Весовые пространства Фреше целых функций из класса степенных рядов конечного типа

В работах Д. Фогта [1] и М. Дж. Вагнера [2] (см. также [3, c. 368]) были введены классы пространств Фреше ( DN ) и (Q) , пересечение которых совпадает с семейством всех пространств степенных рядов конечного типа. Отсюда, в частности, следует, что все пространства, относящиеся к данному семейству, обладают базисом. Отметим, что принято также говорить, что пространства класса ( DN ) (или (Q) ) обладают топологическим инвариантом ( DN ) (соответственно (Q) ). Инварианты ( DN ) и (Q) и их модификации имеют важное значение при исследовании ряда задач анализа, когда требуется использовать топологические свойства весовых функциональных пространств (см., например, [4–8]). В работах [4, 7] было установлено, что к классу пространств степенных рядов конечного типа относятся весовые пространства целых функций, задаваемые весовыми последовательностями выпуклых функций специального вида. В [8] была предложена общая схема проверки наличия инвариантов ( DN ) и (Q) у весовых пространств голоморфных функций, основанная на исследованиях Ф. Хаслингера из [4]. Недостатком этой схемы, равно как и результатов из [4] и [7], является то, что используемый метод проверки свойства (Q) предполагает наличие нужного описания сопряженного пространства через преобразования Фурье — Лапласа функционалов и, таким образом, имеет достаточно узкую область применения.

В настоящей заметке предлагается применить для этой цели модификацию леммы о декомпозиции из работы [5], имеющую также и самостоятельное значение.

По непрерывной функции у : C N ^ R ( весу ) образуем банахово пространство

E (у) = ff Е H (C N ) : | f | , := sup ff^ < J .

Единичный шар этого пространства обозначим через B (у) . Как известно (см., например, [9, 10]), всегда можно считать, что ϕ — плюрисубгармоническая (коротко, psh-функция) в C ^N функция.

Пусть ф ₁ , ф ₂ , ф 3 - psh-функции в C N функции, причем ф 3 (z) 6 ф ₂ (z) 6 ф ₁ (z) при всех z G C N и ф к (z) — ^ k ₊i (z) ^ + ro при z ^ ro ( k = 1, 2 ). При фиксированных A , а и β положим

Q,³ _A ^:= {z G C N : ф 2 (z) < ф з (z) + аА},

Q ^A := {z G C N : ф 2 (z) > ф 1 (z) — вА}-

Ясно, что Q ,^ и Q ^A — относительно компактные открытые в C N множества.

Образуем максимальную psh-функцию uа,a,в в CN, которая не превосходит фз(z)+aA и ф1(z) — вА. Напомним, что и а , a, в — верхняя регуляризация функции sup |u(z) : и — psh в CN, u(£) 6 min {ф3(^) + aA, ф1 (£) — вА} (V£ G CN)|.

Из определения функции и а , a, в и множеств Q,’ 3A и Q^ A следует, что и а , а, в (z) 6 ф2 (z) в Q^A и в дополнении Q,’3A До всей плоскости. Назовем тройку ф1, ф2, ф3 (а, в)-допустимой, если Q^ A с q, а Ясно, что это необходимое условие того, что UA,a,в(z) может превосходить ф(z) в некоторых точках z. Назовем (а, в)-допустимую тройку (а, в)-сильно допустимой, если существует такие постоянные Ад > 0 и D > 0 и открытое множество Q^ а С Q С Q,’A, что при всех А > Ад ф2(z + w) 6 ua,a ’в(z + w) + D, |w| 6 1, z G dQ-

Перед формулировкой леммы о декомпозиции напомним еще, что в соответствии с определением из [10] функция ф : C N называется p-медленно меняющейся , где р : C N ^ (0,1] — некоторая фиксированная функция, если имеется такая постоянная С g , что

| ф(z) — ф(w) | 6 С д при всех | z — w | 6 p(z).

Лемма о декомпозиции. Для любой (а, Р)-сильно допустимой тройки ф ₁ , ф ₂ , ф 3 psh p-медленно меняющихся функций, имеются такие С >  0 и r g , что

B(ф2) С С ^г“В(ф3) +   B(ф))   (Vr > rg), rβ где ^2(z) := ф2(z) — N+1 log(1 + |z|2), фк(z) := фк(z) + (N + 1)log 1+^, k = 1, 3. Другими словами, каждая функция f G В(ф2) при любом r > rg разлагается в сумму f = g + h двух целых функций, удовлетворяющих оценкам

| g(z) | 6 Cr ^a e ^ ³ ( z ) , | h(z) | 6 C e ^ ^{( z )} , z G C N -

C Утверждение леммы следует из леммы 2.1 работы [5] за счет процедуры перехода от интегральных оценок к равномерным. B

Весовые пространства Фреше целых функций задаются по убывающим последовательностям весов Ф = (ф _п ) П =1 равенством P (Ф) := ПП =1 E(ф _п ) и наделяются топологией, определяемой нормами ( | • | ^ _n ) П =1 . Мы будем предполагать, что Ф разделена функцией log ¹+( ZZ )|' , т. е. при некоторых постоянных C n > 0

ф n +1 (z) +log

1 + | z | ² p^{( z )}

^{6 ф} п ^{( z ) +} C n

n ∈ N, z ∈ C ^N .

В соответствии с [3, следствие 29.14] E обладает инвариантом Q (определение Q см. в [3, c. 368]) в том и только в том случае, когда

(Vр)(3q)(Vn)(3C> 0) Bq C rBn + C^Bp (Vr> 0), где Bs := {x E E : kxks 6 1} — единичный шар в E, соответствующий норме k • ks.

Теперь мы готовы сформулировать основной результат работы.

Теорема. Пусть упорядоченная по убыванию весовая последовательность Ф разделена функцией (1 + | z | ² )/p(z), состоит из p-медленно меняющихся psh-функций и для любого p ∈ N существует такое q ∈ N , что при всех n ∈ N тройка ϕ _p , ϕ _q , ϕ _n является (1/2,1/2)-сильно допустимой. Тогда P (Ф) обладает свойством Q.

C В самом деле, по лемме о декомпозиции имеются такие Ao > 0, C > 0 и —о > 0, что в(yq) с с(VrB(yn) + V^))’ r > r0.

В силу разделенности Ф функцией (1 + |z|2)/p(z) отсюда следует, что и для исходных шаров выполнено подобное условие:

( V р) ( 3 q)( V n) ( 3 A o , C,r o > 0) B(y q ) C C ( V rB(y n ) + V¹—B(У p )^ (r >  — o )•

Поскольку мы можем считать без ограничения общности, что n >  q > р , то B (y n ) C B(y _q ) C B (y _p ) . Поэтому, увеличив C должным образом, получим требуемое (см. выше) вложение

B(y q ) C rB(y n ) + —B (y p ), r >  0. ▻

Напомним еще, что пространство Фреше числовых последовательностей x = (X j ) ° =i E C N

∞              1 / 2

Л _г (a) := < x E C N : ||x k n := ( X lx j le ^2r n ^a j j    <  го ( V n E N)

j =1

где r _n f r <  го , a = (a j ) j =i — возрастающая последовательность положительных чисел, называется пространством степенных рядов конечного типа . Ясно, что орты образуют в этом пространстве абсолютный базис. Класс всех пространств степенных рядов конечного типа образуют пространства, изоморфные Л _г (a) ( r <  го ).

Следствие. Пусть Ф удовлетворяет всем требованиям теоремы и дополнительно из- вестно, что

( 3 n) ( V m) ( 3 k) ( 3 a E (0,1)) ( 3 C> 0) ay n (z) + (1 - a)y k (z) 6 y m (z) + C (z E C N ).

Тогда пространство P (Ф) является пространством степенных рядов конечного типа и, в частности, обладает абсолютным базисом.

C В самом деле, по теореме пространство P (Ф) обладает свойством Q , а условие (1) влечет в соответствии с результатами [8] наличие у него свойства ( DN ) . Остается применить предложение 29.18 из [3], которое утверждает, что класс пространств степенных пространств конечного типа образуют пространства, обладающие инвариантами Q и ( DN ) . B