Устойчивость движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы

Рассматривается вопрос о сведении задачи об устойчивости движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы к задаче об устойчивости движения по всем переменным для некоторой вспомогательной системы.

Рассмотрим непрерывно-дискретную систему уравнений вида

= Ат + ВЦккУ       (1)

at где х 6 Я", и Е Дг,т < п, А ^постоянная матрица размерности тг х п; В - постоянная матрица размерности п х г. Управление и = (ui,...,ur)T зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функцию, т. е. u(t) = u^kh.), t е \kh.; (k + l)fi]. Здесь h > 0 — некоторая постоянная, к — 0,1,2,...; ж(0) -начальные данные системы, верхний индекс т означает транспонирование. Пусть управление задано в виде

u(kh) = Kx(kh),           (2)

где К есть постоянная матрица размерности г х г.

Представим вектор х в виде ж = ($1, ..., sn)T =   (yi,..,ym,Zl,..,Zp)T =   (y,z)T, m > 0, р > 0, m + р = «. Тогда система (I) с учетом управления (2) примет вид у = Ay + Bz + Py^kh?) + Qz^kK), г = Су + Dz + Ny(kh^ + Lz(kh,^, где А, В,C, D, P,Q,N, L - постоянные матрицы соответствующих размерностей, или

,           тл-

■Jr = 52алук+52 by3t+ mр

+52^г2/г ^^+52qthSh ^^ ’( г=1Ь=1

= 52 с^^ +52^12!+ а=1i=i

m

4- У^ пугуДкЛ) + У^ 4h zh(kh), r=l  h=i г = l,m; j = l,p.

Для исследования задачи об асимптотической устойчивости поло жени я равнов есия Pi - O,Zj - 0 (г - 1,пг; j = 1,р) системы (3) по отношению к у^.^Ут воспользуемся идеей В. И. Воротникова [1] построения некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений, называемой д-системой. На основании анализа устойчивости д-системы делается вывод об устойчивости по отношению к части переменных положения равновесия исходной системы.

Приведем систему (1) к д-системе. Рассмотрим векторы hi = (b»i,..., Ь<р) (t = 1, mi), составленные из соответствующих коэффициентов системы (3). Новые переменные введем в виде [1, с. 27]

р

Д1 = 52 ^^ (* = 1^1),     (5)

i=l где первые mi векторов i>i,.., 6mi выбираются линейно независимыми, а векторы bmi,..^bm линейно выражаются через них. При этом возможны два случая.

Первый случай. Система (4) приводится к виду

• -57 = 52 a^k+52 ^(№^^ри/Акин к=1         1=1г=1

■A-’^,0ihp.h.^kh?)1 (i = l,..,m),(6)

к=1

• -^ = 52 aifc,yk + 52 w1 + 52 dJ>yr(k/i)+ " k=l          i=lr=l

mi

+ 52^^h^W^r (j = l,-,mi),

dz m          p          ,n

"зг = 52 c_sky_k + ^2,d$izi + 52 n_sryr(A;A)+ k=l         i=l        r=l

p

+ 52 UhZh^kh.), (s = 1, --,?). h=l

Здесь а5_к,ац,91к,о^_н3*_к,5^_г - постоянные. Поведение переменных У1,-.-,Ут системы (4), относительно которых рассматривается устойчивость положения равновесия, полностью определяется системой

,     m        mim

-г = 52а1кук+52^^ + 52 р-гУг(кл)+ k=i         l=ir=i mi

+ ^/3ihjUh(fc/i), (i = l,..,m),(7)

k=l j     m        mim rr=52 Здк+52 aji№+52 ^тУЛкн.^

k=l         1=1r=l mi

+ 52^h(^). C?^1,"^!),

Л=1

называемой р-системой по отношению к исходной системе (3).

Второй случай. Система (1) не приводится к (7) после введения переменных (5). Если считать, что только первые m2 (ma < mi) переменных dji из (6) линейно независимы, то имеют место первые т2 (m2 < mi) равенств р         р      р™i

52d*nzi = 52bjv^dykzi') = 52“^ <8) i=i                  i=i

Тогда остальные mi — m2 из равенств (7) невозможны, а система (1) будет состоять из уравнений

,      гм          mim

= 52 ^кУк + 52 °^1 + 52р<гУг(^) + к=1         1-1г=1

+ 52 A^k^L (1 = 1,--, 771), Л=1

,      m         mi

4г = 52 ^аЬук + 52 5jryrW+

*=1         1=1Г=1

mi

+ 52^*^(^)= О' = l,..,m2), Ь=1

• •          171                m 1771

= ^a8kyk+5>:;w + у^дкьн к=1         1=1г=1

mi

52^W(^), (э = m₂ + 1,..., mi), (9) /1=1

—^ = 52c»fc^ + 52 At^ + ^,iwyr(kh?)+ k=l         1—1r=l

P

+ ^l_3hZh(kh), (s=l,...,p), p

Otsl ~ 52^^, (S = 7712 + 1, ...,1711).

Пусть первые mg из векторов a^+b-^m'i (m3 < mi — m2) линейно независимы, a остальные линейно выражаются через них. Введем новые переменные

р

P^mi+7 ⁼ 5 ^ ^г+ь!^’  (+ ~~ Етз).

i=i

При этом система сведется либо к системе типа (6) или (9). В первом случае д-система построена, во втором случае необходимо продолжать введение новых переменных.

Переход к д- системе имеет смысл только тогда, когда ее размерность меньше размерности исходной системы. Вспомогательные переменные д-системы выбираются из переменных (в векторном виде)

д = Bz, р^¹^ = Bi = BDz,...,

^k)=BzW = BDkz <1<к<р-1\

Таким образом, для определения размерности д-системы, так же как и в случае [1, с. 30], рассматривается матрица

Kp = (BT,DTB\...,lDTy^BTY где BT,DT - вектор-столбцы системы (3). А значит, для непрерывно-дискретной системы (1) верны леммы о размерности вспомогательной //-системы для линейных систем. Приведем их формулировки.

Лемма 1 [1, с. 29]. Для системы (1) введением R <  г групп новых переменных типа всегда может быть построена вспомогательная д-система, размерность которой не превосходит размерности исходной системы.

Лемма 2 [1, с. 31]. Для того чтобы размерность д-системы была равна m + h, необходимо и достаточно, чтобы rank/Vp = h.

Переход к системе д-вида эквивалентен введению вместо переменных ^х = (У1; •■,Ут>^1>--ч^;гр)^Г новых переменных ги = (yi,-.,ym,/ii,...,/Zh,Vi,-Vr) (m+p = n =

= т + h + г), причем исходная система (1) принимает такой вид, что первые m 4- А не содержат i>i (г — 1,г).

Установим связь между коэффициентами исходной системы (1) и вспомогательной д-системы (7). Пусть а - минимальное число такое, что гапкА^! = rankK₃. Рассмотрим матрицы Li (г = 1,5) вида [1, с, 32]:

• а)    строки матрицы Li размера А х р - линейно независимые вектора-столбцы матрицы jFC^i;

• б)    столбцы матрицы L-z размера h х h, - линейно независимые вектора-столбцы матрицы Li;

• в)    строка с номером tj (j = 1,..,, А) матрицы Lg размера р х h является строкой с номером з матрицы L^ ¹ — обратной к L_2l а остальные строки матрицы La - нулевые;

• г)    £4 и £5 - матрицы вида

Г _ f Em б X , / Е_т 0 \

U “ О Li J ’ Ls ™ О La )Т где Ет. - единичная матрица размера т х т.

Лемма 3, Вспомогательную д-систему для (1) составят уравнения с - L4AL^ + L4BKL6^kh\ (10)

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству |1, с. 33]. Переход от исходной системы (1) к д-системе эквивалентен замене переменных w = Lx\ д-систему составят первые m 4- А уравнений системы w = LAL~¹w + LBKL^w^kh).

Таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости не прерывно-дискретной системы (I) по части переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости вспомогательной системы (10) по всем переменным. Далее, используя теорему В. И. Зубова [2, с. 100] о возможности стабилизации системы вида (9) с помощью дискретного управления, убедимся, что система (3) ((4)) стабилизируется относительно части переменных.

Приведем формулировку данной теоремы для системы (10).

Теорема. Если векторы K_s — (В^Т, D^TВ^т, ..., ^D^Ty~* В^т) линейно независимы, то существуют коэффициенты усиления К (управление (2)) и величина А такие, что нулевое решение системы (10) будет асимптотически устойчивым.

Здесь s - минимальное число такое, что rank/G-i = rank/

Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

$1 = — Ж1 + $2 — 2^з + тДАА) — 2тг(АА)4-+4жз(^А),

$2 = 4x1 + ^2 + тДАА) 4- Зжз(АА), (II) т₃ = 2ii 4- х₂ - Ха — iri (АА) 4- х^кк^-)—

-xa(kh), или в переменных у, z yi = —У1 4- Z1 - 2z2 4- У1 (АА) - 2zi (АА)+ +4хз(АА,)

з'1   4yi 4 zi 4- уДАА) 4- Зх₃(АА),

22 = 2yi + xj - х₂ - 2уДАА) 4- zi(AA) - ?г(АА).

Вспомогательная переменная в соответствии с (5) имеет вид дт = zi — 2za, а д-систему составят уравнения

У1 = -У1 4- дт 4"У1(АА) - 2дДАА),

Д: = ”Дт 4- 5у1 (АА) - 2щ (АА).

К этой же системе можно прийти с помощью преобразования (10), где

0 0

1 -2

/ 1

, и = о V о

0 \ о /

Матрица ^AAs 4- L4BKL5 системы (12) имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями, следовательно, нулевое решение /i-системы асимптотически устойчиво по Ляпунову [2, с. 100]. Это значит, что движение pi = Zi = 22 = 0 исходной системы (11) асимптотически устойчиво по yi, хотя оно не устойчиво по Ляпунову по всем переменным.