Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса

Естественным аналогом условия (1) в многомерном случае является постоянство интегралов от функции по всем шарам фиксированного радиуса. Близкий класс функций получается, если здесв заменить шары на сферы фиксированного радиуса.

Согласно теории рядов Фурье всякую T-периодическую функцию f G C ¹ (R) можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся тригонометрический ряд

„ ч   ao ,           /2пт             2пт f (x)   у ■ zL am cos I ^Tx x  + bm sin I ^Tx x ,               (2)

m =1

a0

• t. e. представить f в виде суммьi константы — и последовательности периодических функций {fm}^=i, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям

fm (x) + —^fm(x) = 0.

m       _T2

Существенно более трудной задачей является описание функций с постоянными интегралами по шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Для эффективной характеризации указанных классов требуется привлекать соответствующие специальные функции. Например, в двумерном случае имеет место следующий результат.

Теорема А. Пусть f G C “(R²). Тогда функция f имеет нулевые интегралы по всем кругам в R² рад нуса r в том и только том случае, когда имеет место разложение

∞∞             m f (х,У)= ^ ^ cq,mJm (^ V Х2 + У2) I ,     2 ) , m=-^ q=1       Vr              x + У2

гДе Jm ~ функция Бесселя порядка m, {vq}q=i — последовательность всех положительных нулей функции Ji, занумерованных в порядке возрастания, и коэффициенты cq,m G C удовлетворяют условию cq,m

-о (У

при q — то

для любого фиксированного a >  0. Отметим, что функции

—) - Jm ⁽ ^ VX2+72 ЯдА Г k r         ;  7x² + y²

являются собственными функциями оператора Лапласа Ав R². Подобные результаты были получены и для функций меньшей гладкости, заданных на ограниченных множествах в Rⁿ, n >  2, инвариантных относительно вращений (см. [1, теорема 3], [2, теорема 3], а также [3-5], где содержатся существенно более общие результаты, касающиеся структуры решений уравнений в свертках).

Гораздо менее изученным в этой области является случай векторных полей. Если рассматривать f G C 1(R) как векто}:шое поле в R. то условие

^f(x - У - ^f(^x+т)⁼⁰

означает, что f имеет нулевой поток через любую нульмерную сферу радиуса T/2. Таким образом, равенство (2) дает представление для полей с нулевым потоком через все сферы радиуса T/2 в R1. Этот факт допускает нетривиальное обобщение на векторные поля в Rn. При этом константа 00 интерпретируется как соленоидальное векторное поле, a {fm} заменяются на потенциальные векторные поля, удовлетворяющие уравнению для собственных функций оператора Лапласа. Указанное утверждение является частным случаем следующего локального результата Д. Смита [6, теорема 3].

Теорема В. Пусть A : Br+i ^ Rn (1 < R ^ то) — вектор ное поле в Rn класса C n+^a (0 < а < 1), имеющее нулевой поток через любую сферу единичного радиуса, лежащую в Br+i. Тогд а для x Е Br имеет место равенство

∞

A ^(x) = A^{s (x)} + ^ ^Am(x),                          (з)

m=1

в котором ряд сходится равномерно на компактах из Br, A s — соленоидальное векторное поле класса Cn^+a и Am — потенциальные векторные поля, удовлетворяющие уравнению

(А + vm ) A m = 0 ,                               (4)

где {vm}m=i — последовательность всех п<)ложителы1ых нулей функции Jn/^. занумеро ванных в порядке возрастания.

Символ Br в теореме В н ниже обоз!тачает открытый шар it; Rn рад:iyca R с центром в нуле. Класс Cn+a определяется как класс таких функций f Е Cn, у которых частные производные порядка n удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а. Напомним также, что векторное поле A = (Ai,...,An) класса C1 в области D С Rn называется соленоидалъннм, если

л- а \Г dAj div A := ) —— ∂x j=i    ^j

=0

во всех точках области D, и потенциальным, если существует скалярное поле u в D такое, что

∂u     ∂u

A = gradu := -—,..., -— . dxi     dxn

Одним из существенных недостатков теоремы В является отсутствие разложения (3) во всем шаре Br+i. Это создает серьезные препятствия для изучения свойств векторного поля A на всей области определения. Кроме того, метод доказательства теоремы В не позволяет получить подобное описание для областей вида

В_а,ь = {x Е Rn : a < |x| < b} •

В данной работе предложен иной подход, позволяющий преодолеть перечисленные выше трудности. В теоремах 1, 2 ниже получено полное описание векторных полей в шаре и шаровом слое пространства Rn, имеющих нулевой поток через границу любого шара фиксированного радиуса, лежащего в этих областях. Отметим, что при этом возникают новые специальные функции (гипергеометрическая функция порядка (1, 2) и функции Ломмеля), которые не появлялись ранее в подобных задачах для евклидова пространства.

• 2.    Формулировки основных результатов

Пусть r >  0 фиксщюваио. x Е Rn.

Br(x) = {у Е Rn : |x - y| < r},

Br (x) 11 dBr (x) — соответственно замьшаппе ii тратта шара. Br (x).

Для области O С Rn. содержалщй шары B r (x) при шлкоторых x. обозначим через: V r (O ) совокупность всех iienpeiзывных векторных полей A : O ^ Rn с условием

У A • nd£ = 0    (Vx e Rn : Br(x) С O), dBr (x)

где n — единичный вектор вне шпей нормали к Гранине dB r (x) d^ — элемент пл отпади на. dB r (x).

Далее, как обычно, S^n-1 — единична я сфера из Rn с центром в нуле, Hk — пространство сферических гармоник степени k на S ^n-1. Пространство L²(S ^n-1) является прямой суммой попарно ортогональных пространств Hk, k = 0,1,... (см., например, [7, гл. 4, § 2]). Пусть d k — размерность Hk, {Y^k)}^i — фиксированный ортонормированный базис в Hk- Для тонки x e Rn положим

Р = Ixl, a = |x|, ^x = ⁰-

(k)

Функция Y^{v 7} продолжается до однородного гармонического многочлена степени k в Rn по формуле

Y/k)(x) = pk Y/k)(x).

Если область O инвариантна отпосителыто вращений пространства Rn. то всякой локально суммируемой в O функции f соответствует ряд Фурье вида

∞ dk f (x) = E Efk,i(P)Y(k)(a), k=0l=i где                                            _______ fk,l(p) = j f (pa)Yl(k)(a) da

Sn-1

Разложение функции Бесселя порядка v e R в степенной ряд имеет вид

J v (t) =

(И

=

(-1)m m!r(v + m + 1)

r-

где Г — гамма-функция. Функция Неймана порядка v e R выражается через функцию

Бесселя по формуле

N_v (t) = lim

µ→ν

J^(t) cos(n^) - J-^(t) sin(n^)

Пара {Jv, Nv} является фундаментальной системой решений дифференциального уравнения Бесселя t2d2U + tdu + (t2 - v2P = 0. dt2     dt

Обозначим через iF2(ai; bi,b2; t) пшергеометрическую (функцию порядка (1, 2). определяемую равенством iF2(ai;bi,b2; t) = E (b^k,                   № где

(а) о = 1, (a)k = a(a + 1)... (a + k — 1), k = 1, 2,...

(см., например, [8, гл. 4]). Присоединенная функция Ломмеля с индексами ц, v G R определяется равенством

t^+1 S^,v(t)= (ц + 1)2 — v21F2 ( ц — v + 3 ц + v + 3  t^ \ ;        2       ,        2       ; 4 + 2^- ir ^ц — v +1 ^ г ^ ц+^+А ^ x [sin (^^) Jv(t) — cos (^ц—Л) Nv(t)] , (7> где при ц ± v = —1, —3, —5,... правая часть в (7) находится с помощью соответствующего предельного перехода (см. [9, приложение II, §11.12]). Как известно [10, гл. 1, § 16], функция S^,v является частным решением неоднородного уравнения Бесселя t2 d2u+tdu+(t2—v 2)u=t^+i.

dt²     dt

Следующие результаты дают описание гладких векторных полей A, принадлежащих классам Vr (Br) и Vr(B_a,b) соответственно.

Теорема 1. Пусть r > 0, r < R С +то, A : Br ^ Rn — векторное поле класса C“. Тогда A принадлежит Vr (Br) в том и только том случае, когда

A(x) = As(x) + B(x)x, x G Br,(8)

где As — соленоидальное векторное поле класса C^. B — скалярное поле, коэффициенты Фурье которого представимы рядами

BkM = £ Ym,k,i P^k 1 F 2 (n+^; n+k +1, n + k; — ⁽^A   0 c p < R,

2      2        22r m=1              x7

в которых константы ym k i убывают быстрее любой фиксированной степени vm при m ^ то.

Здесь и далее B(x)x — векторное поле, определяемое равенством

B(x)x = (B(x)x i , . . . , B(x)x_n).

Теорема 2. Пусть r > 0,0 С a < b С +то, b — a > 2r, A : Ba,b ^ Rn — векторное поле класса C“. Toгда A принадлежит Vr(Bab) в том и только том случае, когда

A(x) = As(x) + B(x)x, x G Ba,b, где As — соленоидальное векторное поле класса C^. B — скалярное поле, коэффициенты Фурье которого представимы рядами

∞

^Bk,l^(p) = £ -m-T [^{( n +} k — ²⁾J2 + k- 1 (“ ^p) ^S2- 1 ,n + k-2 (-m^p) ^— m =1

—

J2 + k-² (v^p) ^Sn^,2 + ^k- (t ^p) ] ⁺

+

βm,k,l pn-1

[ ( n⁺k—²⁾N n + k- i v m ^{1 p}) S n - i , 2 + k- 2 (-rm^p) —

—

N2 + k-² (^m^p) ^SП^,П + k-¹ (^m^p) ] ⁺

γm,k,l ρn ,

a < ρ < b,

в которых константы am^j, em,k,h Ym,k,l убывают быстрее любой фиксированной степени vm щ )п m ^ то.

В отличие от теоремы В теоремы 1, 2 дают разложение для полей A из рассматриваемых классов на всей области определения. Отметим также, что теоремы 1, 2 являются развитием результатов В. В. Волчкова об описании функций с нулевыми интегралами по сферам фиксированного радиуса на случай векторных полей (см. [1, 2], а также [3-5]).

• § 3.    Вспомогательные утверждения

Прежде всего напомним некоторые свойства встречающихся выше специальных функций.

Для функций Бесселя и Неймана справедливы следующие формулы дифференцирования [8, гл. 7]

dt (tv J v (t))— tv Jv-1(t),	ddt (tv N v (t))	— tv N v -1(t),	(9)
d ( J v (t) A — — Jv+1(t) d / N v (t) \ — — Nv+1(t) dt V tv )          tv ’ dt\ tv )          tv • Отметим следующие свойства функций Ломмеля [9, приложение II, § 11.12]:			(10)

S^,-v (t) — S^,v (t),1Д1)

S^(t) — t^-1 + (v2 - (p - 1)2) S^—2,v(t),(12)

2vS^,v(t) — (p + v — 1)tS^-1,v-1(t) — (P — v — l)tS^-1,v+1(t),(13)

dtS^v (t) — "tS^,v (t) + (p — v — l)S^-1,v+1(t)-(14)

Из (14) имеем dt (tvS^,v(t)) — v tv 1S^,v (t) + tv ( tS^^V (t) + (p — v — l)S^-1,v+1(t))

^— t^{v 1} (^2vS^,v^{(t) + (}P ^{— v — 1)tS}^- 1 ,v +1 ^(t)) •

Отсюда и из (13) получаем dd (tvS,,v(t)) — (p + v — 1)tvS^-1,v-1(t).

Лемма 1. Для функции h(t) — 1F2(a; a + 1,в; Yt) имеет место соотношение th’(t) + ah(t) — аГ(в)

Je- 1 ^V—Tt)

/----7 e- 1

-γt

<1 Из (6) ii on ределеиия h имеем

ДД    (a)ka    (Yt)k ah(t) — Ю (a + 1)k(e)k      ,

‘      v^      ^(a)k     ^k(Y^t)k

.

⁽⁾ k = ₀ (a + 1)k(в)к k!

Складывая эти равенства и учитывая, что получаем

(a)k

(a + l)k

(a + k) = a,

th‘(t)+ ah(t) = a £ k=0

1 ⁽Yt^)k (в) к k!

Теперь используя разложение

J v (t) =

r(v + 1)

t ^v V ¹    (-t²/4)k

2 k =0 (v + 1)k k!

(cm. (5)), приходим к требуемому утверждению. >

Лемма 2. Имеют место равенства

((р + V - 1)tJ v (t)S ^ -1 ,v -1(t) — tJ v -1(t)S ^,v (t) ' = J (t), ( (p + V - 1)tN v (t)S ^ -i ,v -i(t) - tN v -i(t)S ^,v (< = t ^ N v (t).

<1 Используя (9), (11) и (15), находим ddt(J(t)S^—1,v—i(t)) = ddt (tvJvW"-S,—i,i—v(t))

= tJ v -1(t)S ^ -i ,v -1(t) + (p - v - 1)tJ v (t)S^- 2 ,v (t).

Далее, с помощью (10) и (15) получаем ddt(tJ„-1(t)S„.„(t)) = dt (t1-vJv-1(t)tvS^(t))

= ^-t ^J v ⁽t'^{) S} p,,v ^{(t) + (}P ^{+ v} - ^1)tJ v -1 ^(t)S^- 1 ,v- 1 ^(t)-

Исключая из правых частей этих соотношений функцию tJ_v-1(t)Sp,— 1 , _v-1(t), имеем

4 ( tJv- 1 (t)S_M,v(t) ) = -tJ v (t)S ^,v (t) + (p + V - 1) -d (tJ v (t)S^- 1 ,v- 1 (t) ) dt                                                  dt

⁺ ( ^{v2 - (}p ^{- 1)2} ) ^tJv^(t)S^- 2 ,v^(t).

Отсюда и из соотношения (12) следует формула (16). Равенство (17) доказывается аналогично. >

Лемма 3. Пусть скаля]люе поле B Е C 1 (0) имеет вид

B (x) = y(p)Y^(k)(a).                                     (18)

Тогда.

div⁽B^(x)x) = ( р^‘⁽р) ⁺ ny⁽p) ) Y^(k)(.y⁾.

< Для любого ока.тяриого поля B Е C 1(0) имеем n ∂           n         ∂B          n ∂B div(B(x)x) = У^ ——(xjB (x)) = y^B(x) + Xj    = nB (x) + ^^Xj .

∂xj                        ∂xj                 ∂xj j=1                  j=1                             j=1

Пусть теперь выполнено условие (18). Запишем B в виде

B(x) = ^(p)Yi(k)(x), ^(р) = ^^.

Тогда дв    /(p)     (k)            dY (k)(x)

— =----xjY/ 'xc) + ф(р).

∂xj      ρ lxj

Следовательно, div(B(x)x) = n^(p)Yl(k\x) + ^ ^-^xjY^k(x) + ^(p) ^Xj9 l (X j=i p                    j=i

"    dY (k)(x)

= (n^(P) + ^ (р)р) Y1 (x) + W ^ Xj^7T• ∂x j=1

Поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях div(B(x)x) = ((n + k)^(p) + ^‘(p)p) Y(k)(x).

Поскольку

^(p = Уф - _t*>, pk      pk +1

отсюда вытекает требуемое равенство. >

Из леммы 3 непосредственно получаем следующее утверждение.

Следствие 1. Имеет место равенство

Y ^(k)(Y div  l—— x = 0.

ρn

Следствие 2. Пусть n + k n + k ri        vmp\2X

*W = p k i F2 (2; — + 1, ^ + k;^- (^) ) .

Тогда div ^^(p)Yl(k)(ct)x^ = (n + к)Г (n2 + k) 2n +k-1

X ^-rm )1-k-n p1-n Jn +k-i ^rmp) y

<1 Полагая n + k n + k n ,v2

a(t) = 1F-(—; —^{+ 1},2 ⁺ k;^- 4m t).

получаем ^(p) = pk ^(p2) 11

p^‘(p) + n^p) = pk (2p2^‘(p2) + (n + k)^(p2)).(22)

По лемме 1 имеем t-W) + (Ц^ W) = (n^ Г (n + k) 22+k-1 J      m.       (23,

²                2      42     7           vmpp) ^{2 +k 1}

Комбинируя (22), (23) и (19), приходим к (21). >

Следствие 3. Пусть рМ = [(n + k - 2)Ji+k-i (pmp) Si-1,i+k-2 (pmp)

^vm            ^vm     1

— ^Ji +k-²  -^p S 2,2 +k-l -^p  pn-1 -

Тогда.

n div (y(p)Yl(k)(a)x) = (^m) i p1-iJi+k-i (^mp) Yl(k)(CT).

• <1 Используя формулу

p^'M + np(p) = pn-r (p^WW и лемму 2 при v = П + k — 1, д = 2, находим p^(p)+ np(p) = pn-1

[^{(n +} k ^{— 2)}--p^Jn+k-1

r2

νm             νm

( Vp7 Sn-1n+k-2 (Tp7

^vm           ^vm              ^vm ‘ r     ^vm i 1- n         ^vm

-—^pJn^+k-2(—p)Sn,n^+k-i(vdJ vm = 1 v) ^{p i}Jn^+k-1(T^p)-

Отсюда и из леммы 3 получаем требуемое утверждение. >

Аналогично доказывается

Следствие 4. Пусть

^p(p) =

[^{(n +} k ^{— 2)}Nn+k-1 (^mp) Sn-1,n+k-2 (m¹ p)

^— Nn+k-² (^Vm^p) Sn,n+k-1 (^vm^p)] pn^.

Тогда.

n div (p(p)Yi(k)(^)x) = (pm) 2 p1-iNn+k-1 (pmp) Yi(k)(CT-.

Лемма 4. Пусть A E C ¹(B_a-ib), po — фиксированное ¹шсло из интервала (a, b), и

A (tx)~tn 1dt,

a < |x| < b.

Тогда.

div (B(x)x) = A(x).

<1 Прежде всего отметим, что определение функции B является корректным. Действительно, если a < |x| С ро, то 1 С рО и при 1 С t С р)0 выполнены неравенства a < |x| С t|x| С ро < b.

Аналогично, если ро < |x| < b. то РО < 1 и и ри РО С t С 1 имеем |x|                                   |x| a < Ро С t|x| С |x| < b.

Далее, по формуле Лейбница находим

∂B

∂xj

∂ ∂xj

A(tx1,... ,txn)t^{n 1}dt

ро(Д + -+Д)-1/2

= -A(tx>tn-1U/Hdx; (я)+ / dxj(A(tx)) tn-1 dt ρ0/|x| n-1                   1

= -A (РтНп)  Р0Mxj +   TT (A(tx)) tn^-1dt

|x| 7 \|x|              |x|3              dxj

ρ0/|x|

= A (lx") №+2x^{j +} i dj^(A(tx)) tn ^{1 dt}‘ ρ0/|x|

Отсюда (см. (20))

div(B(x)x) = nB(x) + 5 xjdB = n j A(txr1 dt + 5 A (pxx) |xpР+ xj j-1              ро!\х\j

+ /

ρ0/|x|

d

^xj—— (A(tx)) tn¹ dt = n     A(tx)-t¹dt

∂xj j-1                                        Po/\x\ n 1     / n

^+A (Txr) (Я) ⁺ / tn (? ^xj dxj^(tx)) ^dt‘

P0/\x\     V-1/

Преобразуем последний интеграл с помощью формулы интегрирования по частям. Тогда

1n

I tn (5

P0/\x\ м 1

xj lAj(tx)

dt = [ -d (A(tx)) tn dt dt

ρ0/|x|

tⁿA (tx)

ρ0/|x|

-n

j A (Wn^-1 dt.

ρ0/|x|

Используя это соотношение и (25), получаем равенство (24). >

Лемма 5. Пусть A Е C ¹(Br) и

• ^B(x)=/ Aw^{-1 d}t, 0

  |x| < R.

  
  

• 4. Доказательства теорем 1 и 2

Тогда.

div (B(x)x) = A(x).

<1 Утверждение леммы 5 получается теми же рассуждениями, что и в доказательстве леммы 4. >

Приведем два известных результата (см. [1, 2]), которые потребуются ниже.

Лемма 6. Пусть r > 0. r < R С +to. f Е C^(Br). Тогда (}>упкцпя f имеет нулевые интегралы по всем замкнутым шарам радиуса г, лежащим в Br в том и только том случае, когда при всех целых k ^ 0, 1 С l С dk имеют место равенства

∞ fk,l(P) = Р1-n ^ cm,k,l Jn+k-i (mpp) ,  0 С P < R, m=1

где Cm,k,i Е C II

k = O Cm)

при m ^ to

для любого фиксированного a > 0.

Лемма 7. Пусть r > 0,0 С a < b С +to, b — a > 2r, f Е C^ю(В_а,ь). Тогда функция f имеет нулевые интегралы по всем замкнутым шарам радиуса г, лежащим в В_а ь в том и только том случае, когда при всех целых k ^ 0, 1 С l С dk имеют место равенства

∞ fk,l(p) = Р1-2 УС am,k,l Jn +k-1 m=1

(^Vm^P) ^{+ в}т,к,1 Nn+k-1 (^^P) ,

a < ρ < b,

где am,k,i Е C вт,к,1 Е C ii

|am,k,l| + |em,k,l| — O

νmα

при m ^ TO

для любого фиксированного a > 0.

< Доказательство tеорем 1 и 2. Пусть A Е V_r(B_r) n C^(B_r). По (формуле Гаусса — Остроградского имеем

J

Br (x)

div A (y) dy

-J dBr (x)

A • n d^ = 0

(Vx Е Br-г),

где n — eoiiiiirnibni вектор виешиoil нормали к грашще шара Br(x). Это означает, что (рункпня div A имеет иулеввю шгтегралв! по в<-ем 'замкнутым шарам радиуса г. лежащим в Br. Отсюда по лемме 6

∞

νmρ  _,

^{(div A)}k,l⁽P) = Р^1-n УС cm,k,l^Jn +k-1

m=1

где константы c_m,k,i убывают быстрее любой степени vm пр и m ^ то. Рассмотрим векторное поле C(x) = B(x)x. где

B(x) = У о

div A(tx)tn^-1

dt.

Тогда

Bk,i(p)= j

Sn-1

В^рФ^^Ф) da

S

1 / о

div A(tpa)tn ¹

YfkH^ da

div A^payY^k(a) da

_tn-1 _{dt =}

j (div A)k,i(tp)tn^-1dt. о

Теперь в соответствии с (27)

Bk,i(p) = / р¹²: cm,k,iJn+k—1 (t^m^- ) t n dt-=1               r

о

Используя формулу x ,             av               A + v + 1 A + v + 3         a2 A

/ J^{v(at)t dt} = 2-. ■ 1F² (   2   ^;   2   ’^{v +1;} — z) ’

о

Re(A + v) > —1 (cm. [11, n. 1.9.1, формула 1]), получаем

»Ыр) = E YmAl Pk 1F (n^; n^ + 1, n + k; — (^)2) , 22   22r m=1             x7

где

= __________cm,k,l__________ / vm⁾ 2 ^+k-1

Ymkl - (n + к)Г (2 + k) 22+k-1

Кроме того, по лемме 5

divC = div A.

Полагая

As = A — C,

из (28) и (29) получаем представление (8). Обратное утверждение теоремы следует из соотношений (21), (26) и леммы 6. Таким образом, теорема 1 доказана.

Повторяя теперь рассуждения выше с использованием следствий 1, 3, 4 и лемм 4, 7, получаем утверждение теоремы 2. >

В заключение выпишем явное разложение полей

b_mkAx) = P1F2 (ni^k; ni^k + 1,₂ + k;

— (vr^-)²) Yl^W(a)x.

возникающих в теореме 1, в виде суммы соленоидальной и потенциальной части, удовлетворяющей уравнению вида (4) из теоремы В. В силу равенства (21) и [3, ч. 1, гл. 5, формула (5.27)] имеем

A div b_m,

k^(x) = - (т)

div bm,k,l(x).

Отсюда и из равенства A = div grad находим div (grad divbm,k,i(x) + ^уbm,k,i(x)^ = 0.

Кроме того,

A grad div bm,k,i(x) = grad A div bm,k,i(x) =

-

( Vm ) grad

div bm,k,i(x).

Поэтому искомые соленоидальная и потенциальная части равны

И

bm,k,i (x) +

r

Vm)

grad div bm,k,i(x)

-

r

Vm)

grad div bm,k,i (x)

соответственно.