Влияние околососудистой среды на механические свойства артериальной стенки
Автор: Соколов А.В.
Журнал: Российский журнал биомеханики @journal-biomech
Статья в выпуске: 2 (28) т.9, 2005 года.
Бесплатный доступ
Исследовано влияние околососудистой среды (мускульной и соединительной тканей) на механические свойства здоровой сонной артерии в нормальном физиологическом состоянии. Вычисления проведены на примере сонной артерии кролика. Артерия представляется как двуслойный толстостенный цилиндр под действием кручения, растяжения и раздувания. Используется модель анизотропного несжимаемого нелинейно упругого материала. Предполагается, что артериальный сосуд окружен упругой средой, имеющей свойства винклеровского основания. Получено в квадратурах аналитическое представление компонент тензора напряжений. Проведен сравнительный анализ околососудистых сред с различной степенью жесткости.
Короткий адрес: https://sciup.org/146215828
IDR: 146215828
Текст научной статьи Влияние околососудистой среды на механические свойства артериальной стенки
В настоящее время существует множество моделей механических свойств стенок артериальных сосудов (как в рамках линейной изотропной, так и нелинейной анизотропной теории упругости [1]), достоверно приближающих свойства реальных объектов [2-6]. Достаточно полные обзоры таких моделей приведены в работах [7] и [8]. Но еще не получила широкой известности ни одна модель, в которой бы учитывалось воздействие околососудистой среды на напряженно-деформированное состояние стенки сосуда.
Целью данного исследования является построение теории напряженно-деформированного состояния стенки артериального сосуда с учетом воздействия околососудистой среды на основе наиболее полной и достоверной на данный момент модели механического поведения артериальной стенки, предложенной в [8].
Артерия представляется как двухслойная толстостенная трубка, состоящая из двух слоев: media (средний слой артерии) и adventitia (наружный слой). Это - главные механически важные компоненты здоровой артерии. Третий слой (intima) не рассматривается.
Каждый слой образован неколлагеновой матрицей, которая рассматривается как изотропный материал, и двумя семействами коллагеновых волокон, спиралевидно закрученных вдоль артериальной оси и расположенных симметрично относительно нее
(но с разной ориентацией в двух слоях). Эти волокна порождают анизотропию в механическом смысле.
Так как артериальные ткани не изменяют свой объем в пределах физиологического диапазона деформаций, с точки зрения механики они могут рассматриваться как несжимаемые материалы.
Модель и методы
Артерия представляется как двухслойный нелинейно-упругий полый цилиндр с винтовой анизотропией, содержащий дисклинацию (рис.1). Рыхлая волокнистая соединительная и мышечная ткани, окружающие сосуд, моделируются упругой средой, обладающей свойствами винклеровского основания [5, 6]. Цилиндр подвержен деформации растяжения, раздувания и кручения. Рассматривается случай, когда внешняя среда сопротивляется только радиальным перемещениям стенки сосуда.
Деформация цилиндра задается соотношениями:
R = R(r),
< Ф = Кф + ф Z,
Z = к z.
г0 < г < г2, 0 < ф < 200°.
Здесь г, ф, z - цилиндрические координаты отсчетной конфигурации, R, Ф, Z - цилиндрические координаты текущей конфигурации.
Соответственно, тензор градиента деформации представляется в виде [1]:
C = R'ereR + —к ефеф+^ф е2еф+Хе2е2. (2)
Г
Здесь qs - материальные криволинейные координаты; QM - пространственные криволинейные координаты; г5 - векторы взаимного материального базиса в

Рис. 1. Представление артерии как двухслойного цилиндра
отсчетной конфигурации; RM - векторы материального базиса в текущей конфигурации; ег, еф, ez - орты, касательные к координатным линиям цилиндрических координат г, ф, _z; eR, еф, ez - орты, касательные к координатным линиям цилиндрических координат.
Кроме того, имеют место следующие соотношения:
eR = ег со8(Ф-ф) + еф зт(Ф-ф), еф = -ег зт(Ф-ф) + еф соз(Ф-ф), ez=ez-
Мера деформации Коши имеет вид:
Компоненты тензора градиента деформации в смешанном базисе и компоненты меры деформации Коши в базисе отсчетной конфигурации цилиндрической системы координат являются функциями только радиальной координаты г.
Материал цилиндра считается анизотропным и несжимаемым. Функция удельной потенциальной энергии деформации представляется выражением [8]:
где Z4y =AlyoG, Z6y=A2yoG, Z^trG, А1у=а1уа1у, А2у=а2уа2уи
О
aU =
COS р у ^ПУ
а2у -
COSpy
,"™1У
где у = А,М (адвентиция и медиа, соответственно). Углы ру в (4) характеризуют наклон коллагеновых волокон (см. рис. 1).
Таблица 1
Материальные и геометрические данные для сонной артерии кролика [8]
Материал |
Геометрия |
|
Медиа |
См = 3 кПа кхм = 2,3632 кПа к2М =0,8393 |
Нм = 0,26 мм ₽л/=29° г0 = 0,71 мм |
Адвентиция |
СА = 0,3 кПа кХА = 0,5620 кПа к2А =0,7112 |
Нм = 0,13 мм Рл/=62° г2 =1,1 мм |
Так как все формулы и преобразования абсолютно идентичны для обоих слоев, индекс j в дальнейшем будем опускать.
Представив тензор напряжений Пиолы в виде разложения по двойному базису
D — DrRQrQR + Вгфе геф + DrZ6rez + Оф^СфС^ + 7)ффефеф
■^О^е^ф + DzRezeR + DzOe2eo + DzZezez, уравнения равновесия v преобразуем к следующей скалярной форме, dDR dD zR ^rR ^^Ф p. a or oz r
<Фгф 1 дВ^ф 5В2ф D^r - Вгф ,
--1----1---1--- dr r d(p dz r
^+l^^tlD,z=0.
dr r d(p dz r
Эти уравнения следует дополнить граничными условиями на внешней и внутренней поверхностях сосуда.
Действие на внутренней поверхности сосуда кровеносного давления эквивалентно приложенной распределенной нормальной нагрузке. Соответствующее граничное условие представляется в виде
^'^д|
'Г = Гд где / - интенсивность давления на единицу площади деформированного тела.
Граничное условие на внешней поверхности представляет свойства околососудистой среды
=^№-1)
V г J
где к - безразмерный коэффициент, характеризующий свойства упругого основания. Из условия несжимаемости имеем
RW-Jno+Ar^-rd), (9)
V КЛ где R0=R(r0) - внутренний радиус сосуда после деформации.
Воспользуемся определяющими соотношениями вида [1]: dW 1
Р = 2—-pG-1, (10)
где р - функция гидростатического давления в несжимаемом материале, не определяемая через деформацию и являющаяся функцией только радиальной координаты г.
Из формы функции энергии (4), определяющих соотношений (10), формулы
D = P С,
(И)
и ограничений, наложенных на функцию р, следует, что компоненты тензора напряжений Пиолы, которые имеют вид
DrR=^-^—pG;^R', V °Grr )


dW
dW
^G^
"PG^

SIT dGzz
-pG^ R\y, J
0^2 =
SW
dG(pZ
-pG^
К
^ 6W
< 5GZZ
"PG^ X, )
являются функциями только координаты г.
Поэтому два из трех уравнений равновесия удовлетворяются тождественно, а третье принимает вид:
dDrR ,DrR ^фФ D _q
—-— +--V £>2ф - и dr г
Из решения системы, включающей в себя краевую задачу dDrR , DrR "^ФФ D _0 —— +--V и2Ф - и= dr г
(14.1)
П» -Ск^ 1)
urR ~ ^Ак--1
Г = Г1 V Г )r = r. ■ и граничное условие на внутренней поверхности
R'D^ = -f, (14.2)
r = r0
находятся внутренний радиус цилиндра в деформированном состоянии Ro и функция гидростатического давления в несжимаемом материале p^Y Функции Dy^rY входящие в уравнение, являются кусочно-непрерывными функциями вида
^•И =
Dy Физиологическое состояние сосуда характеризуется значениями параметров / = 13,33 кПа и Х = 1,7. Результаты и обсуждение Упругий материал, задаваемый функцией энергии (4), хотя и обладает винтовой анизотропией, не проявляет эффекта взаимодействия крутильных и радиальных деформаций. Это означает, что при у = 0 в цилиндре отсутствуют касательные напряжения D^, Вгф, DzR, DrZ. Таким образом, задача о раздувании и осевом растяжении цилиндра отделяется от задачи кручения. Кручение будет возникать, только если на его торцах действует крутящий момент. Численное решение задачи проведено в отсутствии кручения цилиндра (у = 0). В результате получены графики распределения нормальных напряжений для различных значений параметра нагружения X и коэффициента к (рис.2, 3). Анализ качественных различий в распределении напряжений для различных X показывает, что в окрестности физиологического состояния основной вклад в механические свойства стенки сосуда вносит медиа. При увеличении растяжения становится более существенным вклад адвентиции. Причем упругие свойства адвентиции оказывают более заметное влияние на напряжение DzZ, чем на два других. При X = 1,9 максимум DzZ в адвентиции превосходит максимум в медиа примерно в два раза. Таким образом, можно сказать, что внешний слой сосуда предохраняет его от разрыва при растяжении. Это полностью соответствует данным, полученным опытным путем [7, 8]. ^rR [кПа] цилиндра для различных к = 10 к = 100 Рис. 2. Распределение нормальных напряжений по радиусу значений коэффициента к при X = 1,7 —к-0 I1™1 -------к = 10 -------к = 100 Рис. 3. Распределение нормальных напряжений по радиусу цилиндра для различных значений коэффициента к при X = 1,9 Таблица 2 Уменьшение напряжений во внутренней стенке сосуда в процентном отношении к состоянию к =0 _________________(абсолютные величины)_________________ X = l,7 X = l,8 X = l,9 £=10 D,r 2,22 0,12 1,6 D фф 4,85 2,43 4,66 DzZ 4,44 2,22 4,24 £=100 D,r 2,76 1,37 3,76 °ФФ 25,36 25,07 31,05 DzZ 23,34 23,04 28,45 £=200 DrR 3,51 5,5 8,384 D A фф 50,64 56,25 66,34 DzZ 46,9 52,26 61,68 Заключение Известно, что причиной разрушения внутренней поверхности сосуда, а также возникновения атеросклероза является повышение уровня напряжений во внутреннем слое стенки сосуда. Представляет интерес исследовать влияние жесткости околососудистой среды на напряженно-деформированное состояние во внутренней стенке сосуда. Из сравнения значений напряжений видно, что учет влияния внешней упругой среды приводит к уменьшению расчетных значений нормальных напряжений во внутренней стенке сосуда (табл. 2). Можно также отметить, что наличие упругого основания приводит к увеличению значений радиальной компоненты DrR во внешней стенке сосуда, в то время как значения окружной Р и осевой DzZ компонент уменьшаются. Изучив влияние величины коэффициента жесткости внешней среды на значение напряжений, можно сделать вывод, что значения к, соответствующие свойствам реальной околососудистой среды, лежат в интервале (8, 120). Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 05-01-00638-а и Международного совета по научным исследованиям и обменам (IREX). Автор выражает сердечную благодарность профессору Л.М. Зубову за пристальное внимание к работе и помощь в ее выполнении.