Влияние флуктуаций диаметра сердцевины многомодовых оптических волокон на передачу сигналов в маломодовом режиме

Задачи моделирования процессов,возникающих при распространении оптических сигналов по многомодовым оптическим волокнам (ОВ)в маломодовом режиме,в полном объеме возникли и были сформулированы в середине 90-х годов на стадии разработки стандартаIEEE 802.3z (Gigabit Ethernet)[1-2].Наиболее полно данное направление представлено в монографии [3]и публикациях авторов [4-10],непосредственно принимавших участие в разработке стандартов IEEE 802.3z и 802.3ae.Данные работы,в первую очередь, были ориентированы на теоретическое исследование эффекта дифференциальной модовой задержки (DMD – Differential Mode Delay)как основного фактора искажений сигналов,ограничивающих совместное применение лазеров и многомодовых ОВ.В частности, проявлений DMD в зависимости от условий ввода излучения выхода лазера в сердцевину ОВ и характерных дефектов градиентного профиля реальных воло-кон.Отдельное внимание уделяется имитационному моделированию процессов формирования,преобра-зования и обработки сигналов в передающих и приемных оптических модулях активного оборудования систем передач.Поскольку по стандарту IEEE 802.3z длина линии не должна превышать 500 м,а скорость передачи - 10 Гбит/С,в указанных работах,как пра-вило,пренебрегают взаимодействиями и смешением мод,обусловленными нерегулярной структурой ОВ, микро- и макроизгибами волокон.В отдельных случаях вводят поправочные коэффициенты и «штрафы»

по так называемому модовому шуму.Однако и здесь акцент делается в основном на перераспределении мощности между модовыми группами при прохождении оптического сигнала через соединения волокон/ патчкордов в распределительных боксах или оконечных устройствах коммутации.

Вместе с тем,в [5; 11-14]при сопоставлении данных экспериментальных измерений DMD на образцах ОВ и резервных волокнах линий передачи было выявлено,что в отдельных случаях взаимодействие и смешения мод в линии оказывают существенное влияние на характер искажений импульса,обусловленных DMD.Очевидно,что с увеличением скоростипередачи и протяженности линии данный эффект будет проявляться сильнее.

Еще одно направление,в связи с которым возникает необходимость учета взаимодействия и смешения мод в многомодовой оптической линии передачи при моделировании процессов распространения в маломодовом режиме – оценивание значений модовой задержки по результатам сравнения формы модельного и измеренного оптических импульсов.Так,еще в работе [15]была продемонстрирована возможность использования для этих целей метода WKB с последующим простым наложением составляющих сигнала.

Одна из наиболее существенных причин проявления связей модвОВ – изменениядиаметра сердцевины [1 6].Предлагаемая работа посвящена теоретическим исследованиям влияния данного фактора на характер искажений формы сигнала,распространяющегося по традиционным телекоммуникационным кварцевым слабонаправляющим многомодовым ОВ с градиентным профилем показателя преломления в маломодовом режиме передачи.

Решение задачи о длинном нерегулярном волново-де,параметры которого меняются вдоль его оси случайным образом,классическими методами в строгой постановке [17-23]требует значительных вычислительных ресурсов и труднореализуемо.Поэтому для приближенного описания такой волноведущей структуры использовали модель кусочно-регулярной линии передачи [21-23]с кварцевыми слабонаправляющими многомодовымиОВ сосесимметричнымградиентным профилем показателя преломления и одной внешней сплошной оболочкой на регулярных участках.Полага-ли,что волокна на границах регулярных участков соединены строго соосно.

Моделирование процессов распространения оптического излучения в такой линии требует выполнения расчетов параметров мод,включаягрупповуюскорость и коэффициент хроматической дисперсии,для каждого регулярного отрезка ОВ с градиентным профилем сложной формы,а также коэффициентов связи мод на каждом стыке таких регулярных ОВ.Учет сложной формы профиля (наличие дефектов по оси ОВ и т.п.) является обязательным условием при моделировании маломодового режима передачи многомодовой ВОЛП. При этом моделирование случайного характера флуктуаций диаметра сердцевины ОВ приводит к необходимости многократных вычислений указанных выше параметров.Как следствие,используемые методы расчета параметров мод в ОВ и их соединениях должны предъявлятьсравнительнонизкие требованияквычис-лительным ресурсам.

В данной работе был использован модифицированный метод приближения Гаусса,обобщенный на случай расчета параметров передачи направляемых мод произвольных порядков,распространяющихся в многомодовых ОВ с осесимметричным профилем показателя преломления произвольной формы и одной внешней сплошной оболочкой [24].Метод отличается относительно малыми погрешностями для ОВ с профилями достаточно сложной конструкции – в частно-сти,профилям реальных градиентных многомодовых ОВ,которые отличаются локальными дефектами и флуктуациями.При этом обеспечивается переход к аналитической форме записи выражений для базовых параметров передачи модовых компонентов сигнала,а также коэффициентов связи мод на границах регулярных участков,что существенно снижает время вычис-лениядажев случаеоценкихарактеристикмод высших порядков.

Приложение модифицированного приближения Гаусса в задачах моделирования линейного тракта кусочно-регулярной многомодовой ВОЛП

Приближение Гаусса базируется на аппроксимации полей мод волоконного световода с некоторым заданным профилем показателя преломления полями мод волоконного световода с идеальным неограниченным параболическим профилем показателя преломления [19]:

где R = r / a- – нормированный радиус; r – радиальная координата; R_o p₀ /a – нормированный радиус пятна моды; po – радиус пятна моды; – полином Лагерра; l и m – азимутальный и радиальные порядки моды LP _lm соответственно.

Указанная аппроксимация сводится к определению эквивалентного радиуса пятна моды R0 путем решения характеристического уравнения,которое выводится из вариационного выражения для посто- янной распространения,записанного для исследуемого слабонаправляющего волоконного световода с заданным профилем.Найденный параметр является в рамках данного приближения базовым и полностью определяет искомые характеристики моды.

В отличие от известных решений на основе приближения Гаусса [19; 25-29], ОВ с произвольным осесимметричным профилем показателя преломления рассматривается как волоконный световод с многослойным профилем показателя преломления. При этом профиль в интервале от центра сердцевины до внешней оболочки исследуемого волокна представляется в виде конечного числа N слоев,в пределах которых значение показателя преломления остается постоянным [23-24]:

-^?Уд Y ^ ^{+ q}V ^k'^P • УУ,]^ ^.pXR^N^"

^0 J <7=0

^p'-R?

(£ + l)²)²^;² ^и_ду^к^^Р

^{VV Л}0 J <7=0     p=0 P '^0 ^1N

nW=v’

0<^<^-l;

(/ + 777 - 1)!(3/ + 2/И-1)

(/>7-1)!

2/77—2                                2/77—2

+2/²^Dj7_{/ +} /-l)!-4/^q(6_{7 +} /)! ;

q=0                          q=0

n_N, 1 <  R< +co ,

а функция произвольного профиля может быть записана в следующем виде:

/7,

к       k-v\

N    N

0

1, 1 < R< +00,

, П0 ~Пк „    _ „ x — где ^k - 2   2 – параметр профиля; n0 – мак-

77O- - 77- симальное значение показателя преломления; nk – показатель преломления k-го слоя (k = 0; 1; 2 … N), при этом показатель преломления и функция профиля связаны следующим соотношением [19-23]:

772(^)=«о[1-2ЛЖ,

где A = (и₀² - Hn^tio – параметр высоты профиля; n_N – показатель преломления внешней сплошной оболочки.

Подобное представление профиля исследуемого ОВ позволяет в результате выполнения необходимых преобразований, подробно изложенных в [24], перейти от известной [19] интегральной формы записи вариационного выражения для квадрата параметра моды в сердцевине U²к аналитической, представляющей собой конечные вложенные суммы вида:

min(,m-l)

q         / j q \ m-A rq-p \ m-\ / p=max(0,^-m+l)

min(^,m-l)

c,= ^Lu^iq,,,,^1^

/7=тах(0,у-т+1)

^q V^m-A /’ ^q Wm-l / – коэффициенты полиномов Лагерра и ^т-\ , соответственно, определяемые из формулы явного выражения полинома Лагерра [30]:

У = kan₀ -JlA. – нормированная частота; к = 2л/2 – волновое число; X – длина волны.

В рамках общего алгоритма приближения Гаусса [19]базовый параметр аппроксимации – эквивалентный нормированный радиус пятна моды – определя-

ется путем решения характеристического уравнения

вида

8R0

В результате дифференцирования (5)с учетом (7)и выполнения необходимых преобразований характеристическое уравнение приводится к следующему виду:

1 \lm-2 l+q где S_o = ехр ^D_q^ \ ”() 7 9=0 Р=о

!/ + )'

р^У

связан c постоянной распространения p следующим известным соотношением [19-22]:

S_v = exp

к2

N²R²

TT2

p² =k²n² - — .         (11)

a

2 m-2 l+q PLDX q=0 pA)

V ⁺ + k¹” (e    ₂

p\R2p N2pVN2 °

Для оценки значения групповой скорости направляемой моды заданного порядка предлагается воспользоваться известным соотношением [19-22], предварительно переписанным относительно первой производной квадрата постоянной распространения:

S₂ = exp

^o

» 4^p\R2p N2p № Po

Таким образом, анализ многомодового слабонаправляющего волоконного световода с произвольным осесимметричным профилем показателя преломления, ограниченным одной внешней сплошной оболочкой, включает в себя выполнение следующих этапов. Предварительно профиль исследуемого ОВ задается в виде N слоев с помощью (2)-(4). Затем для моды заданного порядка LP_lmв результате численного решения уравнения (8) определяется нормированный эквивалентный радиус пятна моды R₀, который должен удовлетворять условию существования направляемых мод [19-22]:

_ Qcd _ lite QX _ ЛяРс дЛ _

Vg ”^p”-^T^p” x- ep1 ~

.                                        (12)

k-pc ax я ap2 ’ где co – угловая частота; c – скорость света в вакууме.

Далее в результате дифференцирования (1 1) выражение для первой производной постоянной распространения приводится к виду:

dp²    lk²n²_{| e} dn²   1 du²

ax x ax  a2 ax ‘

При этом в рамках предложенной модификации приближения Гаусса первая производная квадрата параметра моды в сердцевине,полученная в результате дифференцирования (5),имеет следующий вид:

knN < P< kn0,

(9а)

au2 ax

где P – постоянная распространения, и неравенству

2M 8R^ pV2_ Rl ax ax

(9б)

где ^O – нормированная мощность моды, переносимая в сердцевине ОВ [19]. Данный параметр в рамках приближения слабонаправляющего оптического волновода [19] с учетом (1)-(4) описывается выражением вида [31]:

^v’-xy^+v’-ypyvx-x.v

О A     ^₌q О A

(    1 \lm-l l+q где xW=exp -— ^D^

1) 7 9=0

—^ _n I P²P⁺³ ,=o p! л₍₎

2 m-2    l+q

к² n²r²

Подстановка R₀, удовлетворяющего (9а) и (9б), в выражение (3) позволяет оценить параметр моды в сердцевине U, который непосредственно

q=0     p=0

V+_qy. k'- r k¹ , p\R^2p+3 N²¹\N^{2 P}°

^_(/±ЛГЛ±1Г f (t + 1)² ^ ^!С⁺³N"^P ( N²

-pR«

В свою очередь, полученное в результате дифференцирования уравнения (8) и выполнения соответствующих преобразований аналитическое выражение, описывающее первую производную нормированного эквивалентного радиуса пятна моды, имеет следующий вид:

SR^

8Л

S,, +У

52 ^

0 UP 52    52

-2V2 • где k=0

62^2 _

₂ (Э²п² 6n²   4 8n² )   1 d²U² (17)

__ 1^    ______и । _

" ( 62²   2²   2 52 J a² 52²

а также повторного дифференцирования (14)и (15), можно получить выражения,связывающие параметр D с первой и второй производными квадрата параметра моды в сердцевине SU²/82, 5 ²U ²/5Х и нормированного эквивалентного радиуса пятна моды 8R_n /8Х, 8 ²Ro /8Л². Эти формулы достаточно гро-моздкие,имеют вид конечных вложенных сумм и представлены в полном объеме в работе [24].

Спектральную зависимость материалов сердцевины и оболочки кварцевых многомодовых ОВ предлагается аппроксимировать хорошо известной формулой Селлмейера [19-22].Однако и в этом случае выполняется переход к производным квадрата показателя преломления 8n²/8X ; 8 ²п²/8Л². Это существенно упрощает вывод выражений для производных параметров профиля – например, Aи ilk, а также нормированной частоты V.

Наконец, использование приближения Гаусса обеспечивает переход к аналитической форме записи коэффициентов связи мод [31]на границах регулярных участков через интеграл перекрытия полей падающей и возбуждаемой мод [32]:

N2R^ )

^ ^ ^uqyk2p

Z-i^qZ-i । nip+i

<7=o   p^P-¹'^Ao

^Прч Г (7+ рУУ + qy ^PP^PtU

SV1=exp

(^Л

x^ ^Uq^byV^ ^ “^ p\N2pRy+3

Аналогичным образом, переписав известное [19-22] выражение для коэффициента хроматической дисперсии относительно производных квадрата постоянной распространения:

2лс

2 -^ + 2^

52   52

2 a/?2

'- 1

8p2

\2

^лрс 2 52   62²2p² ( 62

в результате повторного дифференцирования (13):

r^p + q + I-k-l) | P2+P2 | I t'(p-k)r(q-k)k'.\vp2-p2 J ’ где p и q –радиальные порядкипадающей ивозбужда-емой моды соответственно; Pp И Pq – радиусы пятна моды p и q соответственно; Г – гамма-функция.

Таким образом,предложенная модификация приближения Гаусса позволяет реализовать модель линейного тракта кусочно-регулярной многомодовой ВОЛП во временной области.Волокно разбивается на регулярные участки,в пределах которых параметры световода остаются постоянными.Предполагается, что каждая направляемая мода,возбужденная источником излучения (или падающей на границу регулярного участка модовой компонентой сигнала),пере-носит оптический импульс гауссовой формы.Также предполагается,что в пределах регулярного участка отсутствуют процессы взаимодействия и смешения

мод.Сигнал претерпевает искажение за счет разброса значений групповых скоростей модовых компо-нентов,или,иными словами,благодаря проявлению DMD.Кроме того,за счет хроматической дисперсии происходит увеличение длительности импульса,пе-реносимого каждой возбужденной направляемой мо-дой,распространение которой поддерживается на заданном регулярном участке ОВ.Перераспределение мощности внутри модового состава сигнала за счет нерегулярной структуры реального ОВ учитывается путем оценки значений коэффициентов связи мод на стыках регулярных участков.Следует отметить, что в рамках данной работы рассматриваются только направляемые моды,представляющие наибольший интерес с точки зрения исследования динамики импульса в нерегулярном многомодовом ОВ.Тем не ме-нее,потери мощности сигнала за счет преобразования направляемых мод высших порядков в вытекающие, а также на отражение фактически учитываются при расчете коэффициентов связи на стыках регулярных участков.

Результаты расчета

Теоретические исследования влияния флуктуаций диаметра сердцевины на характер искажения формы передаваемого в маломодовом режиме сигнала были выполнены для двух образцов кварцевых многомодовых ОВ 62,5/125.Распределение значений показателя преломления задавалось в соответствии с протоколами измерения профилей реальных ОВ,воспроизве-денных на рис.1.Образцу «1» соответствует слабый центральный дефект,в то время как для образца «2», напротив,характерны высокие значения радиуса и глубины провала,а также флуктуации профиля в центральной области сердцевины.

Рассматривалось распространение оптического импульса гауссовой формы исходной длительности 200пС,возбуждаемогоисточникомVCSEL надлине волны X = 850нмиширинойспектраизлучения лл=1нм, по указанным образцам многомодовых ОВ протяженностью 500 м каждый.Ввод сигнала в сердцевину ОВ с выхода VCSEL осуществлялся в условиях осевого смещения d = 2мкм,при этом,согласно [33-34],ис-ходный импульс содержал следующие пять модовых компонентов: LPо!, LP02, LPп, LP12, LP21, LPа.

Длина регулярного участка для обоих образцов волокон выбиралась равной 5 м.В работе [16]было по-казано,что флуктуации диаметра сердцевины вдоль продольной оси многомодовых ОВ подчиняются нормальному закону распределения.Предполагалось,что форма профиля при изменении диаметра сердцевины остается неизменной.Параметры профилей,задава-лись в интервале r = 0 … a с помощью 120 точек.В качестве среднего значения использовались исходные данные,представленные на рис.1,а дисперсия выбиралась равной 3,75·10-4.Аналогичным образом задавались флуктуациидиаметра сердцевины ОВ:среднее значение соответствовало номинальному диаметру 62,5 мкм,дисперсия принималась равной с<1 = 1 мкм и 0,1 мкм.При этом полученные значения не выходили за границы удвоенного максимально допустимого отклонения диаметра от номинального,которое для подавляющего большинства многомодовых ОВ,со-гласно спецификациям [35],не превышает ±3 мкм.

Анализ регулярных многомодовых волоконных световодов,составляющих модельные образцы ОВ, с помощью модификации приближения Гаусса по-казал,что максимальное значение радиального порядка направляемой моды, удовлетворяющей условиям (9а)и (9б),не превышает m = 6 как в случае c_d = 1 мкм, так и rf = 0,1 мкм для обоих образцов ОВ.Соответственно,последующий расчет параметров передачинаправляемыхмоддлякаждогоизрегулярных участков,включающий в том числе оценку групповой скорости и коэффициента хроматической дисперсии, проводился для мод LP_l1…LP_l6,где l = 0 … 3.

Рис. 1. Профили показателя преломления исследуемых образцов градиентных многомодовых ОВ 62,5/125

На рис.2представлены результаты расчета диаграмм динамики возбуждаемого при указанных условиях оптического импульса при его распространении по образцам ОВ «1» и «2» длиной 500 м для разной степени флуктуации диаметра сердцевины.На рис.3 приведены модельные формы сигналов на выходе ВОЛП с многомодовыми ОВ «1» и «2».

Сравнительный анализ полученных результатов по-казывает,чтов обоих случаях формы сигналов,постро-енные без учета нерегулярности ОВ и,соответственно, с учетом процессов взаимодействия и смешения модовых компонентов,различаются достаточно сильно.

L, km

L km

Рис. 2. Диаграммы распространения сигналов

При этом для образца «2» с более ярко выраженными дефектами профиля показателя преломления отмеченное расхождение проявляется сильнее. С точки зрения сравнения формы импульсов, полученных для разных значений параметра СГд, для ОВ «1» наблюдается практически полное совпадение, в то время как для волокна «2» можно зафиксировать не только отличие амплитуд модовых составляющих, но и появление дополнительной компоненты сигнала.

Рис. 3. Формы импульсов на выходе образцов ОВ «1» и «2» длиной 0,5 км для разных значений СКО

Заключение

В работе представлены результаты исследований влияния степени флуктуаций диаметра сердцевины ОВ на характер искажений сигнала в многомодовой ВОЛП, работающей в маломодовом режиме, с учетом DMD, хроматической дисперсии мод высшего порядка и связей модовых компонентов. Предложена модель кусочно-регулярной многомодовой ВОЛП, в основе которой расчет параметров передачи направляемых мод на каждом регулярном участке осуществляется с помощью предложенной модификации приближения Гаусса, обобщенной на случай анализа слабонаправляющих многомодовых ОВ с произвольным осесимметричным градиентным профилем показателя преломления, ограниченным одной сплошной внешней оболочкой. Метод обеспечивает низкую погрешность вычислений характеристик направляемых мод произвольного порядка при сравнительно низких требованиях, предъявляемых к вычислительным ресурсам. Так, время вычисления параметров 24 мод LPlm (l = 0 … 3; m = 1 … 6) на каждом из 100 регулярных участков, составляющих ОВ длиной 500 м при задании профиля с помощью 120 точек и последующем построении диаграммы распространения сигнала не превысило 15 мин. (Intel® Pentium® M740; 1,73 ГГц; RAM 512 Мб).

Исследования были выполнены для двух образцов многомодовых ОВ, отличающихся параметрами дефектов профиля показателя преломления. Показано, что изменение диаметра сердцевины ОВ оказывает наиболее существенное влияние на искажение формы импульса при его распространении в ОВ с сильным проявлением DMD, которое обусловлено наличием значительных технологических дефектов профиля показателя преломления. Напротив, для более «качественного» образца ОВ со слабо выраженным центральным провалом профиля существенных расхождений между формой импульса на выходе ВОЛП для разных значений параметра не наблюдалось. В то же время для обоих образцов волокон были выявлены значительные расхождения между формой сигналов, построенных без учета нерегулярности ОВ и, соответственно, с учетом процессов взаимодействия и смешения модовых компонентов. Как и в предыдущем случае, у образца с более сильно выраженным дефектом профиля расхождение больше.