Весовые пространства Фреше целых функций из класса степенных рядов конечного типа
Автор: Абанин Александр Васильевич, Сергунин Павел Сергеевич, Фам Чонг Тиен
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.15, 2013 года.
Бесплатный доступ
Изучаются весовые пространства Фреше целых функций, задаваемые весовыми последовательностями общего вида. Получены достаточные условия на веса, при которых они обладают топологическими инвариантами Фогта - Вагнера, и, таким образом, относятся к классу пространств степенных рядов конечного типа.
Весовые пространства целых функций, топологические инварианты
Короткий адрес: https://sciup.org/14318427
IDR: 14318427
Текст научной статьи Весовые пространства Фреше целых функций из класса степенных рядов конечного типа
В работах Д. Фогта [1] и М. Дж. Вагнера [2] (см. также [3, c. 368]) были введены классы пространств Фреше ( DN ) и (Q) , пересечение которых совпадает с семейством всех пространств степенных рядов конечного типа. Отсюда, в частности, следует, что все пространства, относящиеся к данному семейству, обладают базисом. Отметим, что принято также говорить, что пространства класса ( DN ) (или (Q) ) обладают топологическим инвариантом ( DN ) (соответственно (Q) ). Инварианты ( DN ) и (Q) и их модификации имеют важное значение при исследовании ряда задач анализа, когда требуется использовать топологические свойства весовых функциональных пространств (см., например, [4–8]). В работах [4, 7] было установлено, что к классу пространств степенных рядов конечного типа относятся весовые пространства целых функций, задаваемые весовыми последовательностями выпуклых функций специального вида. В [8] была предложена общая схема проверки наличия инвариантов ( DN ) и (Q) у весовых пространств голоморфных функций, основанная на исследованиях Ф. Хаслингера из [4]. Недостатком этой схемы, равно как и результатов из [4] и [7], является то, что используемый метод проверки свойства (Q) предполагает наличие нужного описания сопряженного пространства через преобразования Фурье — Лапласа функционалов и, таким образом, имеет достаточно узкую область применения.
В настоящей заметке предлагается применить для этой цели модификацию леммы о декомпозиции из работы [5], имеющую также и самостоятельное значение.
По непрерывной функции у : C N ^ R ( весу ) образуем банахово пространство
E (у) = ff Е H (C N ) : | f | , := sup ff^ < J .
Единичный шар этого пространства обозначим через B (у) . Как известно (см., например, [9, 10]), всегда можно считать, что ϕ — плюрисубгармоническая (коротко, psh-функция) в C N функция.
Пусть ф 1 , ф 2 , ф 3 - psh-функции в C N функции, причем ф 3 (z) 6 ф 2 (z) 6 ф 1 (z) при всех z G C N и ф к (z) — ^ k +i (z) ^ + ro при z ^ ro ( k = 1, 2 ). При фиксированных A , а и β положим
Q,3 A := {z G C N : ф 2 (z) < ф з (z) + аА},
Q ^A := {z G C N : ф 2 (z) > ф 1 (z) — вА}-
Ясно, что Q ,^ и Q ^A — относительно компактные открытые в C N множества.
Образуем максимальную psh-функцию uа,a,в в CN, которая не превосходит фз(z)+aA и ф1(z) — вА. Напомним, что и а , a, в — верхняя регуляризация функции sup |u(z) : и — psh в CN, u(£) 6 min {ф3(^) + aA, ф1 (£) — вА} (V£ G CN)|.
Из определения функции и а , a, в и множеств Q,’ 3A и Q^ A следует, что и а , а, в (z) 6 ф2 (z) в Q^A и в дополнении Q,’3A До всей плоскости. Назовем тройку ф1, ф2, ф3 (а, в)-допустимой, если Q^ A с q, а Ясно, что это необходимое условие того, что UA,a,в(z) может превосходить ф(z) в некоторых точках z. Назовем (а, в)-допустимую тройку (а, в)-сильно допустимой, если существует такие постоянные Ад > 0 и D > 0 и открытое множество Q^ а С Q С Q,’A, что при всех А > Ад ф2(z + w) 6 ua,a ’в(z + w) + D, |w| 6 1, z G dQ-
Перед формулировкой леммы о декомпозиции напомним еще, что в соответствии с определением из [10] функция ф : C N называется p-медленно меняющейся , где р : C N ^ (0,1] — некоторая фиксированная функция, если имеется такая постоянная С g , что
| ф(z) — ф(w) | 6 С д при всех | z — w | 6 p(z).
Лемма о декомпозиции. Для любой (а, Р)-сильно допустимой тройки ф 1 , ф 2 , ф 3 psh p-медленно меняющихся функций, имеются такие С > 0 и r g , что
B(ф2) С С ^г“В(ф3) + B(ф)) (Vr > rg), rβ где ^2(z) := ф2(z) — N+1 log(1 + |z|2), фк(z) := фк(z) + (N + 1)log 1+^, k = 1, 3. Другими словами, каждая функция f G В(ф2) при любом r > rg разлагается в сумму f = g + h двух целых функций, удовлетворяющих оценкам
| g(z) | 6 Cr a e ^ 3 ( z ) , | h(z) | 6 C e ^ ( z ) , z G C N -
C Утверждение леммы следует из леммы 2.1 работы [5] за счет процедуры перехода от интегральных оценок к равномерным. B
Весовые пространства Фреше целых функций задаются по убывающим последовательностям весов Ф = (ф п ) П =1 равенством P (Ф) := ПП =1 E(ф п ) и наделяются топологией, определяемой нормами ( | • | ^ n ) П =1 . Мы будем предполагать, что Ф разделена функцией log 1+( ZZ )|' , т. е. при некоторых постоянных C n > 0
ф n +1 (z) +log
1 + | z | 2 p( z )
6 ф п ( z ) + C n
n ∈ N, z ∈ C N .
В соответствии с [3, следствие 29.14] E обладает инвариантом Q (определение Q см. в [3, c. 368]) в том и только в том случае, когда
(Vр)(3q)(Vn)(3C> 0) Bq C rBn + C^Bp (Vr> 0), где Bs := {x E E : kxks 6 1} — единичный шар в E, соответствующий норме k • ks.
Теперь мы готовы сформулировать основной результат работы.
Теорема. Пусть упорядоченная по убыванию весовая последовательность Ф разделена функцией (1 + | z | 2 )/p(z), состоит из p-медленно меняющихся psh-функций и для любого p ∈ N существует такое q ∈ N , что при всех n ∈ N тройка ϕ p , ϕ q , ϕ n является (1/2,1/2)-сильно допустимой. Тогда P (Ф) обладает свойством Q.
C В самом деле, по лемме о декомпозиции имеются такие Ao > 0, C > 0 и —о > 0, что в(yq) с с(VrB(yn) + V^))’ r > r0.
В силу разделенности Ф функцией (1 + |z|2)/p(z) отсюда следует, что и для исходных шаров выполнено подобное условие:
( V р) ( 3 q)( V n) ( 3 A o , C,r o > 0) B(y q ) C C ( V rB(y n ) + V1—B(У p )^ (r > — o )•
Поскольку мы можем считать без ограничения общности, что n > q > р , то B (y n ) C B(y q ) C B (y p ) . Поэтому, увеличив C должным образом, получим требуемое (см. выше) вложение
B(y q ) C rB(y n ) + —B (y p ), r > 0. ▻
Напомним еще, что пространство Фреше числовых последовательностей x = (X j ) ° =i E C N
∞ 1 / 2
Л г (a) := < x E C N : ||x k n := ( X lx j le 2r n a j j < го ( V n E N)
j =1
где r n f r < го , a = (a j ) j =i — возрастающая последовательность положительных чисел, называется пространством степенных рядов конечного типа . Ясно, что орты образуют в этом пространстве абсолютный базис. Класс всех пространств степенных рядов конечного типа образуют пространства, изоморфные Л г (a) ( r < го ).
Следствие. Пусть Ф удовлетворяет всем требованиям теоремы и дополнительно из- вестно, что
( 3 n) ( V m) ( 3 k) ( 3 a E (0,1)) ( 3 C> 0) ay n (z) + (1 - a)y k (z) 6 y m (z) + C (z E C N ).
Тогда пространство P (Ф) является пространством степенных рядов конечного типа и, в частности, обладает абсолютным базисом.
C В самом деле, по теореме пространство P (Ф) обладает свойством Q , а условие (1) влечет в соответствии с результатами [8] наличие у него свойства ( DN ) . Остается применить предложение 29.18 из [3], которое утверждает, что класс пространств степенных пространств конечного типа образуют пространства, обладающие инвариантами Q и ( DN ) . B
Список литературы Весовые пространства Фреше целых функций из класса степенных рядов конечного типа
- Vogt D. Charakterisierung der Potenzreihenraume von endlichem Typ//Stud. Math.-1982.-Vol. 71.-P. 251-270.
- Wagner M. J. Quotienten von stabilen Potenzreihenraumen endlichen Typs//Manuscripta Math.-1980.-Vol. 31.-P. 269-301.
- Meise R., Vogt D. Introduction to Functional Analysis.-New York: Oxford Univ. Press, 1997.-448 p.
- Haslinger F. Weighted spaces of entire functions//Indiana Univ. Math. J.-1986.-Vol. 35, \No 1.-P. 193-208.
- Meise R., Taylor B. A. A decomposition lemma for entire functions and its applications to spaces of ultradifferentiable functions//Мath. Nachr.-1989.-Vol. 142.-P. 45-72.
- Tidten M. A geometric characterization for the property $(\underline{DN})$ of $\mathcal E(K)$ for arbitrary compact subset~$K$ of $\mathbb R$//Arch. Мath.-2001.-Vol. 77.-P. 247-252.
- Ахтямов Н. Т., Мусин И. Х. О существовании базиса в весовом пространстве целых функций//Уфимский мат. журн.-2009.-Т. 1, \No 1.-С. 3-15.
- Абанин А. В., Сергунин П. С. Топологические инварианты весовых пространств голоморфных функций и их приложения//Порядковый анализ и смежные вопросы мат. моделирования: тез. докл. междунар. науч. конф. (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.).-Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2013.-С. 40-41.
- Bierstedt K. D., Bonet J., Taskinen J.} Associated weights and spaces of holomorphic functions//Stud. Math.-1998.-Vol. 127.-P. 137-168.
- Abanin A. V., Pham Trong Tien. Continuation of holomorphic functions with growth conditions and some of its applications//Stud. Math.-2010.-Vol. 200, \No 3.-P. 279-295.