Условие оптимальности типа принципа максимума Понтрягина в задаче управления линейными разностными уравнениями дробного порядка

Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите

В работе [1] получено представление решения краевой задачи, для системы линейных неоднородных двухмерных разностных уравнений дробного порядка.

В этой работе для рассматриваемого уравнения изучается задача оптимального управления при предположении, что управляющая функция входит в граничное условие, а функционал является линейным.

Доказано необходимое и достаточное условие оптимальности в форме дискретного принципа максимума.

В случае нелинейного, но выпуклого функционала качества доказано достаточное условие оптимальности.

Постановка задачи

Рассмотрим задачу о минимуме линейного функционала

S (и) = c'a(x1) + d'z(t1,x1)(1)

при ограничениях

u(x) e UcRr,xeX =

= {xo,xo + 1,-,x1-1}.(2)

△ ^az(t + 1,x + 1) =

A(t, x)z(t, x) + B(t, x)z(t + 1, x)

+C(t,x)z(t,x + 1) + D(t,x),(3)

z(t0, x) = a(x), x e X u x1,(4)

z (t , x₀) = b(t), t e T u t 1 ,

T = {to,to + 1.....t1-1}(5)

a⁽x o ) = b⁽t o) = a o ,

A^a(x + 1) = K(x)a(x) + g(x,u(x)), x e X, a(xo) = ao.(6)

Здесь A(t, x), B(t,x), C(t,x), X(x) заданные (n X n) -дискретные матричные функции, D(t,x) - заданная n-мерная дискретная вектор-функция, b(t) - заданная дискретная вектор-функция, a0,t0,t1,x0,x1 - заданы, g (x, u) - заданная непрерывная по и при всех x, n-мерная вектор-функция, u(x) — г-мерная вектор-функция управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества U (допустимое управление), с и d - заданные n-мерные постоянные векторы, а Aaz(t,x), и A^a(x),0 < а,^ < 1 дробные операторы порядка а и ft (см., например, [2-7], а операция (‘) означает транспонирование.

Допустимое управление, доставляющее минимальное значение функционалу (1), при ограничениях (2)–(6) назовем оптимальным управлениям.

Формула приращения функционала качества

Пусть u(x),u(x) = u(x) + Au(x) — два допустимых управления. Через

(a(x), z(t, x)), ( a(x) = a(x) + Aa(x), z(t, x) = z(t, x) + Az(t, x))

обозначим соответствующие им решения системы (2)–(6).

Тогда приращение функционала (1) примет вид

• △S(u) = c'Aa(x1) + d'Az(t1,x1).(7)

Здесь Aa(x), Az(t, x) являются решениями задач:

• △^△a(x) = K(x)Aa(x) + AU(X)g[x],(8)

Aa(x0) = 0.(9)

A^aAz(t + 1,x + 1) =

= A(t, x)Az(t, x) + B(t, x)Az(t + 1, x) + +C(t, x^Az^t, x + 1),(10)

Az(t0,x) = Aa(x),x e X u x1,(11)

Az(t,x0) = 0,t e T u t1,(12)

соответственно, где по определению

& u(x) g^[x] = g(x,u(xS) - g(x,u(xS).

Как видно уравнения, (8) и (10) являются системами линейных неоднородных разностных уравнений относительно Aa(x) и Az(t, x) соответственно.

Имеет место (см. [9]).

Теорема 1. Решение y(t) системы линейных неоднородных разностных уравнений дробного порядка

△ ^ay⁽t + 1) = Л⁽0у⁽0 + g⁽t)

с начальными условиями

y(t) = yo допускает представление t-1

y(t) = y0 ^J+^a^ — 1,j)A(j)] + j=t о t-1

+ У Ra(t — 1,j)f(j) X j=t0

t-1

X J [1+Ra(t —1Л)Ж)], k=j+1

где

Kafc^n+j;-1)-

Тогда

+-1

△ а⁽х) = У Ф⁽х,ЛДад.дШ . j =+0

Из результата же работы [1] следует

Теорема 2. Решение z(t, х) краевой задачи (3)–(5) для системы линейных 2D разностных уравнений дробного порядка допускает представление в следующем виде:

z(t, х) = а(х0) + t-1

+ У R a ⁽t — 1, х — 1; j, х о — 1) X j=to

X C(j,x o — 1)b(j) +

+-1

+ У R a (t o s=+ o

— 1, х — 1; t o — 1, s) х

x B(t₀ — 1,s)а(s) + t-1 +-1

+УУR a (t— 1,j;s)D(/',s).  (17)

j = t o S =+ o

А биномиальный коэффициент определяется по формуле

Здесь

R a ⁽t — 1,х — 1;j,s) =

—{

Г(а + 1)

Г(а -n + 1)Г(п + 1)

/1 — j +

\ t—j

Шх — х + a — /V х — s

1),

, n > 0,

n = 0, n < 0.

Здесь для любого х, yER, х^А = г (х++¹у), гДе Г — гамма функция, для которой выполняется тождество Г(х + 1) = хГ(х).

По теореме 1, решение уравнения (8) с начальными условиями (9) представляется в виде

△а(х) =

+-1

= У Rpte - 1,j⁾A_U(j)g^[j^] X j =+o

X П^+1[1 + Rp(x — 1,т)К(т)].  (14)

Введем следующее обозначение

ф⁽х,;) = Rp⁽x — 1,j} x +-1

X J J [1 + R^(x — 1, т) X m=j+1

X К(т).   (15)

где Ra(t — 1,х — 1; j, s) является решением следующей задачи:

Ra(t — 1,х — 1;j,s)4Q,s) =

= —Ra⁽t — 1, х — 1; j — 1, s⁾B⁽j — 1, s) —

—Ra(t — 1,х — 1;j,s — 1)C(j,s — 1) , j = t — 1,...,to,s = х — 1,...,хо,    (18)

Ra(t, х; t — 1, х — 1) = E.

Тогда ясно что,

△z(t, х) =

+-1

У Ra(t — 1,х — 1; to — 1,s) x

S=+o

X B(t₀ — 1, s)△а(s).        (19)

Подставляя (16) в (19) будем иметь:

△z(t, х) =

+-1

= У Ra (t — 1,х — 1; to — 1,s) X s=+o

X B(t₀ — 1, s)△а(s) +-1

— У Ra(t — 1, х — 1; to — 1, s) x s=+o

X B⁽to — 1,s) IJ^ Ф(х,/)Д_1/Ч).|/|.

Полагая

Q1(t,x,s) = x-1

= ^Ra (t — 1, x — 1; Cq — 1, t) x

T=S + 1

xS(t0 —1,1)Ф(1,х),       (20)

получим, что x-1

△z(t,x) = ^ Qi(t,x,s)A_S(_s)5[s^].    (21)

S=%0

Принимая во внимание соотношения (16), и (21) формулу приращения (7) можно записать в виде

△5(u) = с'Да(х1) + d'Az(t₁,x₁) = x1-1

= ^ с‘Ф(Х1, x)^^).^^] +

X=%0

X1-1

+ ^ d'Q1(t1,x1,x)A_izW.g^[x^] =

X=%0

X1-1

= ^ [с^,Ф(X1,x)

X=%0

+ d'Q1(t1,x1,x)^]A_uW.g^[x^].               (22)

Полагая

P(x) = — [с^,Ф(X1,x) +d'Q1(t1,x1,x)] (23) M'(x, u, p) = p'g(x,u)

Au(x)Mlxl   p ^u(x)5[x], соотношение (22) записывается в виде

X1-1

△5(u)     ^ A_c(x)M[x] .       (24)

x=x0

Можно доказать, что вектор-функция p(x) определяемая формулой (23) является решением уравнения

p(x — 1) = — [c,Ф(x1,x — 1) + ++d'Q1(t1,x1,x — 1)].(25)

Далее из (19) получаем, что

Q1(t1,x1,x — 1) =

= ^Ra^(t1^— 1, ^x1 ^{— 1; C}0

— 1,x)Q1(t1,x1,x).(26)

Принимая во внимание (15), (26) в (25), будем иметь

p(x — 1) = p(x) + ^(to — 1, x) x xB'(to —1,x),(27)

где по определению

^(t, x) = —R'_a(t₁,x₁; t, x)d.

Из (25) следует, что p(x1 — 1) = —c.(28)

Далее, используя (28), показывается, что ^(t, x), определяемая формулой

^(t, x) = —R'_a(t1 — 1, x1 — 1; t, x)d, является решением краевой задачи:

^(t — 1, x — 1) = ^'(t, x)^(t, x) + —B'(t, x)^(t — 1,x) —

—C'(t, x)^(t, x — 1),           (29)

^(t1 — 1,x — 1) =

= B'(t1 — 1,x)^(t1 — 1,x),

^(t — 1,x1 — 1) = = C'(t,x1 — 1)^(t,x1 — 1), ^(t1 — 1, x1 — 1) = —d.

Условие оптимальности

При помощи представления (24) доказывается

Теорема 3. Для оптимальности допустимого управления u(x),x 6 X в задаче (1)-(5) необходимо и достаточно, чтобы соотношение maxM(f, v, p(f)) = v6U

= M«,u(O,p(O)    (30)

выполнялось для всех ( 6 X .

Доказательство. Необходимость: Пусть u(x) оптимальное управление. Тогда из формулы приращения (24) следует, что для любого допустимого управления u(x) = u(x) + △u(x)

X1-1

^ ДадММ <0.     (31)

x=x0

Используя произвольность u(x), определим его следующим образом:

у ( V,        x = ( 6 X,

u(x) = {u(x),    x ^ f 6 X, где f 6 X - произвольная точка, v 6 U произвольный вектор.

Тогда неравенство (31) примет вид:

△vM[f] < 0.

Отсюда, в силу произвольности v 6 U и f 6 X , следует условие максимума (30).

Перейдем к доказательству достаточности условия максимума (30).

Предположим, что для допустимого управления u(x) выполняется условие максимума Понтрягина (30). Из него следует, что для любого f 6 X, u(f) = v 6 U, An(f)M[f] < 0.

Отсюда, в силу произвольности % € X, следует, что

X1-i

2 Дй^Ж] < 0.

^=Xo

С учетом этого неравенства из (24) получаем, что для любого допустимого управления u(x)

AS(u) = S(u) — S(u) > 0, т. е. S(u) > S(u).

Из последнего соотношения следует, что управление u(x) является оптимальным управлением. Этим достаточность дискретного условия максимума Понтрягина доказана.

Случай нелинейного выпуклого критерия качества

Изучим несколько более общий случай. Рассмотрим задачу о минимуме функционала

S⁽u) = (pi(a(xi)) + (p₂(z(ti,Xi⁾)   (32)

при ограничениях (2)–(5).

Здесь p₁(a), p₂(z) — заданные непрерывно дифференцируемые и выпуклые в Rⁿ скалярные функции.

В случае задачи (1)–(5), (32) приращение функционала (32), соответствующее допустимым управлениям u(x), U(x) = u(x) + Ди(х) при помощи формулы Тейлора можно записать в виде

△S(u) = S(u) — S(u) = d р'^^У)

=----7-----△a(xi) + ua

₊W^ⁱ')bz(fi,xi) + uZ

+oi(\\ba(xi)\) + o₂(\\z(ti,x^ (33) где величины Oi(Q,i = 1,2 определяются из разложений

Pi(a(xi)) — pi(a(xi)) = dpi(a(xi)) =----г-----△a(xi) + u a

+oi⁽\\ka⁽xi')\\'), p₂(z⁽ti,xi⁾) — p₂(z⁽ti,xi)) = = 5p2Cz^Xi»₄z(_ti,Xi) + uZ

+ O2(\z(ti,Xi)\), а \\a\\ норма вектора a = (ai, ..,апУ определяется формулой

n

\\a\\ = 2|а_г|.

i=i

Используя представления (16), (21) формула приращения (33) преобразуется к виду:

AS(u) =

^X1-i      /      A

1"РУ""ф'-!-Д^А>]-

X=Xo

X1-i     У          X

ZdP2(z⁽ti,Xi)) --------------Qi ⁽ti, xi,x)x

Uz

X=Xo x ku(x)9\x\ + Oi(\\ka(xi)\\') + +O2(\z(ti,Xi)\) =

X1-i

= 2^xi)+

X=Xo L dp2(z(ti,xiy)1

+------^------Qi⁽ti,Xi,x'⁾\ ku(X)9\x]

+Oi(\\ka(xi)\\) + O2(|z(t1,X1)|).(34)

Полагая

^jp^*^^

+ apy^xi)Qi(t x x}(35)

uzJ

M(x,u,p) = p'g(x,u), ^(t,x) = —R a(ti,xi; t,x) x aР2(z(t1.x1)) x---uz формула приращения (34) записывается в виде

X1-i

△^S(u) = ^— У A^(X)^M[x] +

X=X0

+Oi⁽\Aa(xi⁾\⁾ +

+O2(\\z(ti,Xi)\\)         (37)

Из (35), (36), используя (15), (18), получим, что p(x) и ^(t,x) являются решениями следующих задач соответственно:

p(x — 1) =

= p(x) + V(t0 — 1,x) x xB'(to — 1,x),     (38)

,     _n     upi(a⁽xi⁾)

p⁽xi — 1) =.

ua

^(t — 1, x — 1) = A'(t, x) ^(t, x) —

—B'(t, x) ^(t — 1, x) —

—C'(t, x) ^(t, x — 1),    (39)

^(ti — 1,x — 1) = = B'(ti — 1,x) ^(ti — 1,x), ^(t — 1,xi — 1) = = C(t,xi — 1) ^(t,xi — 1),

|№1-1.х1-1) = -э,,2(%1*‘)).

В силу выпуклости функций (1(a), (₂(z) ясно, что (см. например [11, с. 164]).

о1^Дя(х1}^ > 0,o2^z(t1,x1)^ > 0.

Поэтому из (37) следует неравенство х_х-1

дад>-^ ДйММ[х].   (40)

х=х0

Из соотношения (40) следует

Теорема 4. Для оптимальности допустимого управления и(х) в задаче (1)-(5), (32) достаточно, чтобы неравенство

Хх-1

^ДгММ[х]<0       (41)

Х=%0

выполнялось для всех п(х) Е U, х Е X.

Доказательство. Пусть допустимое управление и(х) удовлетворяет соотношению (41). Тогда из неравенства (40) следует, что для любого допустимого управления п(х)

ад - ад > 0.

• 1.    Последнее соотношение означает оптимальность допустимого управления и(х). Этим доказательство теоремы 4 завершено.

Таким образом, в двух случаях удалось доказать необходимое и достаточное условия оптимальности в форме дискретного принципа максимума Понтрягина.

Заключение

В работе изучается одна дискретная граничная задача управления, описываемая системой линейной двумерной разностных уравнений дробного порядка.

Используя представления решения рассматриваемой краевой задачи доказано необходимое и достаточное условие оптимальности типа дискретного принципа максимума.

В случае нелинейного по выпуклого критерия качества доказана достаточность условия максимума.