Вероятность сноса оценок параметров межкадровых геометрических деформаций изображений при псевдоградиентном измерении

Под псевдоградиентным измерением вектора a неизвестных параметров в работе понимается использование для получения оценки a рекуррентной процедуры вида [1]:

"^a -1 + 1 =^a t ^{- Л} t + 1 P t + 1 ^{( q ( z} , <^a t )) , (1)

Для вектора a = ( a 1 , a ₂,

. ...

T

, a m ) парамет-

где Р t + 1 ^{( q (} z , ^a t )) - псевдоградиент (ПГ) целевой функции (ЦФ) Q , Z - наблюдаемые изображения, для которых требуется оценить параметры a ; ^Л t + 1 - матрица усиления. В общем случае Р t + 1 ^{( q (} z , ^a t )) — это случайное направление в пространстве параметров, определяемое значениями a _t и номером итерации t . Это направление будет считаться ПГ ЦФ в точке a пространства параметров, если будет выполнено условие:

[ V Q ( a ) ] T M{ p ( Q ( z , a )) >  0 ,

ров межкадровых геометрических деформаций изображений (МГДИ) соотношение (1) можно представить в виде:

(^ t + 1 =(^a t ^{- Л} t + 1 ^ф t + 1 ^{( v q ( z (1)} , ^{z (2)} , (^ t ))=^a t ⁺^^a t + 1

,

где ^ф t + 1 - некоторая векторная функция от градиента на t -й итерации; Z ⁽¹⁾ , Z ⁽²⁾ - наблюдаемые изображения. Для уменьшения вычислительных затрат в выражении (2) допустимо использование вместо V Q ( z ⁽¹⁾ , Z ⁽²⁾ , a _t ) его усе-

чение

‒

v q ( z t + 1 , а. ) ,

где

то есть, если направление ₽ ( Q ( * ■, a )) в среднем составляет острый угол с направлением вектора градиента V Q (а) функционала ^{Q ( a )} . Применение ПГ алгоритмов в современных системах весьма обоснованно их хорошими точностными характеристиками и устойчивостью к широкому классу помех наряду с вычислительной простотой и отсутствием требования к предварительной оценке параметров исследуемых изображений.

Воронов Илья Васильевич, аспирант

7 — L(1) 7(1) 7(2) ,= y(2) I

^z t + 1 = 1 ? ^ ^{e Z} , z j ^{e Z} } - двумерная локальная выборка ЦФ на t -й итерации. При выборе знаковой функции sgn( ° ) в качестве векторной функции от градиента ^ф получаем простые и хорошо сходящиеся алгоритмы релейного типа [2, 3] Р _t + 1 = sgn ^{(v q (} z t + 1 , ^a t )) , где sgn⁽ x ) = ^{( s}gn⁽ x ₁^),...^,sgn⁽ X m ^{) ) T} .

Вероятность сноса оценок при измерении одного параметра. Асимптотические вероятностные свойства оценок, сформированных псевдоградиентными процедурами, хорошо изучены. Возможности же анализа вероятностных свойств оценок (X _t при конечном числе итераций исследованы недостаточно. Объясняется это большим числом факторов, влиянием которых нельзя пренебречь. К таким факторам можно отнести характер плотности распределения вероятностей (ПРВ) и ковариационную функцию (КФ) изображений, мешающий шум, вид ЦФ Q,

выбор функции ^ф t преобразования градиента и матрицы усиления Λ t , определяющей величину t -го шага, общее число итераций T и начальное приближение ^а о вектора а . Эти факторы можно условно разделить на две группы [4]. Первую группу сформируют факторы, которые заданы априорно и не зависят от вида ПГ процедуры. К ним относятся ПРВ и КФ изображений, мешающий шум, а также ЦФ оценивания Q . Во вторую группу войдут факторы, на которые можно воздействовать при использовании ПГ процедур. Сюда можно отнести вид функции ^ф t , матрицу усиления ^Л t , начальное приближение ^а о вектора а и число общее число итераций T . Большой набор влияющих факторов в обеих группах создает сложности анализа эффективности ПГ процедур при конечном числе итераций.

Учитывая то, что в (2) для получения текущей оценки ^а i , t + 1 предполагается дискретное изменение предыдущей оценки ^а i , t , в качестве величин, комплексно характеризующих влияние факторов первой группы, предлагается использовать вероятности изменения оценки исследуемых параметров на каждой итерации. Данные вероятности характеризуют переход состояния вектора а параметров из t -го состояния в ( t +1)-е состояние. При этом из-за дискретного изменения оценки ^а i , t на ( t +1)-й итерации для ПГ процедуры возможны только три события:

- Изменение оценки направлено в сторону истинного значения параметра, тогда:

sgn( S i, t) = sgn Аа i, t+1 , где S i,t = а iu -аi,t, i = 1, m - рассогласование истинного значения параметра аi и его оценки на t-й итерации. При этом направление проекции псевдоградиента на ось параметров а i совпадает с истинным направлением проекции градиента. Вероятность такого события обозначим Р + ( St ) .

̶ Изменение оценки имеет направление от истинного значения:

Sgn( Si,t) = - Sgn Ааi,t+1 .

Вероятность такого события обозначим ^р i ^{( S} t ) . При этом событии направление проекции псевдоградиента на ось параметров а i противоположно истинному направлению проекции градиента.

̶ Нулевое изменение оценки. Не происходит никакого изменения оценки, при этом А^а i , t = ⁰. Вероятность такого события обозначим ^{р 0 ( S} t ). Очевидно, что вероятности ^р + ^{( S} t ) , ^{р 0( S} t ) и ^р i ^{( S} t ) составляют полную группу событий:

Р + (St ) + Р - (St ) + Р0(St ) =1

Таким образом, при максимизации ЦФ ПГ процедуры для случая ^S i , t >  ⁰ , ^p + ^{( S} t ) - это вероятность того, что на ( t +1)-й итерации проекция псевдоградиента ^р i на ось параметров ^а z будет отрицательной:

Р +(S,) = P{Pi<0}= 0 w(p,(z

-^

где w(вi (Z⁽¹⁾, Z⁽²⁾, аi,_t-1)) - ПРВ проекции ^рi на ось параметров а i. Для случая минимизации ЦФ ^р+ ^(St ) - характеризует вероятность того, что на (t+1)-й итерации проекция псевдоградиента P_z на ось параметров а i окажется положительной: Вероятности ^р+ ^(St ) и ^рi^(St ) будем называть вероятностями сноса оценки (ВСО) i параметра аi.

Используя плотность распределения вероятности ^{р+ (S}) = {Р + ^{( S}t ),^рi^(St ),^{р0 (S}t^)}несложно получить явные выражения для ПРВ оценок параметров а . В частности, при оценивании параметров изображений для этого удается использовать свойство нормализуемости проекции градиента ЦФ на ось исследуемого параметра при объеме двумерной локальной выборки ЦФ больше двух [5]. В качестве примера на рис. 1 приведены графики функции ^Р_z^{+ (}|^St ) для параллельного сдвига при объеме локальной выборки ЦФ ц=1, 3, 5, 10 и 20. Там же показаны экспериментальные результаты, полученные статистическим моделированием по 500 реализациям на имитированных гауссовских изображениях с аналогичными параметрами. Пример имитированного гауссовского изображения, используемого при моделировании, приведен на рис. 2. Анализ показывает хорошее соответствие теоретических и экспериментальных результатов при ц>3.

Рис. 1. Вероятность сноса оценки для параллельного сдвига

Рис. 2. Пример имитированного изображения

Рис. 3. Вероятность сноса оценки сдвига при оценивании двух параметров

Если оценки искомых параметров зависимы, например, при оценке сдвига h и угла поворота ф, то величина ^рh (^£h, ^£ф) при определенном

сочетании значений ε может быть и меньше 0,5. Оценки некоторых отдельных параметров в ходе работы ПГ процедуры могут ухудшаться при улучшающихся оценках ЦФ. Пример такого случая приведен на рис. 3.

Полученная с помощью ПГ процедуры (2)

последовательность оценок a₀,al,..., at,..., aT вектора параметров α , является m-мерной марковской цепью. Для релейных алгоритмов элементы матрицы условных вероятностей переходов из состояния l в состояние t легко могут быть выражены через переходные вероятности ^р+^(£t), ^{р 0( £}t ) и ^рi^{( £}t ). В [6] получены выражения для одношаговых ПРВ переходов оценок. Однако при большой размерности вектора параметров α резко возрастает требование к вычислительным ресурсам. Основными факторами, определяющими требования к вычислительным затратам, являются число возможных значений оценки каждого параметра и размерность вектора оцениваемых параметров. Проанализируем возможности уменьшения объемов вычислений для данных факторов.

Вероятность сноса оценок при измерении набора параметров. Разобьем область определения Ωα возможных значений параметра a i вектора a на подобласти ®i,k , к = 1, Ki , поставив в соответствие каждой юi,к фиксированное значение ai,к е гоi,к . При этом ai внутри каждой подобласти гоi,к будем считать неизменным. Такой переход от непрерывной области определения Ωα к дискретной позволяет априорно выбрать размеры kπ×kπ, kπ =∑mKi, мат-i=1

рицы ^пi⁽t) = ||^п(i)к,j⁽t)| одношаговых переходов, обеспечивающие реализуемость вычислений при заданном классе вычислительных средств.

Далее воспользуемся тем обстоятельством, что на t-й итерации из состояния ai,j оценки параметра αi вне зависимости от состояния других оценок, можно перейти только к состояниям ai, к,                                                      где к e{j+vi, t + 1, j+vi, t,j,j - vi, t, j - vi, t-1}, vi,t = int (^i,t / ^ i), ^ i - шаг дискретизации области определения параметров αi . Вероятности указанных переходов определяются состоянием оценок других параметров и являются матричными функциями. Каждая подобласть  гоi,к, i = 1, m, k = 1, Ki , пространства оценок параметров имеет свои вероятности переходов. Суммируясь, они дают общую вероятность перехода оценки аi из состояния ai, j в состояние ai,к . Так для двух параметров а1 и a 2 общую вероятность улучшения оценки ai = a 1, j на t-м шаге можно выразить как:

K1                       7            X

Р+ = 1 — Z Р2к (t — 1)Р — (^17,82к ) = к=1                                          ,

= pT (t - 1)p (8I j , 82 )

где p2к (t-1) = P(а2 = a2к ), к = 1, K2 - вероятность того, что на (t- 1)-й итерации величина а2 имеет значения a 2к; £ i,j = ai, j —a - погрешности оценки. Аналогичные соотношения возможно записать и для большего числа m параметров. Соответственно будет модифицирована матрица одношаговых переходов пi(t) для параметра mm ai, размер которой сократится с 2 Ki х Z Ki i=1 i=1

до Ki х Ki. Однако, указанное сокращение размерности достигается ценой потери информации о вероятности нахождения оценки вектора параметров а на t-й итерации в каждой из подобластей юi. Сохраняются только проекции этого пространственного распределения на оси параметров. Но этого достаточно для решения по- ставленной задачи. Невозможно только однозначно восстановить распределение вероятностей в пространстве параметров.

Исследование выполнено при финансовой поддержке государственного задания Минобрнауки России № 2014/232 и гранта РФФИ № 15-41-02087.