Уточненные спектральные свойства задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области

В одномерных краевых спектральных задачах размерности собственных подпространств не превосходят некоторого известного числа (как правило 1 или 2). В многомерных самосопряженных задачах с дискретным спектром, несмотря на конечную размерность всех собственных подпространств последовательность кратностей может быть неограничена. Это верно даже для классических краевых задач, решающихся методом разделения переменных. В случае задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области Ω=(0;a)×(0;b) хорошо известна явная формула λkm=(πka)2+(πmb)2 для описания всех собственных значений (индексы k,m принимают положительные или неотрицательные значения соответственно для задачи Дирихле или Неймана). Исследование кратностей сводится к подсчету числа различных упорядоченных пар (k,m), соответствующих одному и тому же числу λkm. На основе классических и новых результатов теории чисел и теории диофантовых приближений в работе изучаются вопросы взаимного расположения, кратностей и асимптотики собственных значений λkm в зависимости от параметров a и b. В случае квадратной области (a=b) описан явный алгоритм подсчета кратности любого собственного значения, основанный на разложении натурального числа на простые сомножители и подсчете числа сомножителей вида 4k+1. Для прямоугольной области установлена зависимость распределения кратностей от того, являются ли числа f:=a/b и f2 рациональными или нет. В случае f,f2∉Q доказано, что все собственные значения однократные, но на сколь угодно близком расстоянии располагается бесконечно много пар собственных значений. На основе уточненной оценки остатка в проблеме круга Гаусса установлена асимптотическая формула Вейля с двумя первыми членами и квалифицированной оценкой остатка.