Вариационно-разностный метод решения трехмерных задач электропроводности в гиротропных средах

Для гиротропной среды операторы эллиптических краевых задач электропроводности, традиционно формулируемых для электрического потенциала, несимметричны, что затрудняет численное решение таких задач. В настоящей работе используются предложенная автором формулировка краевой задачи с симметричным положительно определенным оператором. Новыми неизвестными функциями являются пары специальных потенциалов, скалярного и векторного, которые в частных случаях совпадают с электрическим потенциалом и функцией тока. Аналогичные задачи формулируются при моделировании теплопроводности или диффузии в движущихся или гиротропных средах. Для новой задачи справедлив принцип минимума квадратичного функционала энергии, аналогичный принципу Дирихле для уравнения Пуассона. Введенная энергетическая норма эквивалентна сумме энергетических норм четырех новых неизвестных функций как элементов пространств, используемых для основных краевых задач для уравнения Пуассона. Это позволяет использовать классические теоремы аппроксимации решений кусочно-линейными функциями и создать простой вариационно-разностный метод, то есть свести задачу к системе линейных алгебраических уравнений для узловых значений аппроксимирующих функций. Матрица этой системы симметрична и положительно определена. В настоящей работе выведены формулы, необходимые для построения коэффициентов этой матрицы, начиная с геометрических построений в сеточных тетраэдрах. Предложена дискретная модель, позволяющая интерпретировать одно из уравнений вариационно-разностной схемы как закон сохранения заряда, проинтегрированный по ячейкам сетки. На примерах показана сходимость получающихся приближенных решений при мельчении сетки.