Вариация энтропии как аналог функции Ляпунова в статистическом анализе функциональной устойчивости

Качество функционирования СЭОУ в большой степени зависит от чувствительности показателей качества (ПК) к изменениям параметров СЭОУ. Такого рода чувствительность определяет поведение СЭОУ в условиях нежелательной вариации ее параметров, и высокая чувствительность становится причиной того, что СЭОУ оказывается функционально неустойчивой.

Если считать, что ПК представляет собой непрерывную функцию параметров СЭОУ и параметров режима, то функциональная устойчивость связана с приспособляемостью СЭОУ к изменениям условий функционирования, при этом решающее значение имеет осуществление СЭОУ необходимых изменений в своей структуре за определенное время A t.

При вероятностном описании СЭОУ важно иметь свой критерий функциональной устойчивости, являющийся аналогом функций Ляпунова при детерминировании описания СЭ-ОУ. Значение отыскания такого критерия состоит в том, что открываются новые теоретические возможности в исследовании функциональной устойчивости. Вместе с тем, получение критериев функциональной устойчивости имеет практическое значение .

Итак, будем полагать, что СЭОУ описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями вида:

dx

f(x,,..., Xi,..., xn, t ) = у,, dt где x = (x,,...,xt,...,xn)T- отклонения параметров режима от установившихся значений; Т - знак транспортирования, у = (ух, ...,уи ...,/„)T- случайные величины времени типа белых шумов с матрицей спектральных плотностей S = |Sft |, Sik = const; fi - характеристики СЭОУ, относительно которых в дальнейшем используются различные предположения; t - текущее время.

Относительно x = ( x i ,..., x n ) ^T принимается, что это процессы с ограниченной дисперсией D = ( D ,..., D ,,..., D „)< M. Текущая плотность вероятности (Xx, t ) в пространстве параметров режима x(t ) подчиняется уравнению диффузии вероятностей [1]:

dP _yA ( р.^Л       = о,

то P —> 0,

dt      dxt           2 ,jl J dxtdxj dP причем величины P, P-j,— исчезают на бесконечности: если i dx dP dx

Математическая модель СЭОУ , включающая в себя уравнения (1), (2), применялась для исследования функциональной устойчивости отклонений частоты, причем имело место «хорошее» совпадение полученных теоретическим путем статистических характеристик отклонений частоты с характеристиками заранее известных экспериментальных исследований.

Критерий абсолютной функциональной устойчивости:

dH dR

dr

0, ^ij 0. dR

Утверждается, что если приращения энтропии Н при изменении параметра СЭОУ tj не происходит, иначе говоря, если корреляционный момент r_y между i-м и j-м параметрами режима как функция от R_s имеет допустимый минимум или вообще не зависит от R_s , то

СЭОУ абсолютно функционально устойчива по R_s , s = 1, m .

Для реально существующих СЭОУ трудно ожидать точного выполнения критерия абсолютной устойчивости. Наиболее целесообразным критерием функциональной устойчивости представляется такой, выполнение которого обеспечит функционирование СЭОУ с максимальной энтропией H —> Hmax и минимальной скоростью изменения энтропии dH

dt

min

Заметим, что указанные условия H —> H _mах, V —> V _min существования крите-

рия функциональной устойчивости являются прямыми следствиями критерия абсолютной функциональной устойчивости (3).

Условие H —> Hmax с необходимостью приводит к первому критерию функциональной устойчивости: первая вариация энтропии H равна нулю, а вторая вариация 2H меньше нуля.

H 0, ² H 0.

dH

Условие        Vmin dt

совместно с

8 ² H <  0 приводит ко второму критерию функцио

нальной устойчивости: скорость изменения во времени — (2>2H) больше нуля или равна ну-dt лю в предельном случае:

d- (5" H )>0.                                        (5)

dt

Выражения (4) и (5) представляют необходимое и достаточное условие функциональной устойчивости.

В последнее время в связи с интенсивным развитием статистической теории динамических систем появилось много работ, анализирующих функциональную устойчивость. При исследовании этой проблемы используются два основных метода: метод функций Ляпунова и метод априорных интегральных оценок [2, 3]. Оба метода позволяют получить только достаточные условия функциональной устойчивости в пространстве параметров системы. Как следствие, область функциональной устойчивости получается уже истинной, при этом происходит сужение области допустимых значений параметров и ухудшение динамической системы. А для повышения функциональной устойчивости динамических систем требуется увеличить пределы допустимых значений параметров. В этом отношении критерии функциональной устойчивости (4), (5) выгодно отличаются от критериев, полученных в [2].

В качестве аналога функции Ляпунова применяется вторая вариация энтропии  ² H .

Этот выбор оправдан. Вторая вариация энтропии 8HH указывает на нарастание или убыва- ние энтропии и тем самым указывает на функциональную устойчивость или неустойчивость СЭОУ.

Имеется еще одна причина, из которой следует, что теория функциональной устойчивости должна исходить из свойств 5 ² H . Вторая вариация 5 ² H энтропии непосредственно связана со статистической теорией флуктуаций. Вероятность р возникновения флуктуаций ПК функционирования СЭОУ выражается формулой [4]

exp( H ), где H – отклонение энтропии Н от Нmax.

Выражение (6) было использовано для отыскания распределения вероятностей мощности СЭОУ, содержащей управляемые вентильные преобразователи.

„ 1„

H ~гH+1  2H,(7)

учитывая для изолированной СЭОУ 6H  0 , имеем exp( 1 52H).(8)

Для функциональной устойчивости необходимо 5 ² H 0 . Поэтому теорию функциональной устойчивости следует строить на основе функции 5 ² H как аналога функции Ляпунова в том смысле, как она была определена в [3].

Переход между функциональной устойчивостью и функциональной неустойчивостью зависит от нарушения неравенства (5 2 H )  0 для критического ПК функционирования и dt связанного о ним значения параметра СЭОУ. Вне предела допустимых значений параметра неравенство   (5 2 H )  0 не выполняется, флуктуации растут. В рамках линейных уравне- dt ний (1) следует ожидать, что флуктуации нарастают бесконечно. В реальности флуктуации ПК будут ограничены под влиянием нелинейных членов, которыми пренебрегли при линеаризации уравнений (1).

Само существование флуктуаций ПК функционирования СЭОУ является следствием того, что СЭОУ состоит из большого числа элементов (генерирующие агрегаты, потребители и так далее). Когда СЭОУ функционально устойчива, флуктуации ПК не играют важной роли. Они влияют только на усредненное значение статистических шумов. Положение радикально меняется, когда возникает функциональная неустойчивость.

Тогда флуктуации ПК функционирования СЭОУ нарастают и достигают вненормиро-ванных значений. Функциональная неустойчивость может приводить к самым различным новым режимам функционирования. Статистический аспект временной эволюции СЭОУ остается существенным, так как характер нового устойчивого состояния зависит от начальной флуктуации ПК. Таким образом, временную эволюцию СЭОУ можно понять, пользуясь вероятностными и детерминированными методами одновременно (уравнения (1), (2)). Поэтому один из наиболее привлекательных аспектов теории функциональной устойчивости СЭОУ, построенной на пользовании второй вариации энтропии, – это промежуточное положение между вероятностными и детерминированными описаниями функциональной устойчивости.

Из определения устойчивости следует, что функциональная устойчивость СЭОУ будет находиться под угрозой, как только появятся процессы, дающие отрицательный вклад в избыток продукции энтропии, то есть   (52H)  0 . В терминах теории флуктуаций механизм dt функциональной неустойчивости такой: если начать с 8 2 H 0 около некоторого исходного состояния, то СЭОУ будет всегда стремиться к наиболее вероятному состоянию до тех пор, пока —2H H) > 0. Для — (H H) < 0 возможность достижения наиболее вероятного состоя-dt                   dt ния уменьшается, а затем СЭОУ будет эволюционировать к новому вероятному состоянию;

если в некоторой точке R™ пространства параметров СЭОУ —^H H) может стать отрица-р                                          dt тельной, то функциональная устойчивость нарушается, и СЭОУ переходит в новое состояние.

Представляет интерес определение класса распределений вероятностей P(x, t), которые обеспечивают функциональную устойчивость СЭОУ, с использованием критериев H —> 0 , 52H < 0, — (J2 H) > 0. Предположим, что после некоторого начального возмущения, СЭОУ dt эволюционирует от произвольного распределения вероятностей P(x, t) к стационарному (асимптотическому) распределений вероятностей P (x). Опираясь на определение энтропии, получаем:

H = -\? (x , t )ln Pxt ) dx.

JP

С использованием методов вариационного исчисления находят первую HI и вторую 5 ² H вариации энтропии Н:

6H - - f[(ln Pxt! +1) • Px (x, t) - P^. Px (x)]dx,(10)

J    P (x)

52 H = -1 (—1— + P(x, t)—)

2 V(x,t)  P2„(x)

₌ 1 ( P ( x )- P ( x , t ))²

2    P2( x )• P ( x, t).

Вторая вариация энтропии получается в виде знакоопределений квадратичной формы.

Для определения функционала — HH) используется возможность перестановочности опе-dt раций у- и 52. Скорость изменения энтропии Н равна [5]:

dH_    dP ( x , t ) _h P ( x , t ) ₊ dP ( x , t )

dt ~      dt      P (x)     dt.

Анализируя в формуле (12) выражение для — из уравнения (2) и интегрируя по час-dt тям, получаем:

.        df.                _1 _ j... jX iP-P(x, t) dxi... dxn +-Z^J”. IP(x, t).

_qo i dx^                             2 i,j d In P (x, t) d In P (x, t) ,,

----- — ---—- dx_x ... dx_n .

dxdx

Применяя к выражению (13) операцию 5² , получаем:

d- (5² H ) = X S , J... J dt                i , j

• 1       _zdP ( x , t ) dP ( x , t )_x ,     ,

—;--(—-— ---—-) dx ... dx =

P3 (x, t)     dx      dxj i- j

P ^{4( x} , t )

dp ( x , t )   dp ( x , t )

Sij M i, j

dx

P ⁴( x , t )

dx

dp ( x , t ) dp ( x , t )

dx     dx

,

где М – операция математического ожидания.

Для отклонений параметров режима x(t), имеющих ограниченные дисперсии, решение р (x,t) уравнения диффузии вероятностей (2) обладает dH —> 0, d2 H <0, —(с>2 H )>0, то- dt гда, когда pxx, t) является гауссовым распределением вероятностей:

x2

Р(x, t) -> р^(x) = A • exp(- —), где A, D – константы.

Следовательно, если СЭОУ адекватно описывается уравнениями (1), (2) и действующие ограничения на отклонения параметров режима таковы, что приводят pxx , t ) —> р_ж ( x ) к гауссовскому, или близких к нему, распределению вероятностей, то СЭОУ функционально устойчивы (асимптотически устойчивы). В противном случае есть большая вероятность возникновения в СЭОУ функциональной неустойчивости.

Таким образом, начинает выясняться в количественной форме значение статистического элемента (энтропия состояния Н, вторая вариация энтропии §h H , класс распределения вероятностей pxx , t )) в анализе функциональной устойчивости СЭОУ. Кроме детерминированных (каузальных) уравнений состояния, необходимо знать класс распределения вероятностей параметров режима, при которых СЭОУ остается функционально устойчивой или, наоборот, становится функционально неустойчивой. Принадлежность к тому или иному классу распределений вероятностей параметров режима будет определять последующую эволюцию СЭОУ, отбирая одну «траекторию движения» из некоторого множества потенциально возможных «траекторий».

Использование свойств первой и второй вариаций позволило получить критерии функциональной устойчивости СЭОУ. Определен класс распределений вероятности параметров режима, при котором СЭОУ обладает функциональной устойчивостью.