Влияние неоднородности пород на устойчивость стенки скважины

Одним из факторов, приводящих к разрушению стенок скважины, является заполнение пор породы промывочной жидкостью, что приводит к ослаблению стенок скважины за счет снижения модуля Юнга горных пород. Проведенные эксперименты доказывают, что модуль Юнга горных пород после контакта с промывающей жидкостью снижается в 2-3 раза.

Под действием внешних сил скелет пористого тела деформируется, а объем пор со временем изменяется, что приводит к изменению удельной массы жидкости. Ниже мы докажем, что физические свойства пористого тела зависят от удельной массы жидкости в его порах. Таким образом, изменения объема пор с течением времени приводят к деформациям, которые являются функцией времени. Когда

такие деформации обратимы (при малых напряжениях), их называют вязкоупругими деформациями. Теперь получим формулы для введенных физических свойств двухфазных сред.

Примем следующие обозначения. Объем пористого тела – V; объем скелета – Vs; объем жидкости в порах - ^; масса скелета - m_s; масса полимера, поры которого заполнены жидкостью - m; масса жидкости в порах - т_ж; плотность материала скелета - p_s ; плотность полимера, поры которого заполнены жидкостью – ρ ; плотность поровой жидкости - р_ж. Три из этих девяти величин - V, m и m_s можно измерить напрямую. Известны два р_ж и p_s . Остальные величины можно определить через эти три величины следующим образом;

т_ж =т — m s

тж

ж

У ж

Р ж

v-vs

Р ж

Vs = V — Vж

Р m _s_ m _s

^S Vs V-Уж

Из (1) т_ж+m s =m

отсюда

^mi ₊^m£_ j m  m

Если умножить каждую сторону (5) на площадь поперечного сечения S:

^s + ^s = s m   m

Первая слагаемая в левой части этого

уравнения

–

это площадь поперечного

сечения столба жидкости, а вторая слагае-

мая

–

площадь поперечного сечения

скелета.

Теперь получим выражение для приведенного модуля Юнга полимера, поры которого заполнены жидкостью. Как известно, при одноосном растяжении закон Гука имеет вид;

8 = -; а = - ; 8 =—

Е       S      SE

Здесь E — модуль Юнга, σ — растягивающее напряжение, F – растягивающая сила, а ε — относительное удлинение.

При сжатии стержня деформации сжатия столба жидкости в его скелете и порах равны между собой, то есть e_s = £_ж, тогда

T s _  Тж

^Ss ' ^Es    ^Sж ' ^Eж

Здесь T_s и Т_ж - сжимающие силы, действующие на поперечное сечение скелета

и поры соответственно, S_s, E_s и S_ж, Е_ж

–

площади поперечного сечения скелета и

жидкости соответственно и модуль Юнга. С другой стороны, сжатия как скелета, столба жидкости, так и общего элемента равны друг другу, т.е.

T s ₌   Тж  ₌   Ts +Т ж

^Ss^Es   ^Sж ' ^Eж    ( ^Ss^+Sж ) ^Eп

Здесь Е_п — приведенный модуль Юнга. Из последнего уравнения

Ег =

m s E s +m i E i m

Таким образом получили формулу определяющий модуль Юнга для двухфазный среды.

Следующие выражения могут быть получены для приведенного модуля

скольжения G_n, коэффициента Пуассона - v_n, предела прочности - а_п, ядра ползучести - К_п, ядра релаксации - Г_п, полученных по аналогичному способом.

G п	m s G s +m ж G ж
	=-------
	m
V п	msvs+m w V w
	—
	m
° п	ms G sт+mж 'G жт
	=--------
	m
К п	m s K s +m ж ■K ж =-------
	m
Г п	msГs+mжГж =------
	m

G

п

msGs

m

Es

Учитывая, что m=m s +m ж и (E =----- ,                           ^S 2(1+v_s)

тогда из (15)

m.

Ga =---S—

y  ms + тж

■

Es 2(1 + Vs)

Как видно из этой формулы, с увеличением массы жидкости в порах модуль скольжения уменьшается, но модуль скольжения зависит не от механических свойств жидкости или газа,

заполненных порами, а от механических свойств скелет. Учитывая, что т = m_s + т_ж в уравнении (9), получаем для Е п ;

Е п

т $ ^ £ +т ж & ж (m_s+m^

Поскольку объем каркаса при деформа- величину в (15) и взять производную от Е п ции невелик, а объем пор сильно меняется, по т_ж;

то если рассматривать т_ж как переменную

17 '    ^ms⁽ E ж Es)

^Е п

(m s +т ж )²

Как видно из (16), Е'п положительна, когда Е_ж> E_s , а Е П отрицательна, когда Е_ж< E_s. Это означает, что независимо от массы жидкостей в порах, когда модуль Юнга жидкости больше модуля Юнга скелета, приведенная модуль Юнга

увеличивается с увеличением массы жидкости и, наоборот, уменьшается с ростом массы жидкости.

Если жидкость в порах полимера несжимаема, г_ж = 0.5. В данном случае из (11).

m_sv_s+m_ж . 0.5 m s +т ж

Из физических свойств материала коэффициент теплового расширения а и

удельная теплоемкость c определяются следующим образом.

^а п

^ п

m_sx_s+m_жx_ж m s +т ж m s C s +т ж С ж m s +m ж

Постановка и решение задачи

Рассмотрим напряженное состояние скважины с учетом неонородности горных пород и определим гидроразрывное давление.

Выражение (15) определяющий модуля Юнга двухфазной среды можно показать следующим виде

Е п

^Es^Vs⁺ ^ ж ^ ж V s +У ж

В уравнениях (10)-(14) величины с индексом s относятся к скелету, а величины с индексом ж — к жидкости. Поскольку жидкости и газы принимают форму сосуда, в который они налиты,

модуль скольжения жидкостей и газов можно принять равным нулю. Тогда уравнение (10) принимает следующую картину.

где Еп — приведенный модуль Юнга двухфазной среды,   Es —модуль Юнга твердой фазы-скелета, Еж — модуль Юнга жидкой фазы, Vs — объем твердой фазы, Уж —объем пор.

Известно, что коэффициент пористости е0 породы определяет нижеследующий выражение.

^e 0

V ^v ж

V где V = Vs +Vж

Тогда (20) примет вид;

E_n = E s + Uh — Es)e o

Аналогично для приведенного коэффициента Пуассона Vn получим выражение

Vn = Vs + (1^ — Vs)eo где                              Vs, 1ж — коэффициенты Пуассона соответственно твердой и жидкой фазы.

Известно, , что процесс бурение проводится под давлением создаваемое столбом бурового раствора, которое называется гидростатическим Р гс , и определяется следующим образом;

Р гс =ρgН.

где Н —глубина бурения.

Для предотвращения поступление пластового флюида в скважину гидростатическое давление должно быть больше пластового. Необходимая плотность бурового раствора при известном пластовом давлении определяется по формуле

р=P^

где A P - избыточное давление, которое необходимо для превышения давления над пластовым.

■т^ + “ (^ — ^«р) = 0 dr г^'      'Г'

Нормативно установлено, что это превышение должно составлять 10% от пластового, но не более 1,5 МПа.

Уравнение равновесия приствольной части скважины имеет вид;

где стг, Ст' - соответственно радиальный и тангенсиальный компоненты вектора напряжения.

В рассматриваемом случае обобщенный закон Гука имеет вид;

° г _а ²-ь^{2 (а£} г ⁺ ^^£ ' ) ° ' = _а 2 _-Ь 2 ⁽^^£ г ^{+ а£} ф )

где £_г и £ ' —соответственно радильный и тангенсиальный компоненты относительной деформации, а = 1 — V 2 , ^ = V n +V ² .

Известно, что выражения определяю щих зависимость относительных дефор мации от перемещений имеют вид;

du\ ^Er = dA u ( ^£

=~)

Если учесть(25) в (24) получим;

°r = vv =

Еп a²-b²

E_n a²-b²

№+bu)} №+“^

Если учесть (26) в (23) получим следующее дифференциальное уравнение второго порядка относительно перемещения и ;

d2u ^ 1 du dr2 r dr

-

u

r2

Общее решение уравнения (27 ) имеет вид ;

и = C1r^-1+ C₂r                             (28)

если учесть (28) в (26) получится;

^E^-°^ra2-b2 ^s— °^ a²-b²

[(a + b^Cz - (a - b) ^D [(a + ^b)C2 + (a-b) ^2]j

где C1, C₂- постоянные интегрирования, которые определяются из нижеследующих граничных условий:

при r = r0    or = -Ргс — при r= T1  ffr= —Рпл

△Р j

граничных условий (29) можно определить C1, C₂;

C1

C2

^^^ ГР++ Р-- р)^}

^En^(r0^+ri )

^: — _c ^-^у (ТоРк + Т^Рпл) Eg(ro^+ri)   0 гс    ¹пл

)

Для перемещения получается следующее выражение;

U = „ (а^2' (Ргс + РР — Рпл)ТоТ^ ¹ — ^(аЬ₂. (Т_О²Р_ГС+ Т^Р_пл)т        (32)

E_n(r'2+r1')   ^гс            пл; 0 1 r   E_g(r2+rl) ^{4 0 гс     1}пл;                 /

Таким образом напряженно-деформационное состояние определится так;

■ 1

du

Er = — ^rdr

u

^£& = r

^-( [-(Р, + РР- Рпл)(а + ЬУ^~ (т₀²(Р_гс + РР) + т?Рпл)(а - b ТТ^[(Ргс + РР- Рпл)(а + ^^21- (т^Р_гс + РР) + т2Рпл)(а - b)] ^Еп⁽'0⁺'1^{) L 1 J}

Or ⁼ «Ьа[- ^(Ргс + ^ДР> + ^Г‘^Р"⁾ — (^ргс + №- Рпл^]

}

Оф = 3^ [—(Г° (Р" + "P> + ^л) + (РгС + ^P — P"^ ^1

Известно, что условие разрушения для тела находящегося под действием внешних сил имеет вид;

оГ + о² = 2е£т                           (35)

где Опт - приведенный предел прочности, который определяется так;

^пт   °5т ⁺ (°жт  ^$т)^0

где a_ST, Ож_т пределы прочности составляющих двухфазной среды.

Разрушения стенки скважины возникает при г = г₀. Поэтому определим напряжения и деформации при г = г₀;

о_г = -Ргс — ДР         ]

^, = а(Р_гс + ДР)-2^Рп_Л[                     ⁽³⁶⁾

Учитывая, что радиус пласта г1 по сравнению с радиусом скважины г₀ слишком велик, то значения а и /? можно принять таким образом

²                 Г? A-Y?

Где а =     « 1, /? = ^ ~ 1 .

г?^-г?             Г?—Г?

Если (36) учесть в (35) получим квадратное уравнение относительно

Ргс + ДР;

(Ргс + ДР)²- 2(Ргс + ДР)Рпл + 2Рп²л = От              (37)

Решение уравнения (37) имеет вид;

Ргс + др = Рпл ± Т^пГ-РЛ                   (38)

Для сушествования действительных решений уравнения (37) необходимо выполнение следующего условия;

О-пт - Рпл ^ 0

Для любого породы продуктивной пласта это условие выполняется

Рпл < Опт   ₍_________                      (39)

Учитывая (22)       ДР = Р_пл + 70^^-^ —РвН          (40)

Таким образом получено формула определяющее критическое значение избыточного давление при данной пластовом давлении. Это необходимо для безопасное бурения нефтегазовых скважин.

Выводы:

• 1.    Получены выражения для механических характеристик полимеров, поры которых заполнены жидкостью.

• 2.    С увеличением массы жидкости в порах модуль сдвига уменьшается.

• 3.    Теоретически доказано, что когда модуль Юнга жидкости в порах больше модуля Юнга скелета, то приведенный модуль Юнга увеличивается с увеличением массы жидкости, и наоборот, когда модуль Юнга жидкости меньше, чем у скелета, она уменьшается по мере увеличения массы жидкости.

  увеличивается с увеличением массы жидкости.

  5. Получено формула определяющее критическое значение избыточного давление при данной пластовом давлении с учетом неоднородности пород. Это необходимо для безопасное бурения нефте-газовых скважин.

  
  

• 4.    При заполнении пор несжимаемой жидкостью коэффициент Пуассона всегда