Вариационная постановка одной обратной задачи для параболического уравнения с интегральными условиями

Вариационные постановки коэффициентных обратных задач для параболических уравнений при классических граничных и дополнительных условиях изучены в работах [1–5] и др. Однако эти задачи при интегральных условиях исследованы существенно слабее [6, 7].

В настоящей работе изучается вариационная постановка обратной задачи об определении младшего коэффициента многомерного параболического уравнения с интегральными условиями. Доказано существование решение задачи, и получено необходимое условие оптимальности.

1.    Постановка задачи

Пусть R n - евклидово пространство размерности n >  2, Q с R_n - ограниченная область с кусочно-гладкой границей S , S = S и S , T >  0 - заданное число, Q_T = Qx ( 0, T ) , S T = S x ( 0, T ) , S T = S ' x ( 0, T ) , S T = S " x ( 0, T ) .

Рассмотрим в цилиндре Q_T линейное параболическое уравнение

U t — 5 a ij ( x, t ) “x- )   + U x ) u = f ( x, t ) ,   ( x, t )^G Q t ,

• i ,    j =r

с начально-краевыми условиями u (x ,0) = ф( x), x eQ, du

“ '( x , , ) * S _r = ⁰ • *( x . -> ST = 5 a j * x ’ t ) “ xj ^COS    Я x , t ) • ST ⁼ ^ K ⁽ x ’ y ’ t ) ^{U (} y ’ t ) dy\ x . t ) * ST '      ⁽³⁾

Здесь v - единичный вектор нормали к S , направленной вне Q ; a ij ( i , j = 1, n ) , и , f , ф , K -некоторые функции; u = u ( x,t ) - решение задачи (1)-(3).

Задачу нахождения решения u = u (x,t)  задачи (1)-(3) по заданным функциям aij (i, j = 1,n),u, f,Ф,K называют прямой задачей. На практике возникают также обратные задачи,

Тагиев Р.К., Магеррамли Ш.И.

Вариационная постановка одной обратной задачи для параболического уравнения с интегральными условиями в которых некоторые из коэффициентов aij (x,t)(i, j = 1,n), u(x) уравнения неизвестны и подлежат определению по некоторой дополнительной информации. Такие задачи называются коэффициентными обратными задачами.

Пусть в задаче (1)-(3) a ij ( i , j = 1, n ) , f , ф ,K - известные функции. Требуется найти пару функций ( u,u ), удовлетворяющих условиям (1)-(3) и дополнительному условию

T j<у(t)u(x,t)dt = а(x), x gQ, 0

где ω и α – известные функции.

Задачу (1)–(4) поставим в вариационной форме: требуется минимизировать функционал

J ( ° H

n

T j

dx

на множестве

V = {и = и(x)g L_s (Q): |u(x)|< d п.в.на Q}

при условиях (1)-(3), где 5 > n +1 при n > 2, d > 0 - заданные числа, u(x,t;u) = u(x,t) - решение краевой задачи (1)-(3) соответствующее коэффициенту и g V. Ниже эту задачу будем называть задачей (1)-(3), (5), (6). В этой задаче коэффициент и = и(x) играет роль управления, а целевой функционал (5) составлен на основе условия (4).

Будем предполагать, что заданные функции aij (i, j = 1,n), f ,ф,K,«,а удовлетворяют следующим условиям:

aij (x, t ) = aji (x, t),   (i, j = 1, n), v^ < E aij (x,t)MM" M^,  £ = {^1,.,^n), i, j =1

I aijt (x, t )|< M1   п. в. на  Qt ;| K (x, У, t )|< M2J Kt (x, У, t )|< M3

фG W21,0 (Q), f g L2 ( Qt );

to g L2 (0,T),  a g L2 (Q),

n

i=1

п.в.на S xQx(0,T),

где v, м, Mi > 0 (i = 1,3) - некоторые постоянные.

Пусть и g V - некоторое фиксированное управление. Тогда обобщенным решением из V21,0 (Qt) краевой задачи (1)-(3) назовем функцию u = u(x,t) = u(x,t;u) из V20 (QT) = {u = u (x, t) g V,1,0 ( Qt ): u (x, t) = 0, (x, t) g ST }, удовлетворяющую интегральному тождеству n                                 Г

j - un_t + E aijUx n_x +uun dxdt - j" j^ (s,y,t) u(y,t)dy n (s,t) dsdt =

QT L     i,=   ³³             " -

''

S_T

Ω

= jф(x}ц(x,0)dx + j fndxdt , П = n(x,t)gWjo(QT),  n(x,T) = 0.

n

Q_T

Можно показать, что краевая задача (1)-(3) однозначно разрешима в Vy (QT) при каждом и g V, решение задачи (1)-(3) является элементом пространства W2,’0 (QT) = {u = u (x■, t) g W¹ (Q_t ): u (x, t) = 0, (x, t) g S-T } и верна оценка

I u| 12'^ < M1LHl ^n+lf 2Q,

Здесь и ниже всюду M₁,M₂,... - положительные постоянные.

Математика

2.    Существование решения задачи

Теорема 1. Пусть выполнены условия (7), (8). Тогда задача (1)–(3), (5), (6) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Пусть и е V - некоторый элемент и последовательность {ик} с V такова, что uk ^ и слабо в Ls (О).

Положим u_k = u_k(x,t) = u(x,t;u_k). Тогда из (1)-(3), записанных при u = u_k , учитывая оценку

(10) получим

II UkiI2Q M 2  ( ^к = 1.2.™),

Тогда в силу теоремы вложения [8, с. 78], не ограничивая общности, можно считать, что uk ^ u слабо в W^ (QT) и сильно в L2 (QT), где и = и (x,t) - некоторая функция из W20 (QT).

Пологая в (9) υ =υ_k, u = u_k, получим тождества

J ^-uA + Е aijuk_xПх

QT L          i. J=1      xj   ^j

+ u_k (x) u_kn dxdt -J J K (s, y. t) u_k (y. t) dy n( s . t) dsdt =

ST^L

. Q

= J

x)n(x,0)dx + J fndxdt  (k = 1.2.™), Vn = n(x.t)eW,¹^(Q_T).  n(x.T) = 0.

Q

Q_T

Проводя обычное преобразование и пользуясь неравенством Коши–Буняковского, имеем:

J u_ku_kndxdt - J uundxdt Q_T           Q_T

J uk (uk -u)ndxdt+ J (uk — и)undxdt QT                 QT dluk - u\k.QT И2.QT

+ J (u_k - u) undxdt .

Q_T

Используя теоремы вложения [8, с. 78], получаем, что une L_s^_s ^(Q_T) при s > n +1. Тогда из соотношений (11), (13) и (15) следует, что

J u_k u_k ndxdt ^ J uundxdt.

Q_T

Q_T

Известно, что вложение WO (QT )^ L₂(ST) ограничено [8, с. 78]. Используя этот факт и пользуясь неравенством Коши–Буняковского, имеем

J JK(^s,y^,t)uk(y,t)dy n(^s,t)^dsdt-J J^(^s,y^,t)u(y,t)dy

ST L ь                 J            ST L a

П (s,t) dsdt

м2 J J(uk(y.t)^-u(y.t)(dy ⁿ(s.t)|^dsdt^м2^{Q 1/2}|uk^-u||₂._Qt J|n(^s.t)||₂.(₀.T)^ds ST ^{Lq                       j}                                      s”

J J K (^s,y^,t) ^uk (y,t) dy

_S'j L ь

П(s,t)dsdt ^J JK(s,y,t)u(y,t)dy s'_r L ^Q

П(s,t)dsdt.

Тагиев Р.К.,                                Вариационная постановка одной обратной задачи

Магеррамли Ш.И.                 для параболического уравнения с интегральными условиями

Теперь перейдем к пределу в (14) и учтем соотношения (13), (16), (18). Тогда получим, что функция u(x,t) удовлетворяет тождеству (9), т. е. u(x,t) = u(x,t;u). Таким образом, соотношение (13) справедливо с функцией u = u (x,t), и в частности

u(x,t;uk)^u(x,t;u) сильно в L2 (QT).                        (19)

Тогда из равенства (5) и соотношения (19) следует, что J (u_k) ^ J (и) при к ^«. Таким образом, функционал J (и) слабонепрерывен на слабокомпактном множестве V. Следовательно, функционал J(и) достигает своей нижней грани на V [9, с. 49], т. е. справедливо утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

• 3.    Градиент целевого функционала и необходимое условие оптимальности

Пусть функция м(x) = M(x,t) = м(x,t;u)g V’0(QT) является обобщенным решением следующей сопряженной краевой задачи:

Mt + ]t (aij (x,t))M^x-)  — им + j K(£,x,t))M(£,t)d^ =

• i,    J =1                 i xj             5"

T

h(x) h(t),  (x,t)g QT ,

= 2 jh(t)u(x,t;u)dr —

_ 0

M (x, T) = 0, x gQ, m L .  ' = 0,  — |,  .  - = о.

(x,t)^g5T         dn (x,t)^g5T

Решение краевой задачи (20)–(22) удовлетворяет интегральному тождеству n                                 1                .

^qt L        i, j¹

frT

= —2 j< jh(t)u(x,t;u)dr

Q_T ^L 0

—

h(x) h(t)-ndxdi , Vn = n(x,t)gW,¹^(QT),n(x,0) = 0.    (23)

Можно показать, что краевая задача (20)-(22) однозначно разрешима в W^ (QT) и верна оценка

T

I Mil 2Q ^M 4  j h(^) u (x, ^;u) dx — h( x) h( t)

.

2, QT

’          L о                                    J

Для оценки нормы в правой части оценки (20) используем неравенство Коши–Буняковского и учитывая (10), получаем

IMl6Q.   ^M4 I HI 2,(0,T)

' M11 HI 2,(0, T )(l Ml 21Q+II/I     )+iHI 2Л'

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда функционал (5) дифференцируем по

Фреше в каждой точке и g V и его градиент имеет вид

T

J (u) = ju(x,t;u)м(x,t;u)dt, xgQ.

Доказательство. Пусть и g V - некоторой элемент, Aug Ls (Q) - приращение этого элемента и u + Aug V. Через Au = Au(x,t) = u(x,t;u + Au) — u(x,t;u) обозначим приращение решения краевой задачи (1)-(3). Тогда ясно, что Au является решением из W^ (QT) краевой задачи