Влияние особенностей конструкционного демпфирования на нелинейные колебания виброзащитных систем

Рябков Алексей Леонидович аспирант случае, нелинейную геометрическую форму. Указанные обстоятельства позволяют выявить вид основных определяющих критериев подобия и с помощью методов теории подобия и анализа размерностей экспериментально определить обобщенные деформационные характеристики (УГХ) для изучаемого класса СКД.

Обычно УГХ устройств получают при их циклическом деформировании. Найденные при этом семейства петель гистерезиса преобразуют к обобщенному (безразмерному) виду с помощью афинных преобразований координат нагрузка-деформация. Причем для описания процессов деформирования произвольного нагружения СКД, свойственного переходным процессом неустановившихся колебаний ВС, определяют виды нелинейных преобразований процессов нагрузки и разгрузки петель гистерезиса, а также условия их сшивки в точках смены знака скорости деформации [2, 3]. При наличии полученных таким образом данных об УГХ устройств несложно получить известными численными методами (Рунге-Кутта и др.) решение дифференциального уравнения движения ВС, обладающее свойством точного. Последнее особенно важно при проведении поверочных расчетов динамических характеристик ВС.

Заметим, что при гармоническом возбуждении ВС переходные процессы неустановивших-ся колебаний, благодаря высокой степени конструкционного демпфирования, быстро затухают, а установившиеся в дальнейшем колебания определяются особенностями циклического деформирования СКД. Следовательно, при теоретическом исследовании квазигармонических установившихся колебаний ВС можно воспользоваться математическим описанием семейств петель ги- стерезиса СКД. Оно должно достаточно полно и просто отображать важнейшие особенности УДХ устройств, связанные с нелинейностью их упругих и неупругих составляющих.

Представим описание контуров симметричных петель гистерезиса суммой двух функцией:

Ф(s, х, А) = Ф_у( х, А) + Ф_m(s, х, А), (1) где X, X , А — соответственно, скорость, перемещение (деформация) и ее амплитуда;

Фу=0,5(Ф1 + Ф2);Фm=0,5(Ф1- Ф2) - соответственно условные упругая и неупругая составляющие реакции СКД – R = Ф(s, х, А);

Ф₁, Ф₂ - функции, описывающие процессы нагрузки ( X >  0) и разгрузки ( X <  0) соответственно;

с г = signx - ступенчатая функция, определяемая знаком скорости.

Воспользовавшись результатами анализа работ [2, 3, 4], отметим главные особенности поведения УГХ для различных СКД, выполненных на основе материала МР, тросов, многослойных пластин и т.п.:

• -    нелинейность функций Ф_у и Ф_m в наибольшей степени проявляется на концах отрезков х е [ - А , А ] , где коэффициенты жесткости могут изменяться в десятки и сотни раз;

• -    форма неупругой составляющей Ф_m (гистерезисной функции) в зависимости от амплитуды деформации А может быть близкой как к эллипсу, так и к параллелограмму с вертикальными стенками, характерному для сухого трения;

• -    упругая и неупругая составляющие имеющие сдвиг по фазе, между собой, равный п /2 .

Как показано в работе [2], аппроксимация упругой составляющей реакции СКД ортогональными полиномами Чебышева обеспечивает наилучшее приближение на концах отрезка х е Г - А , А ] , в связи с чем запишем:

изменение жесткости в окрестности значений деформации х = А.

Таким образом можно записать:

Ф

m

= с T ( A ) + P m ( A ) A

- x ²

В дальнейшем коэффициенты аппроксимации T(A), pm(A) и cq(А) будем записывать в виде Т, рm, cq, подразумевая при этом их функциональную зависимость от амплитуды А.

В дальнейшем коэффициенты аппроксимации T(A), pm(A) и cq(А) будем записывать в виде Т, рm, cq, подразумевая при этом их функциональную зависимость от амплитуды А.

Определим коэффициенты аппроксимации Т, р, m и вид весовой функции f ( x ) , где x = x / A , которые обеспечивали бы минимальную среднеквадратическую погрешность Q приближения

Q = ЛФ

- 1 1

- с

^{T +} P m

1 f ( x ) dx . (4)

d Q d Q

Найдем частные производные и и, dT dPm приравняв их к нулю, получим систему интегральных уравнений в виде:

i - f Ф„-

-1L

1Г f ^Ф m ^- ° [ T

, - 1 L          ^

O T + Pm \ 1 - x ² ) f ( x ) dx = 0;

- x ² f ( x ) dx = 0. ⁽⁵⁾

m

Ф у ( X , А ) « £ С ( A ) x q , q e [ 1,3.. m ] . (2) q = 1

Здесь Сq(A)– коэффициенты полиномов Чебышева степени q, функционально зависящие от амплитуды деформации А, причем для каждого класса СКД они могут быть представлены по переменной А полиномами или другими видами аппроксимирующих функций.

Выберем вид аппроксимации гистерезисной функции с учетом указанных выше особенностей ее поведения. Предварительно заметим, что в самом простейшем виде она должна содержать по крайней мере два члена, один из которых представляет прямоугольник с половинами сторон Т(А), А, а другой – эллипс с полуосями р_m(A), А. Это обеспечивает сдвиг по фазе, равный п /2 , между упругой и неупругой составляющей реакции СКД, а также скачкообразное

Заметим, что при установившихся вынужденных колебаниях ВС работа возбуждающей нагрузки затрачивается на рассеяние энергии, определенной гистерезисной функцией. Следовательно, при выборе весовой функции f ( x ) требуется учитывать необходимое условие равенства площадей искомых и приближаемых к ним петель гистерезиса, которое можно записать в виде:

f

Ф m

- O T + Pm

v

dx = 0.

Разрешая с этим уравнением систему интегральных уравнений (5), получим два вида весовой функции f ( x ) :

./ 1 (- x ) = 1 ; f , < x ) = ( -iv-P У1.

Тогда минимум функционала Q (4) в пространстве переменных T и pm определяется с помощью двух различных систем интегральных уравнений:

для f ( x ) =1,

Ф

m

<7 l T + p

dx = 0;

-

Ф m

^1 T + Pm

- x ² dx = 0;

Для f , ( x ) = (V1 - x ² ) 1 ,

¹                              ₂ dx

J Фm - ^1 T + Pm V1 - x I "T=-1L        V                 /J 71 -

= 0;

где в cos ( to t + а ) - безразмерная возбуждающая нагрузка;

a - угол сдвига по фазе между возбуждающей нагрузкой и перемещением;

x , в , ® , t - безразмерные ускорение, амплитуда возбуждающей нагрузки, частота и время соответственно.

Отметим, что квазигармонические колебания ВС могут быть представлены разложением Фурье в виде:

J Фm - ^[ T + Pm V1 - x2

dx = 0.

х ( t ) = X a, cos u ot + B , sin u ot ,

Разрешая эти системы уравнений относительно коэффициентов аппроксимации T и pm,

i = 1

получим:

причем на характер закона движения при t=0 накладываются следующие ограничения:

Pm =

T =

8 - л1

8 - п ²

для случая f 2 ( x ) =

I

J Ф _m ( c ,cos ^ , A ) 1—sin ^ I d ^

0                V 2 V

?^                 пI

J Ф ( y ,^cos ^ A ) ^sin V ^-- I d v , 0                V 4 /

где ф = arccos x .

Аналогично можно получить выражения и для коэффициентов аппроксимации T и p_m при f ( x ) =1:

nn

X 4 = A ; ^X B / = ^0; i e [ 1,3,5... n ].    (11)

i = 1                 i = 1

Найдем решение уравнения движения (9) с помощью комбинированного асимптотического метода (КАМ), основывающегося на сочетании методов малого параметра с вариационными принципами. Согласно КАМ построение асимптотических разложений уравнения движения (9) осуществляют по степеням малого парамет-

<

P m = ^{6 П} П Ф ^ cos V -^П ф ^{1 -} -Sin v l dV, 3 п 2 - 32 0                 ^{V 71} V

^T = ^6У Ф fc cos v .^п ф м ф ^- d (7) 3 п 2 - 32 0                V      3 ? /

ра ^ , 5 e1: ^x = X ^ ^x a ; А = X ^ A d , пу- d = 0                   d = 0

Таким образом, с учетом выражений (2) и(3) реакция СКД, характеризуемая УГХ в виде семейства симметричных петель гистерезиса, может быть представлена в виде приближения:

тем искусственного введения в уравнение (9) дополнительных функций: для реакции СКД – R_л = g²х, а для возбуждающей нагрузки - Р л = P _C0 ^c°s u t . Коэффициенты g²u Ь_со находят методом Бубнова – Гaлеркина, причем, как показано в работе [2], g² является коэффициентом гармонической линеаризации по Чебышеву. Учитывая изложенное, преобразуем уравнение движения (9) к виду:

m

R = X с xq + ^ T +

q q = 1

V

p

m

A ²

-

x

Л

^, (8)

/

x + у ² x = X ^ d ( Ped cos u t + P _sd sin u t ) + d = 0

где с_q – коэффициенты полиномов Чебышева, для условной упругой составляющей реакции, а T и p_m – коэффициенты аппроксимации для неупругой составляющей, найденные с помощью выражений (6) или (7). Следует помнить отличие этих коэффициентов на величину А, А^q для случая переменной x по сравнению с х .

Воспользуемся полученным выражением для реакции СКД (8), и запишем дифференциальное уравнение движения ВС для установившихся квазигармонических колебаний:

+ Б

m

Y2x -Xeqxq q=1

причем

в ²

m

г

х+ X с xq +о T+P

_A 2 _-

-

^{2 g} X P ed

V d = 0      /

-

x ²

,

q q = 1

V ^m

)

x ² = fl co^ o t + а ), (9) /

^{2 g} X P sd

V d = 0      /

gg tga = X Psd I X Ped.     (14)

d = 0         d = 0

Ограничим q=1, m=3 и заметим, что по методу КАМ для уравнения (12) в _sо= 0. Представим уравнение движения (12) в виде системы линейных дифференциальных уравнений по степеням порядка приближения ^ d :

e o      x ₀ + у ² x 0 = P c 0 cos to t ;            (1⁵⁾

x 1 + у ² x 1 = в с 1 cos to t + P si sin to t + у ² x 0 -

e 1

- E c q x 0 q = 1

^- ^ ^{T +} p m [л/ ^A 0 ^- x 0 P

ные гармоники квазигармонических колебаний (11), определим амплитуды гармоник возбуждающей нагрузки:

P c 0 = A 0 ( Y 2 - to ²);

при этом

x = x 0 + X1.

Порождающее решение уравнения (15) имеет гармоническую форму:

x 0 = A 0 cos to t , (18)

где

О Л 4T^ YY

^P s 1 = p m ^A 0 ⁺     / - 9

П i = 1 Y

-

-

A o =

P c o

.

Y - to

С учетом решения (18) представим неупругую составляющую реакции СКД, входящую в уравнение (16), в виде гармонического разложения:

of T + p a] A — x ² I =

V m          7

4 T ⁿ 1

— V- sin i to t + А 0 p _m sin to . n i = 1 i

В силу гармонической формы решения(18) и выбора для аппроксимации упругой составляющей реакции СКД (в том числе и дополнительной функции Rл) полиномов Чебышева, получим [2]:

Y 2 x^ — -^ Cqx q = — C 3 A ³ cos3 to t . ~ q 4

Тогда уравнение (16) приобретает следующий вид:

x + Y 2 x 1 = P C 1 cos to t - 4 с ₃ А ₀³ cos3 to t +

4 T         4 T ⁿ 1

+ (P -PmA0--)sintot--E"sinitot• n            n i=3 i

Чтобы обеспечить в порождающем решении (18) выбор полной амплитуды первой гармоники, потребуем отсутствия в поправочном слага-

емом х1 членов, содержащих косинусы, следовательно, bС1 = 0.

Нахождение частного решения преобразованного вышеуказанным образом линейного дифференциального уравнения (16) не представляет затруднений и закон квазигармонических колебаний ВС (17) может быть представлен в

следующем виде:

x (' ) =

P c 0

2        2

Y - to

cos to t -

^c 3 ^A 0 ³

4( Y ² - 9 to ²⁾

cos 3 to t +

P s 1 - P m A 0 -—        4 T n 1             (20)

+----------- —— sin to t --V ----- —-г sin i to t •

Y - to                    n i = 3 i ( y ² - i ² to ² )

Сопоставляя его с полученным выражением (19) и, учитывая ограничения на синусоидаль-

to ²

.

i to

С учетом выражений (11), (13), (14) окончательно можно записать

<

2     2\2 I л     4T      Y - to I ,,2

A 0 ⁽ Y ^{- to} ) ⁺| P m A 0 + — - 2 -2 2 I = ^P ;

V П ~=r Y - i to )

p m     4 T ⁿ 1

^{tg a} =2    2⁺^V2  -2 2 ^;

Y - to   n A₀ *=1 y - i to

pm

_A = Ac ^ A ⁰___ ⁰    4( y² - 9 to ²)

.

Решения данной системы уравнений является основой для исследования влияния форм петель гистерезиса СКД и параметров возбуждения на характер квазигармонических колебаний ВС. При этом полученный закон колебаний ВС (20) вместе с системой уравнений (21) позволяет определить интенсивность гармонических составляющих и особенности поведения динамических характеристик: зависимости коэффициентов передачи и резонансных частот ВС от амплитуды возбуждающей нагрузки, затягивание резонансных режимов и т.п.

В качестве примера рассмотрим применения полученных результатов (см. выражения (20) и (21)) для исследования нелинейных колебаний ВС, в состав которых могут входить многослойные пластинчатые упругодемпфирующие опоры (УДО), тросовые виброизоляторы (рис. 1 а,б ) [4]. УДО (см. рис. 1, а ) состоит из двух пакетов многослойных пластин (1), прижатых друг к другу пружинной скобой (2). Тросовые виброизоляторы могут быть Г–образного типа или в виде гребенки с прямолинейными участками отрезков тросов (рис. 1, б ).

На рис. 2 представлены обобщенные поля петель гистерезиса СКД [4] (вышеуказанных УДО и тросовых виброизоляторов). Выделяя из представленных петель гистерезиса СКД упругие и неупругие составляющие (гистерезисные функции) (1) и вычисляя значения для коэффициентов C_q ( A ) и Р_m (А), Т(А) при различных А е [0,2;6,0] с помощью выражения (6) найдем значения вышеуказанных коэффициентов.

Анализируя полученные данные замечаем, что для больших амплитуд деформация А_р >2 свойственных резонансным режимам колебаний ВС, можно отметить, что значение величины р_тA << T <<1. Вследствие этого для амплитуд А >2

а)                                       б)

Рис. 1. Системы конструкционного демпфирования: а ) – УДО; б ) – тросовые виброизоляторы

Рис. 2. Обобщенное поле упругогистерезисных петель: ––– тросовых виброизоляторов с прямолинейными упругогистерезиными элементами; – – – УДО

тема уравнений (22) отображает приближенное решение для ВС с сухим трением, причем точное решение получено в работе [5] и может быть представлено в безразмерном виде:

, I в ² 1 ГП"

^Ao = Мл ²\^{2 2} tg о . (24) у (1 -to ² ) ² to 2to ^{v 7}

Сравнение точного решения (24) с приближенным (22) показывает, что при исследовании колебаний ВС с высокой степенью конструкционного демпфирования крайне важно учитывать достаточно большое количество гармонических составляющих A_i (23). При этом погрешность определения амплитуды ВС по сравнению с точным зависит не только от числа учитываемых гармоник в решении (22), но и значений b. При

можно считать p m _— 0. Вместе с тем оказывается, что при А >2 величина С 3 А ³<< С 1 А ( q е [1,3] см. выражение (2)), что позволяет считать С ₃ 0, С 1 =^1. -

Тогда система уравнений (21) для значений амплитуд А >2 приобретает следующий вид

увеличении b до значений близких к Р = _ по грешности могут достигать до 30 % и более в зависимости от числа учитываемых гармоник. На рис. 3 представлена зависимость коэффициента

A передачи ^ = р от безразмерной частоты to для

A 02 (1 -™ 2 ) 2 + - L

П i = 1

1 -to ²

1 - i ² to

= К 2 ;

4T n tg a = —L

^П A 0 i = 1

A = A о -

;

1 - i ² to ²

При этом высшие гармонические составляющие A_i квазигармонических колебаний вычисляются с помощью выражения (20) по формуле

4 T ⁿ 1

i .

n 7=3 1 (1 - i to )

Заметим, что в этом случае полученная сис-

различного числа учитываемых гармоник (рис 3,б) при b=1,25. На рис. 3, а приведены значения погрешностей § приближенного решения (22) по сравнению с точным (24) в зависимости от числа учитываемых гармоник i и уровня возбуждающей нагрузки b.

На рис. 4 представлена зависимость Коэффициентов передачи на резонансе ^ р = A ^- ( А р -амплитуда резонансных колебаний ВС) о ^p т уровня возбуждения при учете i =1001.

Как видно из приведенных данных коэффициент передачи на резонансных режимах работы виброизоляторов и демпферов с конструкционным демпфированием существенно зависит от уровня возбуждения и может изменяться от значений 1,2 до 5–10 и более. Причем, начиная с в >  1.265 , интенсивность изменения коэффи-

Рис. 3. Сравнение точного решения для сухого трения с приближенным: a – погрешность приближенного решения в зависимости от числа гармоник и уровня возбуждения, в ₀ е [ 1,25;1.265 ] б – характер влияния числа гармоник, учитываемых в приближенном решении, в ₀ = 1-25

Рис. 4. Зависимость коэффициента передачи на резонансе от уровня возбуждения

Таким образом, предложенные в работе подходы к описанию УГХ виброизоляторов и демпферов с сухим трением, а также метод решения нелинейных дифференциальных уравнений движения ВС позволяют с высокой степенью достоверности изучать влияние особенностей конструкционного демпфирования на нелинейные колебания систем виброзащиты.