Устойчивость инвариантных множеств периодических систем

В настоящей статье изучаются свойства инвариантных множеств динамических периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

■^s = fs (^1’ • • ’ хк’ ^1>  • • ’ zn-k )’ z j = 9 j (^1’ ' • ’ ^k’ ^1’  • • ’ zn-k ) ’      С1)

s = 1’ . • ’ k’ j = 1’ . • ’ n - k.

Условия существования и единственности решений системы (1) будем считать выполненными. Пусть правые части системы (1) являются периодическими функциями Z j , ..., ж к с периодом 2 л . Пусть решения системы (1) являются уходящими по z_t, ..., Е ^к , f ^е"          _       ..... _    _

• 1)    существует неограниченная последовательность значений параметра ] t_n ] : t_n ^ го , выполнено x₅(t_n) ^ x_s е п ^го

е (- го ; + го );

• 2)    для любой неограниченной последовательности    { t_n } : t_n ^ го выполнено

п ^го

^Z j {tn ) ^ ^го .

Рассмотрим решение системы (1) с начальными данными:

00      0   0 _ е0 п

X1 , ^2 , • , Xk , Zj — ^ j + 2Лmj, j — 1, ., и - k, ^0 е [0, 2л], где mj целые. Если в системе (1) сделать замену переменных Zj — ^j + 2лту, то правые части не изменятся, система перейдет «сама в себя».

X s — f s ( X, Е ) , ^ j — _9j ( X, Е ) , s — 1, .., к, j — 1, .., и - к.

Здесь и далее X — ( х^, ...,X k ) * , ^{Е —} ( ^ Ь • • ^ n - k Г .

По теореме единственности справедливо равенство

Z j ( t, X ° ,Z ° ) = ^ j ( t, X ° , ^ ° + 2 л т_ь „., ^ п - к ^{+ 2 л т}п - к ) ■ Следовательно,

^Zj ( ^ ^X ° , ^ ° + 2 лт_ь „. , ^ П - к + 2 л ^ п - к ) =

= ^ j ( t,X ° , Е ° ) + 2 л т^

Пусть {t_n} — неограниченная последовательность значений параметра такая, что X ( t_n, X⁰, Z° j ^ X. Указанным выше способом каждому Z_n = Z ^_п, X⁰, Z⁰ j можно поставить соответствие Е ^п е [ 0;2 л ) ^п . Поскольку Е ^и лежат в компакте

[ 0; 2 л ) ^{п - к} = [ 0; 2 л ) х . х [ 0; 2 л ) ’

4----------------------V                     ^

п-к из них можно выделить сходящуюся подпоследовательность ^Е™^ : Е™ ^ Е, Е е Еп-к. Точку (X, Е j е Еп назовем го — предельной точкой движения     X = XIt,X0,Z0 I,

Z = Z ( t, X⁰, Z⁰ j .

Определение 1. Будем говорить, что в пространстве Еп = Ek х En-k задана динами ческая периодическая система относительно

E_{n -} k ,  если задана векторная функция

Y — Y ( Y 0 ,t ) , удовлетворяющаяусловиям:

• 1)    для любого У 0 е Е_п определена единственная кривая У(У д , t) такая, что У = У_о при t = 0;

• 2)    У(У 0 , t) — непрерывная функция своих аргументов;

• 3)    для любых значений параметра t i , t 2 выполнено условие У(У(У о ,t 1 )t 2 ) = У(У д , t i + t 2 ) (условие группы);

• 4)    для первых к компонент х^ ..., х к

вектора У = (х1, ..., хк, Zi, ..., z^k) выполнено условие xs (x0, „., x0,z^ + 2mm!, „., z^_k +

+ 2mmn_k,t) = x (x0, „., Xk,z^, _, z^), где t е (-те; те), mi, .., тп-к — произволь ные целые.

Предположим, что существует последовательность {t_n} такая, что t_n ^ те при n ^ те и х_s ( У ) ,t_n ) ^ X_s е ( -те ; те ) . Наряду с кривой У(У 0 ), рассмотрим кривую с начальными данными

^У 0 = ( х⁰ ,...,^{х (0}, ^{z )} + ^{2 m m} _t, .„,^ + ^{2т т} _п _ _к ) .

В силу свойства 4 эти кривые будут совпадать, следовательно, если сделать заме ну Zj = ^ j + 2лту (/ = 1, .., й - к), то кривая системы X, Z с начальными данными ,о .0 ,о о

^X i, ..., ^х _к , ^z i, ..., ^z _n - _k будет совпадать с кривой системы X , В с начальными данными х⁰, ... , х⁰, ^ ⁰, . , ^- к > но ^ у уже будут лежать в компакте. Значение Ёу, сопоставленное указанным выше способом значению Z y , будет обозначать ^ y (z y ).

Определение 2. Точка У = (Xi, ..., хк, Zi, ..., zn-k) называется «-предельной точкой движения У = У (Уо,t), если существует неограниченная последовательность значений параметра {tn} : t„ ^ те такая, что последовательности xs ( Уд, tn ) , ^ j ^Zj ( Уд, tn )) сходятся к конечным значениям:

х

s

^ У0^п ) ^ ^хs ,

^ j ( ^zj ( ^У0 , ^tn ⁾) ^ ^zj ,

s = 1, „., к, j = 1, .., п - к.

Определение 3. Множество М с Еп = = Ек х Еп-к называется Ек — инвариантным по отношению к динамической периодиче ской системе У = У (Уо,t), если из У0 е М следует X (Уo,t) е М Ек, где

М_Ек = М п Е_к =

= { X е Е_к : 3 Z е Е_{п - к}, ( X, Z ) е М } .

Замечание 1. Понятие Е к — инвариантного множества является некоторым расширением понятия инвариантного множества. Действительно, все инвариантные множества и Е к — инвариантны, а из Е к — инвариантности в общем случае не следует инвариантность.

Замечание 2. Аналогичные определения можно ввести и при t ^ -те .

Теорема 1. Множество О у 0 « — предельных точек движения У = У ( У о ,t ) Е к — инвариантно и замкнуто.

Доказательство. Пусть (X, Z) — « -предельная точка движения У = У ( У о ,t ) , следовательно, существует последовательность значений параметра { t_n } : t_n ^ те , и X ( У ) , t_n ) ^ X, В ( Z ( У o ,t_и ) ) ^ Z. По свойству 4) имеем

X ( Х°, / * , t ) = X ( X ^д, В ( Z^g ) , t ) .

Поэтому

X ( X, Z, t ) = Um X ( У ( У₀, t_n ) , t ) = п ^^

= Um X ( У₀, t_n + t ) , п ^^

следовательно,

^X ( ^X , ^Z , ^t ) ^е O y o ^{n E}k ⁼ ^ У(Е _к ^{y t} >

• т. е. множество O y 0 является Е к -инвариант-ным.

Покажем, что О у 0 замкнуто. Пусть (X, Z) — предельная точка множества О _У 0 , т. е. существует последовательность |^ X ⁿ, Zⁿ j| в E_n такая, что

( X^й, Z" ) е О _У(), X^й ^ X, Zⁿ ^ Z.

По свойству метрического расстояния имеем

р ( Z ( У ) , t ) ,X ) < р ( X ( У ) , t ) , X^й ) + р ( X^й, X ) ,

р ( В ( Z ( У о , t ) ) , Z ) < р ( в ( Z ( У о , t ) ) , 2^й ) +

+ р ( 2^й, 2 ).

Отсюда видно, что можно выбрать такую последовательность значений параметра ^ t_n^, которая будет удовлетворять определению 2, т. е. точка X,Z е О у ) . Теорема доказана.

Определение 4. Замкнутое Е ^ -инвари-антное множество М с Е_п называется устойчивым по Ляпунову, если по любому s > О можно указать величину 5 > О, такую, что при р ( Y ) , М ) < 5 выполняется р ( X ( Y 0 , t ) , М п Е_к ) < s V t >  0.

Замечание 3. Под множеством М п Е_к мы понимаем следующее множество: М п Е_к = = { X е Е к : 3 Z е Е „ _ к , ( X, Z ) е М } .

Теорема 2. Для того чтобы замкнутое Е ^ -инвариантное множество было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал V(Y), заданный в некоторой г-полосе 5 ( М п Е_к,г ) х х Е_п _ к ( г >  0 ) , удовлетворяющий условиям:

• 1)    Vq >  О З С 2 >  0 : V ( Y ) >  C 2 при р ( X, М п Е_к ) >  с₁;

• 2)    V^ 2 >  0 3у 1 >  0 : V ( У ) < 7 2 °

° р ( X, М п Е_к ) <у ₂;

• 3)    V ( У ( Y _o , t ) ) являетсяневозрастающей функцией t при t >  О, Y o е 5 ( М, 5 ) пока Y ( Y o ,t ) е 5.

Доказательство. Необходимость. Пусть замкнутое Е ^ -инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Покажем, что условия теоремы выполнены. Возьмем некоторое s > О. Ему, согласно определению 4, отвечает величина 5 > О, такая, что при р ( Y o , М ) < 5 будет р ( X ( У ) , t ) , М п Е к ) < s . Положим

V ( У ) = sup р ( У (y ,t ) , М п Е_к ) . t >0

Этим функционал определен в 5 ( М п Е к , г ) х Е_п _ к . Функционал удовлетворяет условию 1), так как V ( Y ) > р ( X, М п Е к ) , откуда следует, что при р ( X, М п Е к ) >  C 1 , р ( Y ) , М ) < 5 будет V ( Y ) >  с₂ (с₁ = с₂).

Покажем, что имеет место условие 2. По величине 7 2 > О в силу определения 4 можно указать величину 7 1 > О, такую, что при р ( ^Y О^{, М} ) <7 1 будет р ( ^X (УД ) , ^{М п Е} _к ) <

< у 2 V t >  О. Следовательно,

а

sup р ( ^х ( ^у оД ) , М ^п Е к ) < у ₂, t > 0

тогда V (Y) <72 при р (X0, М п Ек j < ур так как р (X0,М п Ек) < р(Yo,М). Значит, функционал V(Y) удовлетворяет условию 2.

Покажем справедливость условия 3.

Пусть Y o е 5 ( М, 5 ) . Тогда X ( У ) , t ) е 5 ( М п п Б_ь s') и определено значение функционала в любой точке Y ( Y 0 , t ) , t е ( 0; Т ) . Очевидно, что

V ( у ( У о , t ) ) = sup р ( x ( у ( У о , t ) , t ) , М п Е к ) = t > 0

= sup р ( X ( У о , t + t ) , М п Е к ) = t > 0

= ^su p р ( ^X ( ^Y o^{, t} ) ^{, М п Е}к ) <  t > t

• < sup р ( X ( У о , t ) , М п Е к ) = V ( У о ) .

t > 0

Итак, V ( у (у , t ) ) <  V ( У 0 ) . Этим доказана необходимость.

Достаточность. Пусть в некоторой окрестности множества М п Б_к х Б_п _ _к существует функционал со свойствами 1—3. Покажем, что замкнутое Е ^ -инвариантное множество М устойчиво.

Возьмем s > О ( s < г) и, следуя [1], положим

X = inf V ( Y ) при р ( X, М п Е к ) = s .

В силу свойства 1) X > О. В силу свойства 2 по величине X можно указать величину 5 такую, что при р (X0, М п Ек) < 5 будет V (Y)) < X. Покажем, что найденная величина 5 соответствует взятому s в определении 4, т. е. при р (Y),М) < 5 будет р (X (Yo,t), М п Ек) < s Vt > О.

Предположим противное: пусть существует точка Y) е 5 (М, 5) , такая, что при некото- ром t имеет место равенство р (х (Уо, t), М п Ег) = s; тогда имеем V (у (УО, t)) > X, но в силу свойства 3

V ( у ( у , t ) ) <  V ( У о ) < X .

Таким образом, получили противоречие, окончательно доказывающее теорему.