Устойчивость эволюционного линейного уравнения соболевского типа

Уравнение

( X -A ) u_t = а А и - в А ² u + Y u + f                           (1)

описывает эволюцию формы свободной поверхности фильтрующейся жидкости (см. [1]). Здесь функция и = и ( x , t ) имеет физический смысл потенциала скорости движения свободной поверхности. Вещественные параметры а , в , Y и X характеризуют свойства среды, причем а , в , Y >  0, а X может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Пусть Qq Rn - ограниченная область с границей dQ класса C” . Для уравнения (1) на боковой границе dQx R цилиндра Qx R зададим краевые условия и (x, t) = А и (x, t) = 0,( x, t) edQx R,                               (2)

а также начальное условие и (x ,0) = и о( x) = 0, x eQ.                                  (3)

Нас интересует устойчивость нулевого решения однородного уравнения (1) (т. е. такого, у которого f = 0 ). Устойчивость мы будем понимать в смысле Ляпунова.

Отметим, что ранее уравнение (1) изучалось в различных аспектах. Например, в работе [2] исследовалась разрешимость начально-конечной задачи для уравнения (1). Устойчивость уравнения (1), заданного на конечном связном ориентированном графе, в терминах экспоненциальной дихотомии рассматривалась в [3].

Статья, кроме введения и списка литературы, состоит из двух частей. В первой проводится редукция задачи (1)-(3) к задаче Коши и (0) = и 0                                             (4)

для абстрактного линейного уравнения соболевского типа

Li t = Ми + f .                                     (5)

Затем применяются методы теории относительно p -секториальных операторов. Во второй части проводится исследование устойчивости нулевого решения задачи (1)-(3) методом функционала Ляпунова, адаптированного для случая нормированных пространств. Подробно этот метод описан в работе [4], в которой отмечается тот факт, что при переходе от полных метрических пространств к нормированным пространствам (без требования их полноты), с одной стороны, теряется равномерность в устойчивости и асимптотической устойчивости, а с другой - значительно расширяется диапазон решаемых задач.

Фазовое пространство

Пусть U и F - банаховы пространства; оператор L : U ^ F является линейным и непрерывным, а оператор М : U ^ F является линейным, замкнутым и плотно определенным. Рас-

Математика

смотрим L-резольвентное множество     pL(M) = {де C: (д L -M)-1: F — U линеен инепрерывен} и L-спектр oL(M) = C \ pL(M) оператора M [5].

Вектор-функцию и е C 1 ((0, T ); U ) будем называть решением задачи (4)-(5), если она, во-первых, удовлетворяет уравнению (5), а во-вторых, lim u ( t ) = и ₀.

t —> 0 +

В случае ( L , p ) -секториальности оператора M существует аналитическая разрешающая полугруппа абстрактного линейного однородного уравнения соболевского типа Lu i = Mu .

Одной из таких полугрупп будет семейство операторов

U t = — [ ( a L - M ) ^{- 1} Le ^ d p , t е R ₊ .

2 n i^j

γ

Обозначим U ⁰ = ker U ' = { ре U : U t p , t е R ,}, U ¹ = im U ' = { и е U : lim U U = и }. Аналогично t — 0 +

F ⁰( F 1 ) - ядро (образ) аналитической полугруппы

F t =--- f L ( a L - M ) ^{- 1} e^Ad A , t е R ₊ .

2 ni^{J γ}

Пусть P ( Q ) - проектор на U * ( F 1 ) вдоль U ⁰( F ⁰) . Введем обозначения

H = M ₀ ¹ L ₀, R t = — ( - M)^-1e^Atd^, t е R₊.

2 n i^{J γ}

Теорема 1. Пусть оператор M (L, p) -секториален и U0 © U1 = U, F0 © F1 = F. Тогда для любых T е R+, f е Cp+1([0, T ]; F) и и 0 е {и е U:(I - P) и = -£HqM 0-1( I - Q)f(q )(0)} суще-q=0

ствует единственное решение u задачи (4)–(5), представимое в виде pt

и ( t ) = £ H q M 0 ^{- 1} ( I - Q ) f ⁽ q ) ( t ) + Uu 0 + J R t ^- s l^Qf ( s ) ds . q = 0                                      0

Для того чтобы редуцировать задачу (1)-(3) к задаче (4)-(5), введем в рассмотрение банаховы пространства U = {ие W22(Q):и(x) = 0,xе dQ} и F = L2(Q), а также операторы L = А-А и M = аА - в А1 + Y. Причем область определения оператора M есть dom M = {и е W24(Q): и (x) = А и (x) = 0, x е dQ}.

Обозначим { p k : k е N }— ортонормированные в смысле скалярного произведения (• , •) в

L ₂( Q ) собственные функции задачи и | _9Q= 0 для уравнения А и = 0 в области Q , занумерованные по невозрастанию собственных значений { A _k : k е N } с учетом их кратности.

По построению оператор L : U — F и M : dom M — F линейны и непрерывны, а значит оператор M : U — F линеен замкнут и плотно определен. Редукция задачи (1)-(3) к задаче (4)(5) закончена.

Теперь покажем, что оператор M ( L , p )-секториален. Поскольку

∞

• , P k ) p k

д ( А - A k ) + aA k + вА - Y ’

( a l - M ) ^{- 1} = ^

k = 1

то спектр оператора M имеет вид

(7^{l ( M} ) = Fu_k =

^{aA k eA} k ^{+ Y} : k е NJ : A - A_k = 0}

( A - A k )              ^{L Л J}l

В силу того, что точки спектра оператора Лапласа { Л _к } ^ = вещественны, дискретны, конечнократны и сгущаются только к +^ , то относительный спектр a^L ( M ) обладает теми же свойствами. А из формул

(-Фк >k

rL= ^^^l , ц - M ) ^- ' L ( V L - M ) ^- = £ к = 1 ц ^- Ц к                           k = 1

⁽ Ц - Ц к )( ^V-V k ^{)( Л} - ^Л к )

аналогично [5, гл. 5] следует сильная ( L , p ) -секториальность оператора M , из которой вытекает ( L , 0) -секториальность     оператора M , а также выполнение условий

U ⁰ © U ¹ = U , F ⁰ © F ¹ = F и существование линейного непрерывного оператора L - ¹: F ¹ © U 1 . Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2 . При любых а , Р , ^е R ₊ , Ле R таких, что либо Л не является корнем уравнения а а + в а ² - Y = 0 , либо Ле { Л _к } оператор M сильно ( L ,0) -секториален.

Фазовое пространство задачи (1)-(3) имеет вид

U , если Ле { Л к },

B = ^

{и е U : { и , ф _к ) = 0, Л = { Л _к } и Л не является корнем уравнения a + в a a

- Y = 0}.

Устойчивость

Пусть H - нормированное пространство. Будем говорить, что на H задан поток , если существует отображение S такое, что для любого и е H и некоторого т = т ( и ) е R ₊ выполнены следующие условия:

• (i)    S = S ( t , и ) е H при всех t е ( - т , т ); S (0, и ) = и ;

• (ii)    S ( t + s , и ) = S ( t , S ( s , и )) при всех t + s е ( -т , т ).

Точка и е H , такая, что

• (iii)    S ( t , и ) = и , t е R , называется стационарной точкой потока S .

Определение 1. Стационарная точка и потока S называется

• (i)    устойчивой (по А.М. Ляпунову), если для любой окрестности O u точки и существует (возможно, другая) окрестность O u той же точки, что S ( t , v ) е O u для любых v е O u и t е R ₊ ;

• (ii)    асимптотически устойчивой (по А.М. Ляпунову), если она устойчива и, кроме того, для любой точки v из некоторой окрестности O u точки и выполнено S ( t , v ) © и при t ©^ .

Определение 2. Функционал V е C ( H , R ) называется функционалом Ляпунова потока S , если

.    — 1

V ( и ) = lim -( V ( S ( t , и ) - V ( и ))) <  0

• t -© 0 + t для всех и е О_и .

Теорема 3. Пусть u – стационарная точка потока S на O_u , если для потока S существует функционал Ляпунова такой, что

(i)V ( и ) = 0 ;

⁽ⁱi^{)V (} v ) >  ф (| v ^- и\ |) , где ф - строго возрастающая непрерывная функция, такая, что ф (0) = 0 и ф (r ) >  0 , тогда точка u устойчива.

Теорема 4. Пусть выполнены условия Теоремы 3 и существует строго возрастающая непрерывная функция у , такая, что ^ (0) = 0 и у ( r ) >  0 при r е R ₊ , причем V ( v ) <-у (|| v - u ||) , тогда точка u асимптотически устойчива.

Теперь применим теоремы 3 и 4 к нашей задаче. Для этого построим нормированное пространство H . В пространстве U зададим норму пространства L ₂ . Таким образом, на H будет существовать поток, который задается формулой

Математика

S ( t , u ) = 1    R ^L ( M ) ue ^{μ t} d μ , t ∈ R .

• 2 π i _γ ^μ

Здесь замкнутый контур γ ограничивает область, которая содержит L -спектр σ^L(M) оператора M , а оператор-функция R _μ L ( M ) = ( μ L - M ) ^- 1 L . Очевидно, что точка нуль – это стационарная точка данного потока. Зададим функцию Ляпунова формулой

• V ( u ) = ∫ ( u_x ² + λ u ²) dx .

Ω

Очевидно, что V (0) = 0, а в силу теоремы вложения Соболева V ( u ) ≥ c || u ||² . После скалярного умножения в L ₂ уравнения (1) на u и применения интегрирования по частям с учетом условий (2) мы получим, что

∫(ux2+λu2)dx = -α∫ux2dx-β∫ux2xdx-γ∫u2dx dt ΩΩΩΩ или

V ( u ) <- cllul U , где c = max{ α , β , γ } .

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5. Нулевое решение задачи (1)–(3) асимптотически устойчиво для любых α , β , γ ∈ R ₊ и λ ≥ 0 .