Векторные аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа
Автор: Шхануков-Лафишев Мухамед Хабалович, Архестова Сусанна Мухамедовна, Тхамоков Муслим Баширович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
В работе построены векторно-аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа, возникающих в теории влагопереноса и в теории волн в релаксирующих средах. Доказаны устойчивость и сходимость разностных схем в классе достаточно гладких решений рассматриваемых уравнений.
Волновое уравнение, уравнение влагопереноса, устойчивость, сходимость, априорная оценка, вязкость, теплопроводность, погрешность аппроксимации
Короткий адрес: https://sciup.org/14318413
IDR: 14318413
Текст научной статьи Векторные аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа
Для численного решения многомерных задач математической физики используются различные классы аддитивных схем (схем расщепления [1–2]). В работах [3–4] для решения многомерных задач предложен новый класс безусловно устойчивых схем переменных направлений полной аппроксимации. Устойчивость и сходимость таких схем исследуется на основе получения соответствующих априорных оценок. В работе [5] основные принципы построения векторных аддитивных схем на основе операторно-разностных подходов применены к абстрактной задаче Коши. В работе [6] на основе общей теории устойчивости разностных схем [1, 7] проводится исследование векторно-аддитивных схем с самосопряженными операторами. В работе [8] на основе общей теории устойчивости операторно-разностных схем А. А. Самарского проводится исследование векторных аддитивных схем для общих эволюционных уравнений первого порядка с несамосопряженными операторами. В [9] на основе принципа регуляризации построены новые аддитивные операторно-разностные схемы полной аппроксимации. В [10] исследуется устойчивость в произвольных нормах векторной аддитивной схемы. Показано, что устойчивость имеет место при условии, что устойчивыми являются чисто неявные схемы для отдельных компонент.
В [11] построены регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы для эволюционных задач без предположения о перестановочности регуляризующего оператора и оператора задачи, отмечены возможности обобщения предложенных регуляризованных аддитивных схем на задачи с несамосопряженными операторами и уравнения второго порядка.
В данной работе проводится исследование векторных аддитивных схем для псевдопа-раболических уравнений (уравнение влагопереноса Аллера [12, с. 137]), волнового уравнения в релаксирующих средах (см. [13, с. 84]) и волнового уравнения с учетом вязкости и теплопроводности (см. [13, с. 22]).
Существование и единственность решений, рассматриваемых здесь краевых задач, были исследованы в работах одного из авторов [14, 15].
В уравнениях, рассматриваемых в этой работе, содержатся смешанные производные u x a x a t , u x a x a tt , a = 1,p. В этом случае не удается построить разностные схемы на основе понятия суммарной аппроксимации. Например, доказательство сходимости локальноодномерной схемы проводится (см. [1, с. 528]) с помощью введения П (а) в задачу для погрешности z (а) = V ( a ) + П ( а ) - В нашем случае в правую часть уравнения для v ( а ) = v j+ p , ^ а вмешиваются слагаемые Л а n at = O(1), Л а у = У х а Х а , т- е ^ а = Л а П (а) + Л а П а 1 + ^ а , где Л а П ( а ) = О(т ), < = O(h а + т ). При p = 2 можно получить априорную оценку не вводя П ( а ) (см. [7, с. 336]), но только для уравнений, не содержащих смешанные производные. Аддитивные схемы полной аппроксимации [3–10] оказываются более приемлемыми для численного решения рассматриваемых здесь задач.
1. Волновое уравнение в неидеальной среде с учетом вязкости и теплопроводности
В цилиндре Qt = G х (0, T], основанием которого является p-мерный параллелепипед G = {x = (xi,X2,..., xp) : 0 < xа < 1а, a = 1,p}, рассмотрим задачу d2uvp-'
dt^ + Lu = f (x,t), Lu = ^2Lаu, (x,t) € Qt,(1.1)
а=1
u|sT = 0, u(x, 0) = uo(x), ut(x, 0) = u1(x),(1.2)
где Ь а u = - [ дд а ( к а (x) du ) + ддд а (Mx) dU )] , G = G +Г. S t = Г х [0,T] — боковая поверхность цилиндра Q t , 0 < c i 6 к а (x) 6 C 2 , a = 1,p, к а (x), f (x,t) таковы, что решение задачи (1.1)–(1.2) существует, единственно и обладает требуемой гладкостью.
Уравнение вида (1.1) возникает в теории волн (см. [12, с. 85]). Оно учитывает потери энергии, связанные с вязкостью и теплопроводностью. Третий член в левой части уравнения (1.1) описывает затухание звука из-за вязкости и теплопроводности, обычно перед ним стоит диссипативный коэффициент. Ради простоты мы положим его равным единице.
Задачу (1.1)–(1.2) перепишем в виде абстрактной задачи Коши d2u + Au + Adu = f (t), A = XX Аа, Аа = - ^-каа (x) (1.3)
dt 2 dt z—‘ дx а V дxа )
=
u(0) = u o , u t (0) = u i ,
(1.4)
с линейным самосопряженным положительно-определенным оператором А : H ^ H , действующим в некотором гильбертовом пространстве H со скалярным произведением (u, v) = Jg uv dx, А а — положительно-определенные операторы в H.
Краевые условия учитываются включением u(t) € D(A), где D(A) — область определения оператора А. Вместо одного скалярного решения u(t) вводится вектор решений
U(t) = (u i (t), u 2 (t),..., u p (t)) (см. [3-10]). Вместо исходной задачи (1.3)-(1.4) запишем систему однотипных подзадач:
d 2 u a dt 2
pp
+ X A e u e + X A e u et = f ( t ) , e=i e=i
(1.5)
U a (0) = u o , U at (0) = U i , a = 1,p.
(1.6)
2. Устойчивость по правой части и начальным данным решения вспомогательной системы
Заметим, что дифференциальные операторы A a , a = 1,p, порожденные дифференциальными выражениями L a u = — d^- ( k a (x) д^т") и условиями
u(xi,..., xa-i, 0, xa+i,..., xp, t) = u(xi,..., xa-i, la,xa+i,..., xp, t) = 0, t E [0, T], ka (x) > ci > 0, a = 1,p, являются постоянными (не зависят от t), самосопряженными и положительно определенными.
Утверждение. Задача (1.5) - (1.6) , полученная в результате перехода от скалярного решения задачи (1.3) - (1.4) к вектор-решению, поставлена корректно, причем u a (t) = u(t), a = 1,p, для t E [0, T] и справедлива оценка
p kuαxαt
p k2 + Va.
2 p
6 M k f «Эд. + k AU o k 2 + £ « U i. . k 2 , =i
(2.1)
t kf k2,Qt = I kf k2 dT, kf k2 = I f2(x) dx. 0
<1 Пусть za = ua — u. Подставляя ua = za + u в уравнение (1.5), находим d2z^ p p ___
^t2a +12 Aeze+ 52 Aezet = 0, a = 1,p, e=i
(2.2)
Za (0) = Zat (0) = 0.(2.3)
Каждое из уравнений (2.2) умножим скалярно на A a d Z a и просуммируем их по a = 1,p. Тогда получим

д 2 Z a dt 2
. dza\ 1 д
Aa^f +о^7 dt / 2 dt
p
A α z α
(2.4)
С помощ ью интегрирования по частям, с учетом граничных условий и вида оператора A a , a = 1,p, из (2.4) находим
1 д X (k г2 \ ,1 £
2 dt va ,Z ax “ t) + 2 dt
p
A α z α
p
+ EAa t
= 0.
(2.5)
Проинтегрируем (2.5) по т от 0 до t с учетом условий (2.3). Тогда получим
p
1Х(ь z2 .
2 / у v^o^t
p
) +1 EA > Z a
+ AX Aa^
0 a =
dT = 0.
Откуда с помощью (2.2) получаем
"
dt 2 0 ,
Z a (0) = Z at (0) = 0, a = 1,p.
(2.6)
Из (2.6) находим, что z a (t) = 0 или U a (t) = u(t), a = 1,p.
Для получения априорной оценки (2.1) умнож им уравнение (1.5) скалярно на A α ∂ ∂ u t α и просуммируем полученное равенство по a, a = 1,p:
/ d 2 U a . dU a M dt 2 ’ A a dt
p
1 d v-^ л
+ 2 dt 2^A a u
α
p
+ XA a U at
2 P V я \
XA
I f,2^A a dt .
\ a=i /
(2.7)
Так как

∂u α , A α ∂t
2 at X ( k a '“ ax.t
f' X Aa X 6 2 1 1 f 11 2 +2
, du a
A α ∂t
то из (2.7) имеем
p ci X Huaxct a=i
k 2 + XA a U a
откуда следует неравенство (2.1). B
2 p
6 k f k 2,Q t + k Au o k 2 + c 2 X llu lx a II2 ' a=1
3. Устойчивость разностной схемы
Для приближенного решения задачи (1.5)–(1.6) будем использовать трехслойную векторную аддитивную схему
αpαp yatt + X Aheye + X AheУв + X Aheyet + X Aheyet = f'
e=i e=a+i e=i
ya(0) = Uo, yat(0) = Ui, a = 1, 2,... ,p,(3.2)
где
(a+i+i)yio+l-yia _ a(ia)yia - yia-i A hayia = (aayXa )ХоХа = 7 I aa r aar hα hα hα
a ( i a ) = k a ( x i ,...,x a a - i / 2 ' . . . 'x p ) ' y t = ( y - y ) /T, y att = ( y i a - 2y i a + y i a ) /т 2 , a = 1,P,
— разностные операторы, аппроксимирующие на сетке
^ hT = Ш h X Ш т
p
Ш h = ПШ h a , a=i
^■^ h — ^x a — ia h a * a — 1 ,p ; i a — 0, 1 '...' N a , h a — l a / N a ^ ,
Шт = {tj = jT * j = 0, 1,... ,jo} дифференциальные операторы AaU = - d|a (ka (x)dxu;) , ^jtu, у = yj+i, у = yj, у = yj i
Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы
N 1 - 1 N - 1 N a - 1 N p - 1
p
H = Y h a , k y k 2 = (y,y), a =1
N 1 - 1 N 2 - 1 N a N p - 1
i 1 =1 i 2 =1 i a =1 i p =1
Из контекста будет ясно о какой норме идет речь, поэтому, чтобы не загромождать изложение, индекс а при написании нормы будем опускать, например, k y aX a t]| = ||y aX a t]|a .
Вычитая из уравнения (3.1) уравнение для нахождения ya-1, получим yatt + TAa yat + TAayatt = Уа-1#, а = 2,Р.
(3.3)
Здесь и далее в обозначении A hα будем опускать h . Рассматривая уравнение для определения У 1 и y p , из (3.1) находим
У1й + TA 1 y 1t + TA 1 У1й = f t + y ptt .
(3.4)
Умножим уравнение (3.3) скалярно на y αtt :
kyatt II + т (Aa yat ,yatt) + T (Aa yatt, yatt) (ya-1,tt, yatt) .
Так как
( A a y at , y att ) — ( a a y ax a t ,
yaxatt] = ^ (aa,yaXat] t + 2 (aa,yaXatt] , то из (3.5) в силу положительности операторов Aa, а = 1,p, имеем
Wtiatt k2 + (aa,ya Xat] 6 (aa,ya Xat] + ^ya-1,ft^2 , aa = ka(x1,.
x a - 1 , x a
— 0.5 h a , X a+1 , . . . , X p ).
После умножения на τ просуммируем сначала (3.6) по j 0 от 2 до j:
jj
X kya^tk2 т 6 c2 kyaxattT+X Wa-1,й|2т, j 0=2j а затем по α0 от 2 до α:
jαj
E ky^t к2т 6 C2E kya ox at ]2t +e ky^ к2т.(3.7)
j0=2 a0=2j
Умножив равенство (3.4) скалярно на y 1tt , получим
0.5 k y 1tt k 2 + т (A 1 y 1t ,y 1tt ) 6 0.5 к т f t + y ptt k 2 .
(3.8)
Пользуясь формулой суммирования по частям и определением оператора A 1 , второе слагаемое в (3.8) запишем в виде
ТТ
Умножим (3.8) на т и просуммируем полученное неравенство по j 0 от 2 до j :
jj
X кУ1йк2т + (°1> (У1Х11)2] Т 6 (al, (yixit)2] Т + Т X Wf + ypttk2 10=2
или
X k j к 2 Т 6 C 2 k y 1. 1 t к 2 + Т X И + ■ ' , 0 < С 1 6 “ 2 6 C 2 .
j0=2
Так как
И + »рй\2 6 (тliftк + tall)2 = Т2kftII2 + 2Vtliftк • VTkypttk + \\ypttII2 6 Т2kftк2 + Тkftк2 + Тkypttk2 + kypttk2 = (1 + Т)Tkftk2 + (1+ Т)kypttk2, то из (3.8) после суммирования по j0 от 2 до j получаем jj
X ку1йк2т 6 cM^t ]i2 т+(1+т)т Xkfj'-1н2т j0=2
-
(3.9)
-
(3.10)
-
(3.11)
1-1
+( 1 + т ) т Wp tt k 2 + (1+ т ) 52 k y pPtt к 2 т-
1 0 =2
Оценим последнее слагаемое (3.9) с помощью неравенства (3.7):
-
1 p1
X WiPiX т 6 c2 X к»а xat]2 т+X ь»112 т-j^=2 а=2p
Из (3.9) с помощью (3.10) находим j0
52 курйк2т 6(1+т ) c2 52 к»а xat]i 2т 10=2
+ (1 + Т)т X kftP'-1112т + (1 + Т)тky-pitk2 + (1 + Т) X kyjitк2Т-0=2
Продолжая неравенство (3.11) вправо с помощью аналогичной процедуры, найдем jjp
L k y jt И 2 Т 6 M l (T)( k y li, к 2 + k y ps k 2 + E k f P 0 - 1 k 2 Т + E k » a...t l2), (3.12)
P0=2 p0=2 а=1У где Mi(T) = сзТет, C3 = max(1,C2).
Из (3.7) и (3.12) следует j jp
E k y a« к 2 т 6 M 2 (t )( k y^ k 2 + k y ptt k 2 + e k f j ' - 1 k 2 т+ e k y ax aJ 2). (3.13)
j 0 =2 j 0 =2 a=1 '
Так как из (3.6) при j = 1 следует
p
Htt II2 6 ^Х ^Et II2 + Mtt II2, a =2
то для получения необходимой оценки достаточно оценить Ну^ к и k y ax a t ]l , а = 1,p. Для чего положим в уравнении (3.1) а = 1, j = 1. Тогда получим
Уш(т ) + TA i (y it (т) + y ift (T)) + Au i + A(u o + ти 1 ) = f (т). (3.14)
Умножая (3.14) скалярно на yitt(т), находим lysll2 6 c2lluixi]|2 + Ilf(т) — Au1II2, U1 = uo + (1+ т)u1. (3-15)
Из (3.6) с учетом (3.15) имеем pp
X k y a x a j 2 6 С 2 E k y a $<j 2 +1 i^i k 2 + k f (t ) - м n 2). (3.16)
c 1 c 1
a=2 a=2
Аналогично c помощью (3.14) оценивается и Hy^ t]\2. С помощью (3.15), (3.16) из (3.13) получаем j jp
E k y a« k 2 т 6 M (T)( E k f j 0 - 1 k 2 т + E k u ix a k 2 + k f (t ) - Au i k 2), а = 1^. (3.17)
j 0 =2 j 0 =2 a=1
Из оценки (3.17) следует устойчивость разностной схемы (3.1)–(3.2) по правой части и начальным данным.
-
3.1. Погрешность аппроксимации. Обозначим через z a = y a — u a , а = 1,p, и
- подставим ya = za + ua в (3.1)-(3.2). Тогда для погрешности получим задачу αpα p
Z att + EA he Z e + Е A he Z e + E A he z et + E A he Z et = ^ a , (3.18)
в=1 e=a+1 в=1 e=a+1
Z a (0) = 0, Z at (0)= V 1 , а = 1, 2,...,p, (3.19)
где
αpα p
U att + E A he и в + E A he и в + E A he U et + E A he U et + f e=1 e=a+1 e=1 e=a+1 /
+ O( I h \ 2 + т)+ f = O( I h \ 2 + т),
-
V 1 = ddtu (£) T = O(t ), 0 < £ < т , | h | = h l + h 2 + ... + h p O( | h | 2 ) — погрешность аппроксимации оператора A. Кроме того, если u a G C 4 [0, T], f(t) G C 2 [0,T], то
-
3.2. Сходимость разностной схемы. Для погрешности z a = y a — u a оценка (3.17) принимает вид
(d^u du e л dueX 2x/\i\i2 x
t = —tda+ EAheit-+ EAheit^)+ O(|h| + т) +ft
\ в=1 в=1 / (3.20)
= — dt + f t + O ( | h | 2 + T ) = O ( | h | 2 + T ),
C n [0,T] — класс функций, имеющий n производных, непрерывных по t на [0, T].
j jp
X k j k 2 т 6 M ( X k jr т + X k v ix a k 2 +1Шт ) +( i + т ) Av i k 2). ( 3 -2i)
j 0=2 \v=2 a=1 2
Из оценки (3.21) с учетом (3.20) следует
Теорема. Пусть задача (1.1)-(1.2) имеет единственное непрерывное в QT реше-4 4 8 ∂2f ∂2f ние u(x,t) и существуют производные d-^, д4’ иди Г-’ df, df, a = 1,p, непрерывные в QT. Тогда схема (1.1)-(1.2) сходится со скоростью O(|h|2 + т) в норме kzk1 = (PP kjtt II2т
X j 0 =2
1/2
4. Волновое уравнение в релаксирующих средах
В цилиндре Q T рассмотрим задачу для волнового уравнения в релаксирующих средах
-
d 2 u
dtp + Lu = f (x,t), Lu = 22 L a U, (x,t) G Q t , (4.1)
a =1
u | s = 0, u(x, 0) = u o (x), u t (x, 0) = u 1 (x), X 1 ,X 2 = const > 0, (4.2)
т _ Г d 2u । d d 2u । d 2 d 2 u 1
где L a u = — ^dx a + X 1 attax a + x 2 dt p dx a] •
Структура третьего члена слева уравнения (4.1) такая же как у диссипативного члена в (1.1), описывающего затухания звука из-за вязкости и теплопроводности, четвертый член описывает слабые дисперсионные эффекты (см. [13, с. 87]).
Задачу (4.1)–(4.2) перепишем в виде абстрактной задачи Коши d2u ,>du ,>d2ud dtp + Au + x1Adt + x2Adt2 = f (t), A = ^2Aa, Aa = — dx2 , a=1
u(0) = uo, ut (0) = u1.(4.4)
Вместо исходной задачи (4.3)–(4.4) запишем систему подзадач d2ua dt2
ppp
+ 52 Aeup + X1£ Aeupt + X2 ^Apuptt = f, a = ^p, в=1 в=1
u a (0) = u o , u at (0) = u 1 .
(4.6)
Как и выше, обозначим через z a = u a — и. Подставляя u a = z a + и в уравнение (4.5), получим
2p pp
.,' + £ Aeze + XI £ Aezet + X2 £ Aezett = 0,(4.7)
β=1 β=1
Za(0) = Zat (0) = 0, a = 1,p.(4.8)
Умножив каждое из уравнений (4.7) скалярно на AadZa и просуммировав их по a = 1,p, получим p 2 pp pp
∂ z α ∂z α ∂z α ∂z α
(dt2, Aa dt)+ 52 (52 Ae ze, Aa dt )+ X 1 52 ( 52 Aeze t , Aa dt )
a=1v / a=1 / a=1 ^=1 / p / p Я \ ( .
∂z α
( £ Ae z ett , Aa "dt- ) = 0.
α =1 β =1
После интегрирования по частям в первом интеграле равенства (4.9) находим
p kzαxαt
α =1
p k2 + £Aa Za
2 t
+ 2X 1 / k A a z at II 2dT +
p
χ 2 A α z αt
= 0.
pp p
Откуда следует, что ^ A a Z a = Z A a Z at = IL A a Z att = 0, т. е. задача (4.7)-(4.8) α =1 α =1 α =1
принимает вид
∂ 2 z
—a = 0, Z a (0) = Z at (0) = 0. (4.10)
Из (4.10) имеем, что для любого t Е [0,T], z a (t) = 0 или, что тоже самое, u a (t) = u(t), t Е [0,T], a = 1,p.
Покажем, что каждая из компонент вектор-решения непрерывно зависит от входных данных. Умножим уравнение (4.5) скалярно на A a u at , затем просуммируем их по a = 1,p. В результате получим
1 — XX II
2 dt k
II2 1 д uaxat 11 +2 dt
p
A α u α α =1
p
+ X 1 A a u at
χ 2 ∂
+ 2 dt
p
A α u αt 6
L k f k 2 + =
p 2
A α u αt
α =1
(4.11)
Положив e = X21, затем проинтегрировав (4.11) по т от 0 до t, получим pp
£ kU ax a t k 2 + £Aa U a
+ X 2
p 2
A α u αt
α =1
6 X k f k 2,Q t + « u ix k 2 + k Au o k 2 + « AU 1 k 2 ,
(4.12)
t kf k2,Qt = j kf k2 dT.
Из оценки (4.12) следует непрерывная зависимость решения задачи (4.5)–(4.6) от правой части и начальных данных.
5. Разностные схемы
Для решения задачи (4.1)–(4.2) будем использовать векторную аддитивную схему
αp α p
-
y a±t + ^A e y e + 52 A e y e + x i 52 A e y et +x i 52 A e y et
в=1 в=а+1 в=1 в=а+1
(5.1)
αp
+X2 52 Ae yett+X2 52 Ae yett = f, в=1 в=а+1
У а (0) = U 0 , y at (0) = U 1 . (5.2)
Задача (5.1)–(5.2) недоопределена. Для применения этой схемы требуется задать еще одно условие, например, значение y a (t) на втором слое у а (2т ).
Будем искать у а (2т ) из соотношения
и(2т ) — 2и(т ) + u(0) т 2
= du ( т ) + О ( т 2 ) -
Определим ddtu (т) из уравнения (4.1), положив t = т . Тогда получим задачу для определения v = du (x,T)
Av--v = F, v | r = 0, (5.3)
X 2
d 2 u/ d2й/ du
X 2
f 1 дЦ ) + A dxj Так как X2 > 0, то задача Дирихле (5.3) однозначно разрешима. Итак, будем считать, что задача (5.1)–(5.2) дополнена еще одним условием yatt = U2 или Уа(2т )= U2, U2 = U0 + 2U1T + U2 T2. Умножим (5.4) скалярно на yαtt: kyatt k + т(Aayat, yatt) + X1T(Aayatt, yatt)+ X2T(Aayattt'yatt) (ya—1.tt, yatt). Откуда с учетом вида операторов Aα находим kyattk2 + kyaxat ]|2 + x2kyaXatt]|2 6 kyaXa t]|2 + x2 kyaXatt ]I2 + ||ya-1,tt^ . Просуммировав (5.5) сначала по j0 от 3 до j, а затем по s от 2 до а, получим jα αj X l|yaftk2T 6 X kysXst(2T)]l2T + Х2 X ||ysxst"t(2T)]12т + X kyjttk2T. j0=3 s=2 s=2 Рассматривая уравнения для определения y1 и yp из (5.1), получаем равенство yut + TA1 y1t + X1TA1y1it + X2TA1y1ttt = Tft + yptt.(5.7) Из (5.7), как и выше, с помощью (5.6) получаем послойную оценку X 16 (1 + T) X kyaxat(2T)12T + (1 + T)X2 X Цу»»(2т)]|2т 10=3 a=1 a=1 + (1 + т) X Hilak2T + (1 + T)т X 1 Vт + (1 + т)т |У1Й(2т)k2. 10=3 10=3 (5.8) Продолжая неравенство (5.8) вправо, находим Xllj-к2т 6 M(T) Н|У1й(2т)k2+ ||урй(2т)||2 l0=3 j0p p +X Ilf-1'-1|2т +X 11УаХа-(2т)]|2 +Х2 X ||УаХа-"-(2т)]|2 10=3 a=1 a=1 (5.9) Из (5.6) и (5.9) получаем оценку 12 1 E kyat-k2т 6 M(T)(кУ1«(2т)k2 + kyp«(2т)k2 + £ kf1'-1k2т f=3 1=3 (5.10) pp ■ X ||Уох а-(2т)]|2 +X baxай(2т)]П . a=1 a=1 Так как из (5.5) следует pp ||УрЙ(2т)l|2 6X WyaSa-(т)]l2 +X2 X kyaXat-(T)]l2 +||У1Й(2т)k2 , (5-11) a=2 a=2 то для получения необходимой оценки достаточно оценить |У1й(2т)k, l|yaxa-(2т)]|, кУайай(2т)]|, а 1,p. Для этого положим в (5.1) а = 1, j =2: p У1й(2т) + А1У1(3т) ■ X Ae У в(2т) +Х1А1У1-(2т) в=2 pp +Х1 X AeУв-(т) +X2A1У1Й(2т) +Х2 X AeУвй(т) = f (2т). в=2 в=2 (5.12) Из (5.11) следует У1Й (2т) + тА1 У1-(2т) + тх1 A1 У1й (2т) + тх2 A1 У1й-"(2т) = F (2т), (5.13) где F(2т) = f (2т) - AU2 - X1A(u1 + ти2) - Х2AU2. Из (5.12) следует 1У1й(2т)k26 |У1Х1-(т)]2+ X2ky1xiй(т)]2+ kFk2. (5.14) Аналогично из (5.5) получаем оценки ppp 52 llyaXat(2T)]|2 6 52 kyaXat(т)]|2 +X2 52 kyaXatt(T)k2 +1|У1й(2т)k2, (5.15) a=2 a=2 P 1 P P1 52 kyaxait(2T)]l2 6— X l|yaxat(T)]|2 +X hal^t(t)k2 + —bitt(2т)k2• (5-16) ααα a=2 X2 a=2 a=2 Нормы kyix1t(2т)]|, ||У1Х1й]| оцениваются с помощью равенства (5.7). С помощью оценок (5.11), (5.14)–(5.16) из (5.10) окончательно получим jjp X kyattk2т 6 M( X kft'-1k2т + X kuixa + u2Xaтk2 j 0=3 ^j0=3 (5.17) p + X ku2xaH 2+ kf (2т) - Au2 - X1 A(u1 + TU2) - X2AU2 k2 a=1 Из (5.17) следует устойчивость схемы (5.1)–(5.2) по правой части и начальным условиям, а при достаточной гладкости решения исходной дифференциальной задачи сходимость схемы (5.1)-(5.2) со скоростью O(|h|2+ т). Условия гладкости на u(x,t) здесь те же самые, что и в теореме из пункта 3.2.
6. Модифицированное уравнение влагопереноса В цилиндре QT рассмотрим уравнение влагопереноса Аллера ∂u dt = Lu + f (x, t), Lu = 52 Lau, x ^ G, t ^ (0, T], (6.1) u|sT = 0, u(x, 0) = uo(x),(6.2) где Lau = dl2 (ka(x)dXa) +Itdl- (ka(x)?£) ’ a = 1,P, 0< c1 6ka(x) 6c2• Задачу (6.1)–(6.2) перепишем в виде абстрактной задачи Коши — + Au + A-Д" = f (t), A = ^2 Aa, Aa = - д fka(x) ^ , dt dt ∂xα a=1 u(0) = Uo.(6.4) Введенный Аллером (см. [8]) дополнительный член χ ∂∂t∂∂2xu2призван объяснить опытный факт движения влаги против градиента влажности. Коэффициент Аллера χ мал при впитывании влаги и велик при испарении (см. [12, с. 159]). Мы включаем это слагаемое в уравнение в виде (ka(x)ux)lt, a = 1,p. Вместо задачи (6.3)–(6.4) запишем систему подзадач: duα dt pp + 52 Ae ue + E Ae uet = f (t), e=1 e=1 ua(0) = uo, a = 1,p. (6.5) (6.6) Очевидно, что Ua(t) = u(t), и поэтому в качестве решения исходной задачи (6.5)-(6.6) можно взять любую компоненту вектора U(t) = (ui(t),..., up(t)). Для решения задачи (6.5)–(6.6) справедлива оценка p p £ kUatk2+ £Aa uα a=1 6 M(kfII2+ kAuok2). (6.7) Из (6.7) следует непрерывная зависимость решения задачи (6.5)–(6.6) от входных данных в норме, стоящей в левой части оценки (6.7). Каждую задачу (6.5)–(6.6) заменим разностной схемой αpαp yat + EAye + E Aeye + E Aeyet + E Ae= f,(6.8) в=1 в=а+1 в=1 ya (0) = Uo, a = 1,p.(6.9) Следует заметить, что задача (6.8)–(6.9) недоопределена. Для применения этой схемы требуется задать еще одно условие, например, значение ya(t) на первом слое ya(T). Будем искать y(x, т) из соотношения ' = du (x, 0)+O(T). τ∂t Значение du|t=o ищем исходя из дифференциального уравнения (6.1) ди д Д . . du0(x)\ х д . д ,. TT? = £ я ka (x)^--- + £ я ka (x) д U- (x, 0) + f(x, 0), dt dxa V dx ) dxa V dxa/ t=o a=1 или p - £ (ka(x)U1xa)xa + U1(x) = F(x), U1 (x)|r = 0, (6.10) a=1 где p F(x) = f (x, 0) + £ (kaUOxa)xa, U1(x) = Ut(x, 0). a=1 Итак, будем считать, что задача (6.8)–(6.9) дополнена еще одним условием yat(0) = U1 (ya(T )= Uo + TU1 = U1), a = 1,p. (6.11) Применяя тот же прием, что и выше, получаем априорную оценку для решения разностной задачи (6.8)–(6.9), (6.11): j jp E kyatk2T 6 M ( E kfj0-1k2+ E I"1-al2+ kyOtf (T) - AU112 ), (6.12) j0=2 j0=2 a=1 где U1 = (1 + t) U1 + Uo, M — положительная постоянная, не зависящая от hi, i = 1,p, t. Из оценки (6.12) следует устойчивость разностной схемы (6.8)–(6.9), (6.11) по правой части и начальным данным. Из этой же оценки следует сходимость решения разностной задачи (6.8)–(6.9), (6.11) к решению дифференциальной задачи (6.1)–(6.2) со скоростью O(|h|2+ т) при тех же условиях гладкости на U(x,t), что и в теореме пункта 3.2. Завышение гладкости u(x, t) в рассматриваемых задачах объясняется присутствием в априорных оценках для погрешности za= ya— Ua, a = 1,p, разностной производной от погрешности аппроксимации ^(j.
Список литературы Векторные аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа
- Самарский А. А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1989.-161 с.
- Марчук Г. И. Методы расщепления.-М.: Наука, 1989.-262 с.
- Абрашин В. Н. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики//Диф. уравнения.-1990.-Т. 26, № 2.-С. 314-323.
- Абрашин В. Н., Муха В. А. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики//Диф. уравнения.-1992.-Т.28, № 10.-С. 1786-1799.
- Абрашина-Жадаева Н. Г., Романова Н. С. Многокомпонентные векторные схемы расщепления для решения многомерных задач математической физики//Диф. уравнения.-2006.-Т. 42, № 7.-С. 883-894.
- Вабищевич П. Н. Об одном классе векторных аддитивных схем//Изв. вузов. Математика.-1994.-№ 9.-С. 11-15.
- Вабищевич П. Н. Векторные аддитивные разностные схемы для эволюционных уравнений первого порядка//Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1996.-Т. 36, № 3.-С. 44-51.
- Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Computational Modeling and Computing in Physics.-Dubna: JINR, 1997.-P. 363-371.
- Самарский А. А., Вабищевич П. H., Матус П. П. Устойчивость векторных аддитивных схем//Докл. РАН.-1998.-Т. 361, № 6.-С. 746-748.
- Вабишевич П. Н. Регуляризованные аддитивные операторно-разностные схемы//Журн. вычисл. математики и мат. физики.-2010.-Т. 50, № 3.-C. 449-457.
- Чудновский А. Ф. Теплофизика почвы.-М.: Наука, 1976.-352 с.
- Виноградова М. Б., Руденко О. Б., Сухоруков А. П. Теория волн.-М.: Наука, 1979.-384 с.
- Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка//Докл. АН СССР.-1982.-Т. 265, № 6.-C. 1327-1330.
- Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием для псевдопараболических уравнений высокого порядка//Докл. АН СССР.-1987.-Т. 297, № 3.-С. 547-552.