Устойчивость факторизационных множителей факторизации Винера-Хопфа матриц-функций
Бесплатный доступ
Рассматривается факторизация Винера-Хопфа двух достаточно близких по норме алгебры Винера матриц-функций A(t) и B(t). Целью работы является изучение вопроса, когда факторизационные множители A(t), B(t) будут достаточно близки друг к другу. Эта задача представляет значительный интерес в связи с разработкой методов приближенной факторизации матриц-функий. Имеются два основных препятствия при изучении данной проблемы: неустойчивость частных индексов матриц-функций и не единственность их факторизационных множителей. Ранее задача изучалась М.А. Шубиным, который показал, что устойчивость факторизационных множителей имеет место только в случае, когда A(t) и B(t) имеют одинаковые частные индексы. Тогда существует факторизация B(t), для которой факторизационные множители будут достаточно близки к множителям A(t). Теорема М.А. Шубина носит неконструктивный характер, поскольку не известно, когда частные индексы двух близких матриц-функций будут одинаковыми и не указан способ выбора требуемой факторизации Винера-Хопфа матрицы-функции B(t). Для преодоления этих недостатков в настоящей работе изучена проблема нормировки факторизации в ус¬той¬чи¬вом случае, описаны все возможные типы нормировок и доказана их ус¬той¬чи¬вость при малом возмущении A(t). Это позволило найти конструктивный способ выбора факторизации возмущенной матрицы-функции, который гарантирует устойчивость факторизационных множителей.
Факторизация винера-хопфа, устойчивая система частных индексов, устойчивость факторизационных множителей, нормировка факторизации
Короткий адрес: https://sciup.org/147235834
IDR: 147235834 | УДК: 517.544.8 | DOI: 10.14529/mmph220101
Stability of factorization factors of Wiener-Hopf factorization of matrix functions
We consider the Wiener-Hopf factorization of two matrix functions A(t) and B(t) that are quite close in the norm of the Wiener algebra. The aim of this work is to study the question when the factorization factors of A(t), B(t) will be close enough to each other. This problem is of considerable interest in connection with the development of methods for approximate factorization of matrix functions. There are two main obstacles in the study of this problem: the instability of the partial indices of matrix functions and the non-uniqueness of their factorization factors. The problem was previously studied by M.A. Shubin, who showed that the stability of factorization factors takes place only in the case when A(t) and B(t) have the same partial indices. Then there is a factorization B(t) for which the factorization factors are sufficiently close to the factors of A(t). Theorem M.A. Shubin is non-constructive since it is not known when the partial indices of two close matrix functions will be the same, and the method for choosing the required Wiener-Hopf factorization of the matrix function B(t) is not indicated. To overcome these shortcomings, in the present paper we study the problem of normalization of the factorization in the stable case, describe all possible types of normalizations, and prove their stability under a small perturbation A(t). Now it is possible to find a constructive way of choosing the factorization of the perturbed matrix function, which guarantees the stability of the factorization factors.
Список литературы Устойчивость факторизационных множителей факторизации Винера-Хопфа матриц-функций
- Гохберг, И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. - М.: Наука, 1971. - 352 с.
- Litvinchuk, G.S. Factorization of measurable matrix functions / G.S. Litvinchuk, I.M.Spitkovsky. - Birkhauser, Basel-Boston, 1987. - 372 p.
- Clancey, K.F. Factorization of matrix functions and singular integral operators. Operator Theory, Advances and Applications / K.F. Clancey, I. Gohberg. - 1981. - 236 p.
- Adukova, N.V. On effective criterion of stability of partial indices for matrix polynomials / N.V.Adukova, V.M. Adukov // Proceedings of the Royal Society A. - 2020. - Vol. 476, Iss. 2238. - p.20200012.
- Адукова, Н.В. Устойчивость факторизационных множителей канонической факторизации Винера-Хопфа матриц-функций / Н.В. Адукова, В.Л. Дильман // Вестник Южно-Уральского университета, серия Математика. Механика. Физика. - 2021. - Т. 13, № 1. - С. 5-13.
- Чеботару, И.С. Сведение систем уравнений Винера-Хопфа с системам с нулевыми индексами / И.С. Чеботару // Изв. АН Молд. ССР, сер. физ.-техн. н. - 1967. - № 8. - С. 54-66.
- Adukova, N. On a normalization of the Wiener-Hopf factorization for matrix functions / N.Adukova, V. Adukov // 13th International ISAAC Congress, August 2-6, 2021, Ghent, Belgium. - 2021. - P. 45.
- Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. - М.: Наука, 1984. - 318 с.
