Условия действия и ограниченности операторов внутренней суперпозиции с весом в пространстве функций на полуоси

В статье рассматриваются линейные операторы S и T , входящие в линейные функционально-дифференциальные  уравне ния вида nm

X ( t ) = £( S i X )( t )+^( j )( t )+ f ( t ), t >0, (1)

i =1                   j =1

где x ( t ) - неизвестная функция из заданного пространства D функций на множестве [0, ос), f (t) - заданная функция из пространства B функций, определенных на множестве [0,ос). Исследование основано на изучении свойств операторов, заданных левой частью уравнения (1). Такие линейные операторы в дальнейшем будем называть: операторы S – функциональными, операторы T – функционально-дифференциальными.

Основное внимание для уравнения (1) уделяется исследованию спектральных свойств, в первую очередь обратимости и нё-теровости [5, 10]. Также важно исследование ограниченности и действия операторов S и T в задачах устойчивости [1–4].

Класс операторов S и T весьма широк и его отдельные представители связаны с задачами из различных областей математики и ее приложений. Среди таких областей можно указать, кроме классической теории функциональных уравнений, теорию функционально-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, теорию дифференциально-функциональных уравнений "нейтрального типа", теорию нелокальных задач для уравнений с частными производными, теорию краевых задач для уравнения колебаний струны и уравнений смешанного типа, ряд вопросов общей теории операторных алгебр и теории динамических систем,

спектральную теорию автоморфизмов банаховых алгебр и другие вопросы.

Обозначения и определения

Пусть L - линейное пространство измеримых и локально суммируемых функций f :[0, да) ^ I”, D - линейное пространство локально абсолютно непрерывных функций x :[0, да) ^ Ж”, производные которых принадлежат пространству L. Здесь и ниже Ж” -линейное пространство вещественных векторов-столбцов с нормой | • |. Будем предпола гать, что норма | • | ” х ” -матрицы согласова на с нормой в Ж”.

Обозначим

L p

.. ..        (да                 Уp

V €L :|fL = f | f (')|pdt p k 0             J

при 1 <  p <да и

L да^- { ^{f € L :} || f I L ^E vraisup^| f ⁽ ' ) ^|< ^да } .

Для 1 <  p <да и 1 <  r <да введем пространства L_pr функций f € L [1; 10, с. 17] таких, что

^L да r 4 f ^€ L ji f L r - sup]4Д <4.

^                                i £ 0, да                 ^r

Очевидно, что L_pr c L^ при любых 1 <  p , r <да . Кроме того, пространства L_pp и L_p совпадают по запасу элементов и их нормы при этом равны.

Символом C обозначим пространство непрерывных функций у :[0, да ) ^ Ж ” , а BC - пространство функций у € C , для которых

II y|Bc ^- sup^| у ⁽ t ) ^| <^да - t > 0

И, наконец, при 1 <  p < да , обозначим

^W P - ^DL p -

• ^- { x ^€ D ^: x ^€ L p , X ^€ Lp ; I| ^x||dl_p ^-1 x L +1 x L } .

Нетрудно показать, что  DLp c BC, причем это вложение непрерывно.

Для любого элемента x € DLp верно представление x = Wf + Ua . Здесь f = X + x, f € Lp, a = x(0), a € Ж”. Оператор W опре- деляется равенством t

(Wf )( t ) = f e ^s - ' f ( s ) ds , 0

оператор U определяется равенством (U a) (t ) = e ^- ' a .

Введем также весовые пространства: L gp ( p = 1,oo, gE Ж) - пространство всех таких измеримых функций f : [0, ос) —> Ж ” , каждая из которых представима в виде ^f ( t ) = e^Yg ( t ) , где g ^€ L_p , с нормой ^{|| f ||} L g -   || g H_L . Аналогично введем пространства

тr Lpr •

Действие и ограниченность функционального оператора

Рассмотрим оператор внутренней суперпозиции с весом (оператор подстановки с весом) [6, с. 19]:

( Sy )( t ) = G ( t ) у ( g ( t )) , ' >0.

Здесь элементы ”X” -матрицы G измеримы и локально суммируемые, а измеримая функция g(t):[0,оо)^Ж удовлетворяет условию "независания" [6, с. 18] или условию согласования [5, с. 31]: если n С[0,оо), то mesn = 0^ mesg-1(n) = 0 , где mes - мера Лебега.

Изучим    условия    действия    и ограниченность из пространства L в пространство Lp (1 < p < да).

Будем предполагать, что если g ( t ) <0 , то G ( t ) = 0 . Следуя [8, 9] обозначим при 1 <  p <  да функцию

G* ( t ) = lim vraisup | G ( t ) | ^{p me}^° t eg ^-1 ( e )

mes g '( e )

mes e

Лемма. Пусть z € L_p ,    1 <  p < да ,

2 > 0, - +1 = 1.

pq

Тогда

X J

a:

n + 1

e ^{— A (} n ^— s )

n = 0

eA

A p 1 - e ’ “

z 1 - e

ap A

z

^g

g

2 "Ip A p

L

Доказательство

Пусть p >  1 . Тогда получаем:

a

n + 1

p

<

= e ^{A q}

2 A P

I ^q) I

1 - e

1 x - 1 Ap \

►   2

p

Пусть p = 1 , тогда вычисляем: a n + 1

XJ e - A("-”1-- ( n=0 0

a n ^{k + 1}

= xxJ e ■-n ^-4

n = 0 k = 0 k

Is =

X J

n = 0

e — ^{A (} n - s )

a

= X e-Apn n=0

n+1                  P j eAs |z(s)| ds

. 0                     J

(неравенство Гёльдера)

<_X e ^{- a}p'

n = 0

f n + 1 A gs

p q  n+1  Aps

<

к 0

a

= X e-APn n=0

Aq

^p Aq ( n + 1)

e

z

—

p

.

n + 1   A ps

• J e ² | z ( s )| ^P ds <

Aq A 2 e ²

A q

A q

2 e ^T

Aq

p

q

» ⁿ +¹  - Ap , „

X J e 2    |z(s)|P ds = n=0 0

p q

a n k ^{+ 1} k p.    .

XX J e - A " - ' '

n = 0 k = 0

k

A q

2 e ^T

p q

a

n

Aq

A q

2 e ^T

p q

Aq

e

XX e

n = 0 k = 0

k + 1

Ap_{(  t n}k ^{+ 1}

■ -   ( ^{n -} k ^{- 1)} J \z ( s )| ^Pds <

k

^ p                      -

'² ' X J l ^{z ( s} ) ^ds ’ X ^e

k = 0 k

n = k

к ^A q )

p

q X

n = 0

^A P —

1 - e ²

- Ap ( n - k )

<

k + 1

■ J | z ( s )| p ds =

k

a n XX e -^{A (} n = 0 k = 0

a ^{k + 1}

k + 1 : n - k - 1) f

k

= e

k = ⁰ k

X e - A ( n - k ) = n = k

Z, A

=     . I HL,.

Таким образом, получаем:

r ( A ) = J c P

e ^A

1 - e

A , P = 1,

e ^A

A p —

1 - e ²

A P — 2(1 - e ²)

1 ^q

Aq

, 1 <  p < a .

Утверждение A. Оператор S действует и ограничен из пространства L в пространство L_p (1 <  p <  a ) тогда и только

тогда, когда

При этом

G^Pg£L~ .

( A)

11 S\\^_Lp G^pg L / ’

.

Доказательство. Ограничимся для простоты скалярным случаем.

Если g удовлетворяет условию "независания", то справедлива формула замены переменной в интеграле [11, с. 577]. Отсюда

ll Sy ll P = [ l G ( t )l ^P -l У ( g ( t ))l pdt = ^p

= JG^Pp ( t )l У ( t )l ^Pdt<

< ll G^Pg ll l^ 'll У ll P .

Необходимость (A) и выражение для нормы есть в [5, 7–9, 13].

Утверждение B. Оператор S действует и ограничен из пространства L в

пространство L тогда и только тогда, когда

и

G e L „ ( B ) .

При этом || S || l^ <|| G ||.

Доказательство (см. [5, 7–9, 13])

Утверждение C. Оператор S действует и ограничен из пространства L    в пространство L ( r ≠ ∞ ) тогда и только

е м_к g g ^(Д m )П Д к , m ( в м_к )>⁰

G g ⁽ t ) >  g M_k - ye^ M^ для любого t e ^eM_k .

Определим

У м ( t )= X           '   ■ X.., ( t ) .

к=M ^ ( . м_к )       ^м к

Несложно проверить, что || y_M H_L =1.

тогда, когда

K = sup[^ vrai sup    G r ]^V r < °°-   ( C )

m   k = mg~ 1 ([ m , m+ 1])П[ k , k +1]

При этом || S\\_L ,  .

Теперь

11 Sy M || l'

r

£    J     Gg (t )| Ум (t )| rdt = к=Mg- 1(Д M ) 4

Доказательство

Обозначим A_m=[ m,m + 1], m eNU0.

∞

= X ¹

к = M ^ ⁽ e M_k )

Для скалярного случая вычислим норму:

II Sy ^{|| r} = sup [G r ⁽ t >^| y ⁽ g ⁽ t » ^| r dt =

Lr    m

m

= sup f  Gg(t >| y(t)| r dt = m g- 1(Am)

∞

* X ( g M.

K = M

≥ K^r - ^ε

-

f Grg (t)dt > eMk

ε ^∞

9 к + 1 - M ) = X ^g M_k

²         к = M

_- ε _≥

2  2

- = K^r - s .

= sup£    J    Gg(t>■| y(t>|r dt < m k=mg-1(Дm)ПДк

< sup^ vrai sup  Gh (t) • m k=mg-1( Am )П Дк

• •     /      | y ( t )| ^r dt<

g ¹ (A m )4

• < supsup   | y ( t ) | ^r dt •

Таким образом показано, что для любого s >0 существует такой элемент y e L _x r , || y || L =1 и выполняется

неравенство || Sy || r  >K^r —e.

Из последнего неравенства немедленно следует, что || S ||_z _>_L >K и, объединяя с rr

(C1), получим || S |L _^,  = K .

LrLr

В процессе доказательства для нормы S получено, что если

£ vrai sup   G g y W r  K r .

к = mg- ¹(Д m )П Д к           r°^r

Таким образом

|| S |L       .

LrLr

2 vrai sup  Gg(t)> AM -e, к=Mg- 1(д м )n д.             2

( C 1)

Докажем в скалярном случае равенство || S || L_p=_Lp = K .

Пусть s >0 - произвольное число.

Тогда существует M = M ( s ) > 0 , такое что

J2 vrai sup  Grr (t) > Kr к=Mg- 1(Д M )n Дк

e

Обозначим g_M = vrai sup Gg .

^к  g- ¹ (Д m )П Д к

Существует       последовательность измеримых множеств

то существует У м ^{e L}, _r : W У м W l _/. = ¹ такое, ^что        0 Sy M \t_xr-^L_xr> A^r M -e -

Поэтому, если sup £ vrai sup  Gg (t) = oo, м K=Mg- 1(дм)nд.

то оператор S не ограничен из L в L .

Поскольку оператор S регулярный, то действие эквивалентно ограниченности (конус в L – воспроизводящий и нормальный [12 , с. 397]).

Действие и ограниченность функционально-дифференциального оператора

Рассмотрим оператор внутренней суперпозиции с весом (оператор подстановки с весом) [6, с. 19]:

( Tx )( t ) = H(t ) x ( h ( t )), t >0.

Здесь элементы nxn -матрицы H измеримы и локально суммируемые, а функция h(t) : [0,oc) -^R - измеримая.

Изучим    условия    действия    и ограниченность из пространства DLp = Wp в пространство Lp (1 < p < ж).

Будем предполагать, что если h ( t ) < 0 , то H ( t ) = 0.

Утверждение D. Оператор T действует и ограничен из пространства DLp в пространство Lp (1 < p < ж), если и только если sup( f      | H(t)|pdt)1Zp <оо.   (D1)

m h- ‘ ([ m , m +1])

Доказательство

Ограничимся для простоты скалярным случаем.

Условия действия и ограниченности оператора T : DLp ^ Lp   эквивалентно условиям действия и ограниченности двух операторов TU: R LLp и TW: Lp ^ Lp .

Докажем необходимость.

Тогда справедливы соотношения

+ ® >  j | TU | ^p ( t ) dt = J | H ( t ) | ^p e ^{- ph (} t ) dt =

0                       0

= £  /   । H (t )| p e~ph (t) dt> m=0h ‘(Am)

• >£e- p ( m +D  J । h ( t )| ^p _d t .    ( D 2)

m =0          h~ ‘ (A ,„ )

Значит, | H ( • ) | ^p суммируема на каждом множестве h ’( A_m ) .

Далее, получаем

ОО                    h ( t )

|| TWz || p = J | H ( t ) | ^p [ Je^{(h (} t ) s ) | z ( s ) | ds ] ^p dt = 0                 0

ж                                h ( t )

= E J    | H(t)|p [ J e-(h(t)-s)| z(s)ds]pdt > m=0 h-1( Am )              0

• > E [ m e - m - s ) | z ( s ) ds ] ^p J    | H ( t )| p dt >

^m =^{0 0}                       h ^{- 1} ( A m )

• >    e-^p (J | z ( s )| ds ) ^p   J   | H ( t )| ^p dt

M -¹             h- ‘ (A m )

для любого M > 1.

Или || TWz || p >

• >    e p ( J | z ( s )| ^p ds ) ^p J   | H ( t )| ^p dt .  ( D 3)

Mh~ ' (Д m ,)

Множество ^{{ z} M ^{( s} ) = X [ м - 1M ] ^} , где

M >  1 ограничено в L , причем || z_M \\_L =1 p_p для любого M >  1.

Так как оператор TW = Q ограничен как оператор L_p ^ L_p , то

HTWz m || p ^| Q | p ^ .

Учитывая неравенство ( D 3) , получим, что для любого M >  1 справедливы неравенства

Г | H(t)|pdt

• <    ep Ш^Р^_р •

При M = 0 из неравенства  (D 2)

получим

[   | H(t)|^pdt^p || TU ||p .

p h- ‘(ДО

Таким образом, если T : DL_p ^ L_p, то (D1) выполнено.

Докажем достаточность.

Если выполнено (D1) , то

|| TU || p = J | (TU)(t) | ^pdt = f| H (t) |^pWp⁽t) dt =

0                           0

= £  /   । H(t)|p e~ph(t) dt< m=0h ‘(Am)

„    1

≤

1 — e

-

- sup J ^|H⁽t^)|pdt< X. m  h^-1(A m )

Аналогично вычисляем:

oo                h (t)

|| TWz ||p = /dt[H(t) Je^(h(t)-s) | z(s) | ds]^p =

0              0

h (t)

∞

= S J   H (t) J e_(h(t)-s )| z (s )|ds ] p < m=0

h^-1( Am )       ⁰

_X  m+1

<^[ J e —' m- ’ '|z (s )ds ] p J \H (t ^dt < m=0  0

h^-1( A_m )

< sup f | H (t) |p dt • m h 1(A m)

•£["[e~^(m-^s)| z(s)|ds]^p.

m=⁰  0

использовались    вложения

Здесь

DLp о L_p (DLp c Lp „ ) .

В силу леммы

|| TWz ||l’sup(    [    | H(t)|^pdt)^1/p || z ||l .

p       m h¹(A m)                    p

Замечание. Если h удовлетворяет условию "независания", то условие (D1) эквивалентно условию sup( J Hhp (t)dt)1/p < X. m   [ m, m+1]

Следствие. T : DLp ^ Lp  (p ^ x ), если выполнено хотя бы одно из условий:

• 1)    если H g Lp, следует из (D1) , которое    эквивалентно    действию    и

• ограниченности оператора T: BC Lp.

• 2)    если H ^p∈L , то, в силу замечания, эквивалентно действию и ограниченности оператора T : L_p ^ L_p .

• 3)    если H ^p∈L , то, в силу замечания, эквивалентно действию и ограниченности оператора T : L^ ^ L_p

• 4)   e^a(“^h(^H(•) g L^_p   эквивалентно

действию и ограниченности оператора αα

T^{: L}X p ' ^Lx p .

Выведем следствие 4.

Проверим условие (D1) :

J   | H (t) |p dt = h- 1(A m )

= £ J | h (t )| pdt = k=0 h 1(Дm )ПAk

m

= У       Г     _e-ap(t-h(t)) ,

• k =⁰h- ¹(Дm )П A_t

.[ea(t-^h(t» | H(t) |]^pdt <

• <    ^e-^a(m—k—1)J [e^a(t^—h(t)) | H(t) |]^pdt<

k=0            A _k

αp

• <    sup J [e-^a(t^—h(t» | H(t) |]pdt • ,p< X.

• ^{k A}k                             ¹ e

Утверждение E. Оператор T действует и ограничен из пространства DL в пространство L , если и только если vrai sup | H (t) |< oo.           (E1)

t >0

Доказательство

Докажем необходимость. Рассмотрим скалярный случай. Вычисляем:

|| TU HL = vrai sup | H(t)e "(t) |= 00t

= sup vraisup | H(t)e^h(t) |>e~¹ vraisup | H(t)|, m t-h- ЧД m )                t-h' 4^)

откуда vraisup | H(t)|

Вычисляем значение оператора на единице:

H^{TW 1}\\L =vraisup^[|H⁽t^{)| 00}       t >0

h (t)

J e~(h(tbs) ds ] = h (t)

= sup vraisup [| H(t) | [e~(h(t)_s) ds] > m teh- ЧД m )       4

m

> sup vrai sup [| H(t) | Pe(m s) ds] > m t-T   m )        0

> (1 — eM) vraisup | H(t)|, t-h~¹(A m )

откуда vraisup | H(t)|<'У|| TW 1||l , при M >1.(E3)

t-h-¹(Am )             ^e           ~

Из (E 2) и (E 3) следует (E1).

Докажем достаточность.

Неравенство очевидно:

11 TU |\_L< vrai sup | H(t) |< oo.

⁰⁰        t >0

Вычисляем:

h (t)

|| TWz\\_L = vraisup[| H(t) | Гe~⁽h⁽t^bs) | z(s) |ds] <

“     t>⁰           J

t

< vraisup|H(t) |sup fe(' s) | z(s) |ds < t>0               t>0 “

< vraisup| H⁽t)|-|| W ||l   B. -|| z ||l

•

t >o ^{x x}

Утверждение F. Оператор T действует и ограничен из пространства DL (при 1 < г < ос) в пространство Lmr, если и только если

' m+1

¹г

m

Доказательство

Докажем необходимость. Вычислим:

II TU\\L  =sup J [|H (t )| e-h(t)\dt = mm

m m k~0 \m h 1(^k)

sup £e-r(k+1)    f   \H (t )| rd m k°'            A.nh-1(Дк )

e г sup £ Г   \H(t)|rdt = m k 0 m k 1( Ak )

= e гsup J mm отсюда

m

m

Докажем достаточность:

IITU\\_L  =sup ^H(t)|^r e^h^(t)dt

r

m

r

m

m

< sup

r

t

*0 0

< sup m

m

1 r

IL^BC II Lr •

Заключение

Результаты этой статьи дают полные доказательства утверждений 1, 3 и следствие 1 из статьи [1].