принятия решения по фиксированному числу наблюдений.

Будем предполагать, что наблюдаемые объекты формируют наблюдаемые данные, которые описываются числовой последовательностью:

Х 1 ,Х2-,X n .                                                (1)

Эти числовые последовательности являются результатом наблюдений над независимыми одинаково распределенными случайными величинами:

0 1А,.. А .                                    (2)

Структура (2) описывает наблюдаемый процесс 0 = ( 0 _t ) _t > ₀ , и данный процесс задан в измеримом пространстве ( Q ,^, Р ). Здесь Q = { ю } - пространство элементарных событий (исходов) ю , У = { A : A с Q } - совокупность множеств (событий) из Q , образующих т -алгебру. В пространстве ( Q ,y, Р ) заданы меры Р₀ и Р ^ , которым соответствуют 0 ₀ и 0 ^ .

В рассматриваемых последовательностях будем предполагать, что все величины 0 k - одномерные случайные величины с одномерными функциями распределения

F0 = F0(x)(= Р0(0п < x)).(3)

И при п >  1 имеют плотность f ₀( x )

dF0 (X) = f)(x М dx), где д(dx) - некоторая т -конечная мера.

В качестве меры будем использовать меру

^(dx) = 1 (Р0(dx) + Р№(dx)) .(5)

Для Р ₀ ( 0 1 <  x 1 ,..., 0 _n <  x_n ) соответствует функция плотности распределения p ₀ ( x 1 ,...,x_n ) .

Поскольку рассматриваемые величины независимые и одинаково распределенные, это означает, что плотность совместного распределения p ₀ ( x 1 ,...,x_n ) будет равна

Чепурнов И.А., Черваков В.О., Вахитов М.Г., Клыгач Д.С.

F e ( ^x 1 ^, ••• ^, x n ) = P e ^{( e} x < x i ,-^{, e} n < x n )

и имеет следующий вид

P e ^{( x} 1 ^, •••, x n ) = f e ^{( x} 1 ⁾ •••• f e ⁽ x n )

Ключевой статистикой (для каждого n >  1) будет статистика:

_{L =} f о ⁽ x x )- f 0 ⁽ x n )

n   f , ( x i )-- f , ( X n )

Для приятия решения о принадлежности наблюдаемого объекта к одному из заранее установленных классов в алфавите каждого датчика введем функцию ф = ф ( x _x, x ₂,..., x_N ), которая принимает значения в [0,1].

Фундаментальная лемма Неймана–Пирсона

В общем случае функция ф = ф ( x _x, x ₂,..., X n ) - это вероятность соответствия принадлежности наблюдаемого объекта к одному из заранее установленных классов в алфавите каждого датчика. С точки зрения теории вероятности ф = ф ( x _x, x ₂,..., x_N ) - вероятность принятия гипотезы H ₀, когда получены наблюдения x _x, x ₂,..., x_N над случайными величинами e _x, e ₂,..., e n .

Введем следующие функции:

а ( ф ) = E _ю ф ( e x , e ₂,..., e n ), вф ) = E o (x - ф ( e x , e ₂,..., e n )), (9) где E ₀ и E ^ - усреднение по исходным мерам Р ₀ и Р _т . Значения E ₀ и E _т можно найти как математическое ожидание для каждого значения наблюдаемых случайных величин e _x, e ₂,..., e n .

Основной смысл введенных функций (9) в том, функция а ( ф ) - это вероятность принятия гипотезы H о , когда верна гипотеза H _т . Функция а ( ф ) - это вероятность ошибки I рода. Аналогично, что функция в ( ф ) - это вероятность принятия гипотезы H _т , когда верна гипотеза H ₀ . Функция в ( ф ) - вероятность ошибки II.

Применительно к задаче о принадлежности наблюдаемых объектов к заранее установленным классам гипотеза H ₀ будет описывать вариант, когда полученные значения принадлежат установленным классам. Гипотеза H _т описывает вариант, когда наблюдаемые значения не принадлежат установленным классам. Соответственно а ( ф ) - функция показывает вероятность ошибки в случае, когда наблюдаемые объекты принадлежат к заранее установленным классам ( e _x, e ₂,..., e n ) е U , но в действительности это не так ( e _x, e ₂,..., e n ) £ U . Функция в ( ф ) показывается, когда наблюдаемые объекты не принадлежат к заранее установленным классам ( e _x, e ₂,..., e _n ) ^ и , но в действительности ( e _x, e ₂,..., e _n ) е U .

Решающая функция будет оптимальна, если для Фa = {ф: а(ф) < a}, где a е [0,x], выполняет- ся

Для любого функция в(фа) = inf в(ф).                                   (10) феФ a 0 < a < x найдутся такие постоянные коэффициенты 2* и h*a, что решающая x, P 0( xx,x 2,..., XN ) > h*a P Ю (xx,X 2,..., XN ), ф*( xx,x 2,..., XN ) = pa\ P 0(xx,x 2,..., XN ) = haP ю (xx,x 2,..., XN ),                 (11) 0, P 0(xx,x 2,..., XN ) < h* P« (Xx,X 2,..., XN ) является оптимальным в классе Фa .

В (11) ha - отношение правдоподобия ha = Ln = P0( xx,X2,..., XN VP« (xx,X 2,..., XN ) .                                   (12)

Приведенная выше решающая функция является обобщенным случаем для алгоритма неполного декодирования Форни [14]. В этом алгоритме используются коэффициенты текущей достоверности оценок символов с выхода демодулятора следующего вида:

'1,        L ( 0 ) >  5

^a t _MOP

L ( 6 t )/ 5 ,0 <  L (0_t ) <  5 ,

0,      L (0) < 5, где at MOP - коэффициент достоверности Форни, L(6t) определяется по формуле:

L( 6_t ) = In ( P(^_t | 6 _t)/^ ₆ P( ^ t । °* ) ) , где P( ^ _t | 0_t ) - функция правдоподобия t -го символа, s - параметр, введенный в [5] при применении границы Чернова.

С учетом (11) получаем, что h* = Ln = L(0)t) = In (P(^t | 0t)/^0= =^)t P(^t I 6t) ).                        (14)

Задача нахождения оптимальной решающей функции сводится к нахождению коэффициента отношения правдоподобия L_n . Для нахождения неоднородностей (дефектов) эталонный образец необходим для формирования p _x ( x 1 ,x ₂,..., x_N ) и, соответственно, гипотезы H _ro . Данные p₀(x 1 ,x₂,...,x_N ) формируются на исследуемых образцах. Вычисляется коэффициент отношения правдоподобия L_n и находится решающая функция, на основе которой определяется, входят те или иные значения в класс установленных функций, т. е. принимается решение, является ли данный набор данных неоднородностью (дефектом) или нет.

Выводы

В статье рассматривается выбор оптимальной решающей функции для радиосистемы принятием решений. Предлагается метод вычисления оптимальной решающей функции для определения принадлежности наблюдаемых значений к заданному классу. Предложенный метод позволяет эффективно использовать частные решения для принятия общего решения в другом алфавите на основе сведений о составе наблюдаемой группы объектов и распределении их по классам, а также оптимального учёта текущей достоверности этих частных решений.

Показано, что данный алгоритм подходит для решения практической задачи определения неоднородностей (дефектов) в проблемах неразрушающего контроля.

Авторы выражают признательность профессору А.В. Богомолову за интерес к работе и плодотворные дискуссии. Кроме того, считаем своим приятным долгом поздравить профессора А.В. Богомолова с юбилеем.

Финансирование

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-2901002, 22-29-01002/.